巧設數學問題激發學生思維活力研究

許頤

摘 要：在數學教學過程中，教師要注意對學生進行啟發誘導，要通過巧設數學問題，逐步引導學生的思維發展。文章以八年級數學拓展課“中點四邊形”教學為例，探討如何通過設計開放性問題、支架性問題、啟發性問題、拓展性問題，來激發學生思維的活力，促進學生數學思維的發展。

關鍵詞：數學問題;數學思維;開放性問題;支架性問題;啟發性問題;拓展性問題

中圖分類號：G421;G623.5 文獻標志碼：A文章編號：1008-3561（2020）11-0056-02

課堂不是同質性的空間，而是交織著多種思維表象的異質空間，教師在教學過程中要注意啟發誘導。當學生同客體、同他人、同自己進行思維對話時，就構成了三位一體的推理思維過程。數學教學的本質是學生在教師的引導下能動地建構數學認知結構，并使自己的思維和能力得到全面發展。教師在數學課堂教學中應制定適切的目標，提出有效的問題，激活學生的思維，而目標的適切性決定著問題的有效性。如果將八年級數學拓展課“中點四邊形”的教學目標定位于簡單的知識傳授，那么對學生數學思維品質的提升將毫無意義。教學這節課時，教師可以借助研究“中點四邊形”（見圖1）的過程，讓學生體會如何研究新圖形，如何發現新性質，如何研究和驗證新規律。當教學目標指向學生的數學學習能力時，問題的設計角度也會隨之發生變化。教師應巧妙設計問題，使學生產生認知沖突，以激發學生的求知欲和思維的積極性。同時，教師需通過適當的手段，讓學生的這種心理傾向指向明確并維持在一定的強度，這樣才能激發學生的思維活力。

一、設計開放性問題

研究中點四邊形的難點是如何發現其形狀與原四邊形的對角線有關系。傳統的設問是：求證任意四邊形的中點四邊形一定是平行四邊形。這個提問直接把結論告訴了學生，限制了學生的想象，失去了激發學生探究的魅力。為此，教師設計了一個開放性的問題：任意四邊形的中點四邊形一定是什么四邊形？把發現的“權利”交給學生。但對這個設計出現了爭論，有的教師提出可以更開放一些，考慮到學生已經學過四邊形的分類，所以可直接問“中點四邊形可以是什么形狀？”然而實踐證明，這樣的設計效果并不好。學生雖然學習了四邊形分類的知識，但是缺少分類的實踐經驗。可見，知識和經驗都是探究新問題的基礎，離開一定的知識和經驗強調發展能力，構建過分簡約的結構，必然會使學生一頭霧水。適當的開放性問題能夠激發學生的認知沖突，學生們迫切想知道結論，于是嘗試用幾何畫板、直觀觀察等方式進行研究和討論，得出了“是平行四邊形”的猜想。

二、設計支架性問題

數學是一個理性的學科，數學教學要培養學生的理性精神。得出猜想，并不是學習的終點，而是學習的又一個起點。當學生得出猜想后，應進行論證，要么給出證明，要么給出反證。因此，教師應適時追問：“為什么一定是平行四邊形？”這個問題能引導學生進行推理和驗證。在此問題的探究中，關鍵一步是將“四邊的中點”與“三角形的中位線”結合起來，將四邊形的問題轉化成三角形的問題，這是最精彩的地方（見圖2）。如果學生無法完成這個轉換，教師就要給出思維的臺階。但是，不能直接給出“利用三角形中位線性質”“畫出對角線”等提示，而要站在研究的層面給予鋪墊。因此，教師可以嘗試這樣提問：“我們學習過與中點相關的線段的性質，是不是可以從這里尋找思路呢？”在教師的提示下，學生會自覺回憶三角形、梯形等圖形的中位線的性質，從已有認知中聯想到三角形中位線的位置關系及數量關系，從而構建四邊形與三角形之間的橋梁。在利用三角形中位線進行論證的過程中，學生自然能夠發現中點四邊形的形狀與原四邊形的對角線可能有一定的關系。

