一題多解得樂趣

劉彥龍

摘? 要：高中數學是所有科目中比較難的學科，它不僅要求我們對基礎知識有良好的掌握，還要求我們能巧妙地利用發散思維解題。訓練發散思維最好的方法之一就是“一題多解”。“一題多解”，不僅能增加解題樂趣，還能讓原本枯燥的解題過程變得有趣。

關鍵詞：激發興趣;開拓思路：思維方法

平時教學中要注重培養學生的思維能力，使學生養成良好的思維品質，而一題多解在數學解決問題中最為常見，它是培養學生發散思維的有效方法。

“一題多解”就是要啟發和引導學生從不同角度、不同思路，用不同的方法，去分析解答同一道數學題的練習活動。一題多解的訓練不僅能開拓學生解決問題的思路，還可以培養學生思維的靈活性和發散性，激發學生學習數學的興趣，發展智力。教給學生一題多解的基本解題方法，可以讓學生更好地掌握解題規律，提高綜合運用知識解答數學問題的技能。

【題目】（2016年普通高等學校招生全國統一考試全國Ⅱ卷數學第22題）

在平面直角坐標系 中，圓 的方程為 .

（1）以坐標原點為極點， 軸的正半軸為極軸建立極坐標系，求圓 的極坐標方程;

（2）直線 的參數方程為 （ 為參數）， 與圓 交于 、 兩點， ，求直線 的斜率.

【分析】本題屬于極坐標與參數方程問題，考察直角坐標方程與極坐標方程、參數方程與普通方程的互化，以及圓中弦長的不同計算方法。

（1）問中，對于圓 的方程為 ，只需要將 ， 代入圓 的方程化簡即可得到圓 的極坐標方程。

（2）問中，要根據所選方法的不同，應用直線 方程的不同形式，用含有傾斜角 的式子表示出弦長，再利用 ，得到關于直線 的傾斜角 的關系式，從而求得直線 的斜率 。

解：（1）把 ， 代入圓 的方程 得， ，化簡得 .所以圓 的極坐標方程為 。

（2）解法一：常規法：利用圓的弦長公式 解題。

設直線 的斜率為 ，則 的普通方程為 ，即 。

圓心 到直線 的距離 .由圓的弦長公式 得， ，解得 。

解法二：參數法：利用直線參數方程中t的幾何意義解題。

在直線 的參數方程 （ 為參數）下，設 上 、 兩點對應的參數分別為 ， .把 代入圓 的方程 得， 。于是 ， .從而 .由 得， ， ，因為 ，所以 ， ，所以 .所以，直線 的斜率為 或 。

解法三：極坐標法：利用極坐標系下 的幾何意義解題。

直線 的極坐標方程為? ，設 上 、 兩點對應的極徑分別為 ， .把 代入圓 的極坐標方程 得.? ，于是 ， .從而? .由 得， ， ，因為 ，所以 ， ，所以 .所以，直線 的斜率為 或 。

本題運用了三種方法，對直線與圓的位置關系中的相交下求弦長這一典型問題進行了研究。從不同的角度對同一問題進行了解答.提高了學生的邏輯思維能力和運算求解能力。

通過高中數學真題與經典題的一題多解，希望高中數學中“一題多解”的解題方法能受到同學們和數學教師的重視。讓同學們嘗試從不同的角度思考問題解決方法，有利于發散思維的培養。

數學知識是一個大網絡，各部分之間有著非常緊密的聯系。如果我們在解題時注意了這些聯系，就能用不同的方法去靈活解題。這樣既能加深對新舊知識的整體理解，又能提高思維的靈活性，而且會給自己帶來很多意想不到的快樂。

參考文獻：

[1]朱秀紅.數形結合思想在高中數學解題中的有效滲透[J].中學數學，2020（09）：70-71.

[2]杜蓉蓉.“一題多解”在高中數學教學中的應用探析[J].農家參謀，2020（14）：205.