發(fā)展學生數(shù)學核心素養(yǎng)的實踐與認識

摘 要：“發(fā)展學生的核心素養(yǎng)”已經成為高中數(shù)學教學的中心任務，教師要從學生的長遠發(fā)展角度出發(fā)，切實優(yōu)化教學環(huán)境，促使學生實現(xiàn)可持續(xù)發(fā)展。直觀想象素養(yǎng)關系著高中生空間觀念的形成，本文將從動手操作積累直觀想象經驗、借助實物拓展直觀想象空間、數(shù)形結合提煉直觀想象內涵、綜合應用發(fā)展直觀想象能力這四個維度來分析課堂教學中發(fā)展學生數(shù)學核心素養(yǎng)的實踐與認識。

關鍵詞：高中數(shù)學;直觀想象;實踐與認識

直觀想象素養(yǎng)是指通過圖形與幾何知識去探究事物之間的空間形式，積極遷移空間與幾何知識來分析空間形態(tài)與運動規(guī)律的一個數(shù)學素養(yǎng)，比如學生利用空間觀念去確定事物位置、以圖形運動去描述現(xiàn)實問題、以數(shù)形結合思想去解決問題等多種思維表現(xiàn)。直觀想象水平是衡量高中生理解數(shù)學的難易程度及數(shù)學探究能力高低的重要指標。因此，課堂教學中要尋求發(fā)展學生直觀想象素養(yǎng)的切實有效的途徑與策略。

一、 動手操作積累直觀想象經驗

高中數(shù)學教學一直都是以教師講授數(shù)學知識為基本形式的，這種教學行為有效地增加了課時容量，可以提高學生的應試成績，但卻難以提高學生的獨立思考能力。培養(yǎng)學生的直觀想象能力，首先便是要積累直觀想象經驗，切實把握常見的空間形式與結構變化規(guī)律。因此要鼓勵學生動手操作，如繪制幾何圖形、利用幾何畫板觀察圖形變化，制作幾何模型等。

【例1】 已知某幾何體的三視圖如圖所示，正視圖和側視圖均是腰長為1的等腰直角三角形，俯視圖是邊長為1的正方形，則該幾何體外接球的體積為_____。

分析：首先要根據(jù)三視圖畫出幾何體的直觀圖，大部分學生都有畏難心理。解決三視圖問題，尤其是一些比較復雜的三視圖還原問題，需要極強的空間想象能力。我們可以用一個正方體作為載體對三視圖進行還原。

如圖1，畫出正視圖的三個頂點的原象所在的線段，用粗線表示，即正視圖的三個頂點必定由圖中粗線上的點投影生成;如圖2，側視圖中的三個頂點必定由圖中粗線上的點投影生成;如圖3，俯視圖中的四個頂點必定由圖中粗線上的點投影生成。三個圖中三條粗線的交點即為原幾何體的頂點，如圖4。

教師用幾何畫板進行示范，然后讓學生動手操作。通過動手操作，激發(fā)學生的學習興趣，引起學生內心成功解決問題的渴望。在生生互動、師生互動中引導學生在“互辯”中尋求最佳方案，使學生的探究意識在不斷循環(huán)和矛盾中得到強化。通過練習反思，學生能夠掌握還原幾何體的基本思路和方法，積累直觀感知的經驗。

二、 借助實物拓展直觀想象空間

高中數(shù)學教學以教材知識為中心，教師很少會利用生活資源來解釋數(shù)學知識，學生也不會主動利用數(shù)學所學去解釋生活現(xiàn)象、探索生活問題。憑空想象可能會引起學生的相異構思，如果借助生活實物來展示事物的空間形狀與結構特點，讓學生少走彎路，會起到事半功倍的作用。

【例2】 中國古建筑借助榫卯將木構件連接起來，構件的凸出部分叫榫頭，凹進部分叫卯眼，圖中木構件左邊的小長方體是榫頭。若如圖擺放的木構件與某一帶卯眼的木構件咬合成長方體，則咬合時帶卯眼的木構件的俯視圖可以是（）

分析：心理學研究表明人的抽象思維經“具體→形象→抽象”這三個過程，若實際經驗太少，或識圖水平較低，就難以理解三視圖的幾何意義，更難以通過三視圖還原直觀圖。借助如圖所示的實物，觀察實物的幾何結構和空間位置，學生通過探究、比較、反思、感受榫卯將木構件連接起的中華傳統(tǒng)偉大工藝，拓展了學生直觀想象的空間。

三、 數(shù)形結合提煉直觀想象內涵

數(shù)形結合的思想，其實質是將抽象的數(shù)學語言與直觀的圖像結合起來，關鍵是代數(shù)問題與圖形之間的相互轉化，它可以使代數(shù)問題幾何化，幾何問題代數(shù)化。培養(yǎng)學生直觀想象素養(yǎng)需要數(shù)形結合思想?yún)⑴c問題解決。

【例3】 如圖，四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，∠ADC=∠DCB=90°，AD=1，BC=3，PC=CD=2，PC⊥平面ABCD。在線段AB上是否存在一點E，使平面PDE⊥平面PAC，如果存在，說明點E的位置;如果不存在，說明理由。

分析：在線段AB上存在點E，使平面PDE⊥平面PAC。因為PC⊥平面ABCD，所以PC⊥DE。當DE⊥AC時，有DE⊥平面PAC。又DE平面PDE，所以平面PDE⊥平面PAC。

