研究旋轉變換，聚焦數學思想

楊峻峰

[摘 ?要] 旋轉變換問題是新課標的重要內容之一，在中考中占據著較大的板塊，同時也是教學的重難點. 文章從典型例題的剖析來研究旋轉變換，拓展數學思維，聚焦數學思想，提高解決問題的有效性.

[關鍵詞] 旋轉變換;解題思路;數學思想;數學思維

中考是對初中生學業水平的終端評價，是對學生數學學習所達水平的一種考查. 旋轉問題屬于數學探究的范疇，在中考中較為常見，大多以探究題和開放題的形式出現，對學生數學基本功以及觀察能力、綜合分析等能力都提出了較高的要求. 既然圖形旋轉問題如此重要，就需要廣大數學教師在平時的教學中逐步滲透旋轉思想，引導學生走入思維發展區，并引領學生進行類比和歸納，提高分析和解決問題的能力，同時對學生關鍵能力的發展和拓展數學思維有著不可估量的作用.

借助常規問題，理解解題思路，理解旋轉思想

在數學解題的道路上，解題思路永遠是解決數學問題的突破口，成功找尋到問題的切入口是成功解題的關鍵一環. 借助對圖形的直觀分析和思考，并通過數學的眼光進行抽象，指向數學學科的關鍵能力. 在平時的教學中，通過針對性訓練不斷滲透旋轉思想，讓學生理解圖形旋轉的基本性質，利用旋轉前后圖形全等的性質，得出解決問題的有效策略.

例1 ?如圖1，已知正方形ABCD內有一點P，若將△ABP繞點B沿著順時針方向進行旋轉后可以與△CBQ完全重合，且有BP=3，試求出PQ的長.

分析 ?借助圖形旋轉的性質，可得△ABP≌△CBQ，BP=BQ=3，∠PBQ=∠ABC=90°，則在Rt△PBQ中，利用勾股定理可得PQ=3 .

效能分析 ?本題是一道關于圖形變換的平面幾何試題，難度一般. 該題對旋轉性質的運用有較好的啟迪和導向作用，可以提高學生應用旋轉性質的靈活性，并體會其在解決問題中的重要意義.

例2 ?如圖2，已知等邊三角形ABC內有一點O，∠AOB=110°，∠BOC=α，現將△BOC繞點C沿著順時針方向旋轉60°得到△ADC，連結OD.

（1）試證明△COD為等邊三角形;

（2）若α=150°，試判斷△AOD的形狀，并闡明原因;

（3）若△AOD為等腰三角形時，試探究α的度數.

分析 ?（1）因為△ADC由△BOC旋轉而得，所以有△BOC≌△ADC，則有CO=CD，∠BCO=∠ACD. 又因為∠BCA=60°，所以∠OCD=60°，所以△COD為等邊三角形.

（2）因為α=150°，所以∠ADC=∠BOC=150°. 又因為△COD為等邊三角形，所以∠CDO=60°，∠ADO=∠ADC-∠ODC=150°-60°=90°，所以△AOD為直角三角形.

（3）因為在△AOD中，有∠AOD=360°-∠AOB-∠BOC-∠COD=360°-110°-α-60°=190°-α，∠ADO=∠ADC-∠ODC=α-60°，∠OAD=180°-∠AOD-∠ADO=180°-（190°-α）-（α-60°）=50°，當AO=AD時，則有∠AOD=∠ADO，所以190°-α=α-60°，所以α=125°;當AO=OD時，則有∠OAD=∠ADO，所以50°=α-60°，所以α=110°;當DO=AD時，則有∠AOD=∠OAD，所以50°=190°-α，所以α=140°.

效能分析 ?本題是對旋轉性質的進一步運用和升華，旨在培養學生的探究能力和綜合運用能力，并滲透了多個數學思想，如分類討論思想等. 學生通過分析和解決本題，對旋轉性質認識達到質的飛躍，在快速解決問題的同時感受圖形的魅力和幾何結論的美妙，進一步完善對旋轉思想的理解.

借助問題探究，拓展思維，實現解題關鍵

在解決圖形旋轉這一類問題的過程中，利用好旋轉變換，可以解決普通方法難以解決的很多問題，是實現正確解題的關鍵一環，通過靈活運用旋轉變換的性質，積累解題經驗，從空間變換層面可以拓展學生的思維，不斷發展學生的想象能力和應用意識.

