核心素養下數學“課堂小結”的探索

牛星惠

【摘 要】 當前，由于部分教師對“課堂小結”的功能、特點與價值等認識不足，用法不當，嚴重影響了對學生數學核心素養的培養.為此，我們有必要了解“課堂小結”的功能與特點、教育價值與教學藝術.“小結”的功能不僅在于“四基”的梳理與建構，更在于知識獲取能力群、實踐操作能力群、思維認知能力群（關鍵能力群）的發展與提高.其特點具有目的指向性與操作系列性;問題情境性與應用普適性;認知內省性與建構性.其教育價值在于服務立德樹人根本任務、提高學科素養、發展關鍵能力、掌握必備知識.其教學藝術主要表現為設計的藝術、學生“課堂小結”的能力培養藝術、課堂操作藝術與教學評價藝術

【關鍵詞】 數學核心素養;數學教學;課堂小結

“課堂小結”是數學課堂教學的重要環節，由于它能幫助學生及時梳理知識，建構認知結構，促使學生深刻理解知識技能的形成過程，及時總結活動經驗，認真體會基本思想，無疑對學生未來的學習和發展具有十分重要的意義.可是，日常教學中，個別教師對此環節往往重視不夠，理解不透，用法不當，特別是在課堂教學的最后階段，有的以“你學到了哪些知識”提問，在學生回答后便結束此環節，須知知識的回顧應該包括過程，而不僅僅是知識點的羅列;有的提出：“你學到了哪些數學思想？”豈不知，脫離具體內容的數學思想方法是沒有力量的;有的老師在課堂小結中出示教學目標：通過本課的學習，需要我們理解分式方程的概念和分式方程產生無解的原因，會辨別整式方程和分式方程;掌握分式方程的解法，會解可化為一元一次方程的分式方程……凡此種種，從發展學生數學核心素養的角度來說，往往會導致“基礎知識”零散，“基本技能”膚淺，“基本數學思想”隱晦，“基本活動經驗”雜亂，“四基”沒有得到有效的建構，學生的“知識獲取能力群、實踐操作能力群、思維認知能力群（關鍵能力群）”[1]沒有得到有效整合，以至于很難實現能力的正遷移.那么在數學核心素養的背景下，“課堂小結”在課堂教學中有何功能與特點？其教育價值是什么？有何教育藝術？這是一個關系到能否真正落實數學核心素養的重要問題.1 “課堂小結”的功能

“課堂小結”往往是由“小結”與“反思”兩個子環節構成，“小結”的功能重在梳理知識、技能、數學思想方法、數學活動經驗，“反思”的功能重在幫助學生建構完整的認知結構，體會數學的核心價值，提高學科素養，發展關鍵能力.“小結”是“反思”的前提，“反思”是“小結”的深化與發展.由于這兩個子環節的功能不同，所以，這兩個子環節有時可以獨立存在

例如，在“反比例函數概念”的教學中，教師可以先出示3或4個蘊含反比例函數關系的實例（既有現實情境，也有數學情境和科學情境），在學生從實際問題抽象出具體的反比函數解析式后，教師引領學生“小結”

1.上述幾個函數表達式有什么共同特征？你能用一個一般形式來表示它們嗎？

2.類比一次函數的概念，你能給上述函數下一個恰當的定義嗎？

評析：這里，“小結”的功能是運用抽象與聯想、歸納與概括等思維方法來組織、調動相關的知識與能力，建構概念

待學生答出上述問題后，出示下面的問題

反思：1.反比例函數y=k/x（k≠0）是整式函數嗎？自變量x的取值范圍是什么？

2.反比例函數y=k/x（k≠0）還可以寫成什么形式？

3.舉例說明什么是反比例函數，什么不是反比例函數

評析：在布魯姆的分類法里，把理解層級分為四個亞類——解釋、轉換、舉例和定義.“解釋”是指學生識別和理解信息中的關鍵詞、思想、方法或并列概念之間相互關系的能力;“轉換”是指在保持原意的基礎上，換一種表述方式;“舉例”是對抽象概念的具體描述;“定義”要求學生用自己的語言來描述一個術語或者一個概念，而不是完全照著課本上的描述復述.顯然，問題1是幫助學生建構反比例函數與整式函數的區別，是從概念的外延上認識反比例函數，是一種對概念的解釋（外延上）;問題2是從轉換的角度理解概念;問題3是從舉例的角度理解概念.這里“反思”的功能重在幫助學生運用辯證的、審美的、系統的思維方式，對概念從多元性、關聯性、動態平衡性、開放性等方面把握概念的本質，發展學生獨立性、批判性、發散性思考