要確定點E的位置，對于平面幾何知識比較薄弱的學生就束手無策了。教師要引導學生采用建系的方法解決問題。以C為原點，CD，CB，CP分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系Oxyz，則A（2，1，0），B（0，3，0），D（2，0，0）。設E（x，y，0），AE=λAB，則（x-2，y-1，0）=λ（-2，2，0），故E（2-2λ，1+2λ，0），DE=（-2λ，1+2λ，0），CA=（2，1，0）。由DE⊥CA，所以DE·CA=0，即-4λ+1+2λ=0，λ=12，故E（1，2，0），因此E為AB的中點。

建系解決立體幾何問題，把幾何問題轉化為代數(shù)問題是數(shù)形結合思想的具體應用，把較難感知的幾何直觀問題轉化為較容易操作的代數(shù)運算問題也是直觀想象素養(yǎng)的內涵表征。

四、 綜合應用發(fā)展直觀想象能力

圖形演示可以將抽象、枯燥的文字轉化成圖形，給學生帶來直觀的視覺感受，由此簡化數(shù)學問題的抽象度，便于學生進一步展開數(shù)學探究。因此，教師要有意識地培養(yǎng)學生用圖、識圖的能力，豐富學生的讀圖經驗，促使學生養(yǎng)成良好的空間想象能力，提升學生的直觀想象素養(yǎng)。當然也有一部分學生不善于直觀想象而無法展開幾何推理，所以會采用代數(shù)方法去分析解決數(shù)學問題，這也是直觀想象素養(yǎng)的逆向表現(xiàn)。

【例4】 銳角三角形ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，△ABC的面積為S。若sin（A+C）=2Sb2-c2，則角C的取值范圍是 。

錯解：由sin（A+C）=2Sb2-c2，得sinB=acsinBb2-c2，

即b2-c2=ac。cosC=a2+b2-c22ab=a+c2b>b2b=12，∴0

學生錯解的原因是忽略了銳角三角形這一條件。事實上若能把握b2-c2=ac即b2=c（c+a）的幾何意義，則問題將變得非常簡單。如圖所示：延長AB到D使BD=a，連接CD，易得△ACB相似于△ADC，故∠D=∠ACB，所以∠ABC=2∠D=2∠ACB。因此B=2C，A=π-3C。由0<2C<π2，0<π-3C<π2，得π6

正解：因為△ABC為銳角三角形，所以b2+c2>a2，b2+a2>c2，a2+c2>b2。由上可知b2-c2=ac，代入三個不等式得c

若能把一個復雜的抽象的數(shù)學問題直觀化、具體化，變抽象為形象，直觀想象把握數(shù)學問題的本質，解法將會簡捷優(yōu)美。

五、 結語

1. 《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》指出直觀想象是借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)和變化，利用空間形式特別是圖形，理解和解決數(shù)學問題的素養(yǎng)。利用直觀想象解決平面幾何問題和空間幾何問題只是直觀想象素養(yǎng)的淺層表征，經過實物展示和動手操作訓練，能夠提升學生的直觀感知和識圖技能，提高學生的直觀想象能力。事實上，直觀想象更注重的是建立數(shù)學中的代數(shù)與幾何的聯(lián)系，幾何問題可以通過建立直角坐標系或通過向量轉化為代數(shù)問題，代數(shù)問題也可以建立模型回歸為幾何問題，這是直觀想象素養(yǎng)的核心含義，是數(shù)學課堂教學的重要課題。

2. 幾何直觀是數(shù)學語言的一種翻譯，是個性化的特殊數(shù)學語言，把數(shù)學問題轉化為幾何直觀是學生自主建構的過程。在這個建構過程中，由于學生學習風格的多樣性以及數(shù)學活動經驗積累的程度不同，可能導致學生幾何直觀想象上的偏差。例5：數(shù)列{an}的通項公式為an=n2-kn，若{an}為遞增數(shù)列，求k的取值范圍。很多學生的答案是：k2≤1即k≤2。究其原因，學生把數(shù)列看成一般的函數(shù)，利用函數(shù)的單調性得出答案。學生在思考時遺漏了k2>1且2-k2>k2-1，即2

3. 直觀想象與合情推理一樣，是數(shù)學問題的提出、尋找數(shù)學問題解決的有效方法。直觀想象不是萬能的，不能代替文字敘述，也不能代替邏輯推理。如例5用定義解題如下：因為{an}為遞增數(shù)列，所以an+1>an，即（n+1）2-k（n+1）>n2-kn，也就是k<2n+1對任意的正整數(shù)恒成立，故k<3，邏輯推理的威力可見一斑。直觀想象、數(shù)形結合是學習數(shù)學、解決數(shù)學問題的有力工具，但在教學過程中應當盡可能地通過多元化的教學方式和手段引導和培養(yǎng)學生的直觀想象素養(yǎng)，促進學生數(shù)學思維能力的發(fā)展。

總之，在高中數(shù)學教學中培養(yǎng)學生的直觀想象素養(yǎng)可以切實展現(xiàn)學生利用幾何與空間知識解決現(xiàn)實問題的思維能力。因此，高中數(shù)學教師要以豐富的動手操作、實物探索、數(shù)形結合、讀圖識圖等活動發(fā)展學生的直觀想象素養(yǎng)，將直觀想象與邏輯推理結合起來，優(yōu)化學生的思維品質。

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作者簡介：

劉榮坤，福建省福安市，福建省福安市第一中學。