例3 ?如圖3，已知等邊三角形ABC內有一點P，PB=2，PC=1，∠BPC=150°，試求出PA的長.

分析 ?若將△PAB繞點B沿著順時針旋轉60°，即可得到△DCB. 因為△PAB≌△DCB，所以PB=BD，PA=CD，∠PBD=∠ABC=60°，所以△BDP為等邊三角形，則有PD=PB=2，∠BPD=60°. 又因為∠BPC=150°，所以∠DPC=90°. 在直角三角形DPC中，PD=2，PC=1，再借助勾股定理，可得CD=5？搖，所以PA=5？搖.

效能分析 ?本題乍一看與圖形旋轉并無關聯，題目看似無從下手，而通過建構其與旋轉變換的橋梁，問題即可迎刃而解.

借助歸納類比，提煉數學思想，體現思維策略

在解決復雜的幾何問題時，通過歸納類比而提煉的旋轉思想去構造全等三角形，牢牢把握圖形在選擇過程中的不變量，同時切實把握幾何圖形的運動過程，找尋到解決問題的突破口，盡顯思維能力，體現思維策略.

例4 ?已知正方形ABCD中，BD為它的一條對角線，點P從點A出發，并沿著射線AB運動，連結PD，過點D作DE⊥PD并與直線BC交于點E，且直線PE與直線BD，CD分別交于點M，N，PM=3，EN=4，試求出PD的長.

分析 ?如圖4，當點P在AB上時，在AD上取一點G，使得DG=DN，連結PG. 由∠ADC=∠PDE=90°，可得∠GDP=∠NDE，借助全等三角形“SAS”判定定理，可得△GDP≌△NDE，所以PG=NE=4，∠GPD=∠NED. 同理，借助全等三角形“SAS”判定定理，可得△ADP≌△CDE，所以∠APD=∠CED，所以∠APG=∠CEN. 因為∠CEN+∠BPE=90°，∠GPM=90°，所以在Rt△PGM中，借助勾股定理可得GM=5. 因為BD為正方形ABCD的一條對角線，借助全等三角形“SAS”判定定理，可得△GDM≌△NDM，所以GM=MN=5，所以PE=PM+MN+NE=3+5+4=12. 又因為△PDE為等腰直角三角形，借助勾股定理可得PD=6 ？搖.

如圖5，當點P在AB的延長線上時，在DA的延長線上取一點G，使得DG=DN，連結PG，GM. 由∠ADC=∠PDE=90°，可得∠GDP=∠NDE，借助全等三角形“SAS”判定定理，可得△GDP≌△NDE，所以PG=NE=4，∠GPD=∠NED. 同理，借助全等三角形“SAS”判定定理，可得△ADP≌△CDE，所以∠APD=∠CED，所以∠APG=∠CEN. 因為∠CEN+∠BPE=90°，∠GPE=90°，所以在Rt△PGM中，借助勾股定理可得GM=5. 因為BD為正方形ABCD的一條對角線，借助全等三角形“SAS”判定定理，可得△GDM≌△NDM，所以GM=MN=5，所以PN=MN-PM=5-3=2，PE=PN+EN=2+4=6. 又因為△PDE為等腰直角三角形，借助勾股定理可得PD=3 .

效能分析 ?本題難度較大，具有良好的導向和啟迪作用，是探究的良好素材，值得細細品味與思考. 旋轉思想缺失的學生拿到本題都會思維受阻，進而選擇放棄. 基本功扎實的學生通過簡單圖形解決策略的積淀，找尋到平常練習的模型，成功邁出正確解題的第一步，找尋到解決復雜圖形問題的一般策略，解題思路神秘面紗瞬間揭開，通過散發數學味的探究和發掘創造性地解決問題.

總之，旋轉問題作為中考熱點問題，教師需通過上述方法為學生創設一個圖形變化的數學環境，引領學生親歷思考、探究、猜測、推導、類比、歸納等一系列實踐過程，拓展學生的思維空間，培養學生的探究能力，最終達到培養數學核心素養的目的.