在課堂教學最后的“小結與反思”中，我們可以提出下面的問題：

1.反比例函數的概念是什么？它是如何生成的？

2.反比例函數的概念與函數概念、一次函數的概念和二次函數的概念有何區別與聯系？

3.在反比例函數概念生成的過程中，蘊含了建模思想，對此，你有怎樣的思維經驗？

4.根據你研究一次函數與二次函數的經驗，你認為我們接著要怎樣開展反比例函數學習？

5.運用你學習一次函數與二次函數的經驗，畫出反比例函數y=6/x的圖象，并寫出它的性質

評析：問題1的設計是幫助學生積累數學基礎知識，提高“從數學的角度發現和提出問題”的能力;問題2的設計是幫助學生將概念納入概念系統，建立概念之間的關聯，有助于學生在需要時將知識順利提取;問題3明晰了概念生成過程中蘊含的數學思想，積累抽象與建模的基本經驗，使緘默的數學思想變成學生思維的指南;問題4是引導學生反思研究一次函數與二次函數的經驗，開啟反比例函數研究的大門，明晰研究函數的路徑與方法;問題5是運用自己學習一次函數與二次函數的經驗，獨立自主地開展反比例函數研究，5個小問題環環相扣，層層遞進，共同組成“課堂小結”問題鏈

由此可見，最后的“課堂小結”有助于幫助學生形成科學的世界觀和方法論（相信科學，尊重事實，堅持唯物辯證法，堅持用聯系、發展、矛盾的觀點觀察和分析問題，透過現象看本質.堅持理論聯系實際，在實踐中檢驗真理、修正錯誤）;有利于學生進入高中階段，在面臨生活實踐或探索問題情境時，能夠在正確的價值觀念指導下，合理運用科學的思維方法，有效整合數學相關知識，運用數學相關能力，高質量地認識問題、分析和解決問題;有利于發展學生的數學關鍵能力群——知識獲取能力群、實踐操作能力群、思維認知能力群（“知識獲取能力”主要包括：語言解碼能力、符號理解能力、閱讀理解能力、信息搜索能力、信息整理能力等;“實踐操作能力”主要包括：實驗設計能力、數據處理能力、信息轉化能力、動手操作能力、語言表達能力等;“思維認知能力”主要包括：形象思維能力、抽象思維能力、歸納概括能力、演繹推理能力、批判性思維能力、辯證思維能力等）;有利于學生掌握未來學習和生活必備的數學知識

這就要求教師在設計“課堂小結”時，要堅持唯物辯證法，堅持用聯系、發展、矛盾的觀點觀察和分析問題，站在國家課程和發展學生數學核心素養，堅持立德樹人、服務未來、培養人才的國家戰略高度設計問題，培養出一批具有奮斗精神，勇于擔當、熱愛生命、不畏艱難、勇于創新，立志成為實現中華民族偉大復興中國夢的接班人.2 “課堂小結”的特點

2.1 目的指向性與操作系列性

在上述“反比例函數概念”的“小結與反思”中，我們可以發現：“課堂小結”具有鮮明的目的指向性，或對知識、技能理解，或對思想方法與活動經驗梳理、建構，或提升學生從數學的角度發現和提出問題的能力、分析與解決問題的能力.我們還可以看到，“課堂小結”是由一系列外部操作組成，環環相扣，層層遞進，每個小問題分別承載了不同的功能，共同構成一個完整的的問題鏈.由此可見，“小結”是“量”的積累，“反思”是“質”的飛躍，這個“質”的飛躍就是學生思維能力的發展，數學核心素養的形成.

2.2 問題情境性與應用普適性

“課堂小結”具有問題情境性.情境主要是現實情境、數學情境、科學情境，問題是指在情境中提出的問題.問題是“課堂小結”的載體，并且“課堂小結”往往是由一系列問題串構成，這些問題或層層遞進，或相輔相成，有助于學生形成科學的世界觀和方法論，達成“學習掌握”“實踐探索”“思維方法”3個指標.又由于“課堂小結”可用于任何課型或問題，所以“課堂小結”具有廣泛的普適性.教師只有科學地設計和使用“課堂小結”，才能使“課堂小結”收到良好的效果.

2.3 認知內省性與建構性

曾子曰：吾日三省吾身.笛卡爾也曾給出著名的哲學命題：“我思故我在.”他們都說明了“思考”的重要性.其實，學生每天的數學學習就是一個不斷吸收——解決問題——反思——再吸收——再解決問題——再反思的循環往復的過程.“課堂小結”的核心是思考.思考是一個由態度、知識、技巧組成的復雜行為.促進有效思考的態度是：在有充分證據的情況下，不急于判斷，質疑而不是簡單接受權威，輕易相信證據，通過內省，不斷完善自我認知，形成嚴謹的科學態度;扎實的基礎知識有助于學生思考問題時左右逢源;思考的技巧有知識性思考、理解性思考、批判性思考（分析、綜合、評價、反思）.通過思考，可以促進學生對知識的理解與掌握;“悟”出在知識的發生與發展過程、問題解決過程中蘊含的數學思想;在“做數學”的過程中積累與優化活動經驗，形成良好的情感、態度、價值觀，促進認知的內省，建構與優化認知結構，有利于實現知識、技能、數學思想方法與經驗的正遷移