三、設計啟發性問題

有了前面的鋪墊，各學習小組順利給出了一個論證思路，得出“任意四邊形的中點四邊形一定是平行四邊形”的結論，只是這個結論的妙處還沒有完全被揭示出來，需要在應用過程中讓學生體會。這時，教師可以提出本節課第二個關鍵性問題：“中點四邊形的形狀與原四邊形的對角線有怎樣的關系？”這便形成了一個探究中點四邊形形狀的問題串。這時，教學設計又出現分歧。有的老師認為給出對角線相等、互相垂直、對角線相等且互相垂直的四邊形，讓學生自主探究并進行說理;有的老師認為可以直接探究中點四邊形的形狀與對角線的關系，無須進行鋪墊。其實，這兩種設計各有特點。前者問域較窄，便于學生探究得出結論，但學生無法理解中點四邊形的本質，若換一個圖形或換一種問法就會出現問題。后者問域較寬，學生無從下手。最后的教學設計是根據學生的反應預備兩套方案：一種是啟發學生對中點四邊形的特殊性進行研究，提出問題：“如果中點四邊形是矩形、菱形，原四邊形的對角線有什么特殊關系？”此設計屬于逆向思維，有一定難度;另一種是啟發學生從對角線的位置關系和數量關系入手，研究對角線相等、互相垂直的四邊形的中點四邊形。從實際效果來看，第二種更符合學生的認知結構和學習經驗，學生能夠從中發現規律，并在說理過程中總結出中點四邊形與原四邊形對角線的關系。這時，教師可以提出一個逆向問題：“如果中點四邊形是正方形，那么原四邊形有什么特點？”這些問題能夠讓學生體會到：研究中點四邊形的本質其實是研究三角形中位線定理，研究策略是將四邊形問題轉化為三角形問題，最后類比四邊形的關系結構圖，小結出中點四邊形的結構圖。這樣的教學設計，能夠始終保持學生的高認知水平，促使學生形成良好的認知結構和數學思維方法。

四、設計拓展性問題

創新精神就是要從已有信息中得到啟發，生發新的想象，構想出新的事物。而數學教學應重視培養學生“學習一個結論后又主動構想新的結論”的創新精神。在數學知識的花園中，一個好的結論猶如一朵美麗的蘑菇，若發現一朵，在附近往往還有很多。為此，教師可以設計拓展性問題，引導學生進行拓展性探究。問題1：如果把任意四邊形四邊中點改成三等分點，是否存在一個由三等分點構成的四邊形？它有什么性質？問題2：研究任意五邊形五邊中點構成的圖形（見圖3），看看它有什么性質？甚至可以拓展到研究六邊形、七邊形的中點構成的圖形問題。

數學的中心任務是塑造學生良好的數學認知結構，使學生具有不斷吸收新數學知識的能力和知識的自我生成能力。數學課堂應該是師生運用數學語言進行思維對話，共同建構認知結構的過程。教師應放棄一講到底的做法，設置梯度合適的問題，引導學生邊聽邊想邊嘗試，促使學生發現問題、提出問題、分析問題、解決問題;用“引而不發”“開而弗達”的方法誘導學生自己探索結論;不斷增加創造性因素，達到“聞一知十”“舉一反三”的目的，從而提高數學課堂的有效性。

參考文獻：

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Abstract： In the process of mathematics teaching， teachers should pay attention to the inspiration and guidance of students， and gradually guide the development of students' thinking by skillfully setting mathematical problems. Taking the teaching of "midpoint quadrilateral" as an example， this paper discusses how to stimulate the vitality of students' thinking and promote the development of students' mathematical thinking by designing open questions， scaffolding questions， inspiring questions and expanding questions.

Key words： mathematical problem; mathematical thinking; open problem; scaffolding problem; heuristic problem; expansion problem