例如，在“弧長公式”的教學中，在學生得出弧長公式l=nπR/180后，接著出示練習

填空：

（1）在半徑為10?cm的圓中，36°的圓心角所對的弧長是____________cm

（2）弧長是18π?cm，該弧所對的圓心角是120°，則這條弧的半徑為____________cm

（3）弧長為3π?cm，半徑為12?cm的弧所對的圓心角的度數是____________

在學生解答結束后，教師可以提出反思性問題

（1）你是如何理解弧長公式的？

（2）在弧長公式的生成過程中，蘊含了“特殊化思想”，請你利用探究弧長公式的經驗，課后解答下面的問題

如圖1，由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對的弧圍成的圖形叫做扇形.探究圓的半徑為R、圓心角為n°的扇形面積（如圖2）圖1圖2

評析：問題（1）有助于學生在前面計算的基礎上，從函數的觀點與方程的觀點對公式進行深加工，辯證地看待問題，理解公式的本質;問題（2）通過學生的內省，建構一般問題特殊化的經驗，并將此經驗遷移到新的問題情境中，這恰恰是反思的意義所在，從而提高了學生分析與解決問題的能力，發展了學生的數學核心素養.

3 “課堂小結”的教育價值

“課堂小結”的知識價值在于使知識從具體問題情境中分離、明晰、顯性化（如“反比例函數概念”教學中的第一個“小結”），有助于學生將知識納入到知識框架中進行意義建構，這為知識的順利提取與應用奠定基礎;

“課堂小結”的思想與方法價值在于明晰數學思想方法，將內隱的數學思想方法顯性化（如“反比例函數概念”教學中的“課堂小結”），有助于學生將數學思想、方法正遷移;

“課堂小結”的思維價值在于進一步積累并優化思維經驗，形成經驗結構，如反比例函數研究的路徑：實際問題→建立概念→函數的圖象與性質→應用，有助于培養學生有邏輯地思考與表達（主要是指數學活動過程中反映的思維品質、表述的嚴謹性和準確性），為進一步研究其他函數埋下伏筆;

“課堂小結”的能力價值在于有助于學生的數學能力從生疏走向熟練，進而達到自動化

總之，“課堂小結”的教育價值在于服務立德樹人根本任務、提高學科素養、發展關鍵能力、掌握必備知識.4 “課堂小結”的教學藝術

“專業化水平的教學既是藝術也是科學.一個好的教師就像藝術家一樣從技術和創造性的觀點出發作出教育決策.一個杰出的藝術家展示一個富含技術的技藝——一幅畫、一個玻璃制品、一座雕塑——在這些技術背后都蘊含著科學.他們還知道在什么時候以什么樣的方式來運用這些技術.教師做教育決策也是一門藝術.”[2]那么“課堂小結”作為一堂課重要的教學決策，其教學藝術有哪些？

4.1 設計藝術

數學常規課型通常可分為概念課、公式、法則或定理課、習題課、復習課、試卷講評課、數學思想課，由于課型不同，所以“課堂小結”的設計也會有所差異.又由于“課堂小結”在一堂課教學環節中所處的位置不同，其設計也會有所不同.但不論怎樣，“課堂小結”的教學設計都應遵循教學決策的三種視角：發展視角、行為視角和認知視角.所謂發展視角，是指問題的設計要按照能力的培養螺旋上升的觀點，由淺入深、由易到難設計;所謂行為視角，是指問題的設計所針對的人群，是為學困生設計的問題，還是為中等生或學優生設計的問題;在認知上，是會聚提問、發散提問、評價提問、還是反思性提問

課堂教學伊始的“課堂小結”，重在初步抽象與歸納;中間環節的“課堂小結”，重在幫助學生建構認知，提煉經驗，歸納方法，形成技能，最后階段的“課堂小結”，重在幫助學生將“四基”建構到頭腦中已有的圖式中，并將其優化，繼而提升“四能”.

4.2 能力培養藝術

“課堂小結”的核心是思考.怎樣幫助學生提高思考的技巧？一是要培養學生閱讀

——抓住關鍵詞或關鍵信息展開聯想的發散思維能力;二是要養成質疑——批判性思考的習慣，因為質疑是批判性思維的邏輯起點，批判質疑是科學精神的精髓，沒有批判性思考，就不會有創新能力的發展;三是發展“做數學”——言之有理，落筆有據，有邏輯地思考與表達的能力;四是不斷提高學生的元認知能力（元認知能力的實質是對認知的認知，是個體對自己的認知加工過程的自我覺察、自我反省、自我評價與自我調節，它包括元認知知識、元認知體驗和元認知監控三個成分），逐步提高自己高階思維的技巧;五是加強“一般觀念”的指導，提升學生的課題研究能力.“一般觀念”是對內容及其反映的數學思想和方法的進一步提煉和概括，是對數學對象的定義方式、研究途徑等問題的一般性回答，是研究數學對象的方法論，對學生學會“用數學的眼光觀察世界、用數學的思維思考世界、用數學的語言表達世界”具有指路明燈的作用.例如，歸納和類比是發現和提出數學命題的重要途徑;研究幾何的一般路徑是：概念——表示——分類——性質——判定——特例.

4.3 課堂操作藝術

在“課堂小結”中，教師要允許學生出錯，允許學生在回答問題時有短暫的停頓或時間空白，此時，就是考驗教師教學智慧的時候.許多教師往往在學生一時答不上來，或感覺學生的回答離題萬里時心里煩操，會馬上讓這個學生坐下，然后迅速提問另一個學生，或立即點撥，自說自答.而一個優秀的教師則會滿臉笑容，滿含期待地看著這個學生，靜等學生思維的綻放……在老師期待的眼神里，學生感受到了愛的力量，思維的閘門或許就被打開，清晰而準確的話語隨著嘴唇的顫動汩汩而出……即使學生仍然張口結舌，教師也會微笑著說：“我知道，你也許是因為一時緊張的緣故答不上來，但我堅信下課后能聽到你的回答，你說是嗎？”然后教師依然微笑著對他招招手，示意他坐下

教師要善于傾聽，既要學會傾聽學生有聲的話語，也要學會傾聽學生的心情和尚未說出的話語.傾聽時，要悄悄地走進學生的身旁，靜靜地看著他（她），以欣賞的眼光打開他（她）的心扉，無論他（她）的成績是多么優異，或他（她）的成績目前多么令人沮喪，但他（她）始終是我們的“愛人”啊！終會有一天，在你意想不到的時間里，你會聽到令你激動不已的一句話：“老師，讓我試試吧！”“苔花如米小，也學牡丹開”啊！

教師要善于在學生中培養和選聘“教授”.實踐表明：“教授”們會主動帶領學習小組展開討論、輔導同伴，也會像一個優秀教師一樣在臺前講解、提問同伴、點評作業、評價同伴或自我，這時的你只需側耳傾聽、組織評價、有效組織課堂，讓課堂在一個有序、高效、溫馨的環境中運行，因為你早已營造了一個以“學習為中心”的課堂

教師在提問學生認知建構的同時，還要幫助學生構建圖式，讓學生將認知同化或順應到原來的圖式中，這樣會有助于學生建構完整的認知結構

教師也要經常布置“課堂小結”作業，讓學生主動歸納、建構知識結構，組織典例分析，形成錯題集錦，獨立命制試卷，發展學生的“課堂小結”能力.

4.4 教學評價藝術

“課堂小結”的教學評價是課堂教學評價的一部分，積極、公正、準確的評價能診斷學生學習的優勢與不足，進而診斷教師教學過程的優勢與不足.通過診斷，可以改進學生的學習行為，進而改進教師的教學行為，激發學生數學學習的積極性，促進學生核心素養的發展

“課堂小結”的評價應有利于考查學生的思維過程、思維的深度和思維的廣度，要關注六個數學學科核心素養的分布與水平;要有利于學生建構完整的、優化了的認知結構，并進行學習經驗的正遷移;有利于激發學生的學習熱情，端正學生的學習態度，培養學生良好的學習習慣;有利于實現“人人都能獲得良好的數學教育，不同的人在數學上得到不同的發展”

日常評價中，可以采用形成性評價方式，采用多種策略，使“課堂小結”的評價更具科學性、激勵性、立體性、系統性.具體方法是：即時評價與延遲評價相結合;評價主體的多元化與評價內容的多樣化相結合;過程評價與結果評價相結合;精神鼓勵為主與成績評價為輔相結合;課時評價、階段評價與學期評價相結合

總之，數學核心素養下的“課堂小結”教學，需要教師對“課堂小結”的功能深入地理解，對其特點要了然于胸，對其教育價值要深入地研究，對其教學藝術要靈活運用.當然，也需要教師對問題精心設計，對學生的“課堂小結”能力長久地培養，這樣才會收到良好的效果，才會有利于數學核心素養的有效落實

參考文獻

[1]教育部考試中心制定.中國高考評價體系[M].北京：人民教育出版社，2019.11.

[2][美]荷烈治等著;牛志奎譯.教學策略——有效教學指南（第八版）[M].北京：中國人民出版社，2010.

[3]教育部基礎教育司組織編寫.全日制義務教育數學課程標準解讀[M].北京：北京師范大學出版社，2002.4.