中考數學動態幾何題靜態化思考

摘?要：本文通過對2014年質檢題及近幾年中考試題中的動態幾何題的分析，研究對策，尋找變化中圖形的性質和特征，抓住變化圖形中的不變量，化動為靜，發現規律，培養學生解題素養。

關鍵詞：初中數學;動態幾何題;靜態思考

運動與變化是動態觀，在解數學問題尤其是幾何圖形問題時，經常要用這種觀念來審視或分析問題，這其實就是解題的辯證觀，因為運動與靜止，固定與變化等，既對立又統一，我們利用這種對立統一就能使問題易于解決，對培養思維的靈活性很有好處，二期課改后數學中的壓軸題逐步向數形結合，動態幾何、動手操作、實驗探究等方向發展，題意創新，目的是考查學生分析問題，解決問題的能力，特別是動態幾何，讓考生感到特別煩惱，我們教師必須在教學中研究對策，把握方向，讓動態中的數學轉向靜態中思考，更好的培養學生解題素養，本文就今年龍巖質檢題及歷年各地中考題談談自己的觀點。

一、 點在線上運動問題

（2014年龍巖質檢題20）（如圖）在△ABC中，點D、E分別在邊BC、AC上，連結AD、ED，且∠1=∠B=∠C。

（1）請找出圖中一對相似三角形：______________________。

（2）若AE=3，EC=2，求線段的AD的長（精確到0.01）。

本題是在新教材九年級上《相似形》的改編，典型的一線三角（三等角）的問題。該題幾乎未提動點問題，其實質上是動態幾何問題，在∠1=∠B=∠C的條件上，點D在線段BC上運動，從而帶動了點E在線段AC上運動，在整個運動過程中，△ABD，△ADE，△DEC，△ADC中的其中兩個角都一直在變化中，因此就不能再去確定另一組角相等，此時我們必須在運動中尋找相對的靜態量，不難發現∠DAE（∠CAD）是△CAD和△DAE的公共角，雖然點D在BC上運動時，這個公共角也在變化之中，但始終是一個等量，從而得到△DAE∽△CAD。

（2014年龍巖質檢題24）（如圖）將一塊三角板放在邊長為1的正方形ABCD上，并使它的直角頂點P在對角線AC上滑動，一直角邊始終經過點B，另一直角邊與射線DC相交于點Q，設AP=x。

（1）當點Q在邊CD上時，線段PQ與線段PB有怎樣的數量關系？試證明你觀察得到的結論。

（2）是否存在點P（P不與A重合），使△PCQ為等腰三角形？若存在，請求出相應的x的值;若不存在，請說明理由。

（3）設以點B，C，P，Q為頂點的多邊形的面積為y，試確定y與x之間的出發關系式。

此考題可以從三個方面去入手：

方案（一）：過點P作PM⊥AB，PN⊥DC，垂足分別為M，N（此時M，N，P三點共線），由于點P在AC上滑動，線段PB，PQ長度也隨之發生了變化，此時必須在動中尋靜，在整個運動的過程中，正方形ABCD和三角板EPF始終不會發生變化，即∠FPE都為直角，從而恒有∠1+∠2=90°也就可得∠MBP=∠2，∠1=∠NQP的結論（靜態量），還有由正方形的性質也可得到△AMP和△CNP也是等腰直角三角形，雖然等腰三角形大小會隨點P的運動發生變化，但其形狀不變，因此也就容易得到的結論（靜態量）從而證得△BMP≌△PNQ。

方案（二）：過點P作PM⊥BC，PN⊥DC，由于線段AC是正方形ABCD的對角線，不論P點在線段AC上如何運動，四邊形PNCM都為正方形，始終都有∠MPN=90°。又因為∠EFP始終也是直角，即∠1+∠MPQ=∠2+∠MPQ=90°從而得到∠1=∠2的結論（靜態量），易證得△PNQ≌△PMB即PB=PQ。

方案（三）：本題由于沒有說明點P不能與點A重合，①當點P與A重合時，PB=AB，PQ=AD，容易得到PQ=PB，②當點P與線段AC的中點O重合時，PB=OB，PQ=OC此時也可得到PQ=PB，但我們不能以特殊情況去說明一般性的結論，當點P滑動到線段AC的中點之前，

都恒有∠FPE=∠BCD=90°（靜態量），在四邊形BFGC中都存在著∠BPQ+∠BCQ=180°，從而構成了以BQ為直徑，P，Q，C，B，四點共圓，再由正方形的性質可得∠1=∠2=45°，即PQ，PB所對的劣弧都為45°的弧（同圓中等弧對等弦）證得PQ=PB。

二、 繞定點旋轉的問題

研究歷年來各地區的動態幾何壓軸試題，就能明確中考數學試題熱點的形成和命題的動向，在素質教育的背景下更明確地體現新課程標準的導向，動態幾何題最突出的特點就是圖形是運動的，變化的，解決動態問題時：首先需要把動態問題靜態化，化為幾個靜態的過程，“以靜制動”抓住變化中的“不變量”以不變應萬變。

（2013年莆田中考題25）在Rt△ABC中，∠C=90°，D為AB邊上一點，點M，N分別在BC，AC邊上，且DM⊥DN，作MF⊥AB于點F，NE⊥AB于點E。

（1）特殊驗證：如圖1，若AC=BC，且D為AB的中點，求證：DM=DN，AE=DF。

（2）拓展探究：若AB≠AC。

①如圖2，若D為AB的中點，（1）中的兩個結論有一個仍成立，請指出并加以證明。②如圖3，若BD=kAD，條件中“點M在BC邊上”改為“點M在線段CB的延長線上”其他條件不變，請探究AE與DF的數量關系并加以證明。

此考題雖然沒有提到“動”字，但實質也是一道動態幾何題，即∠NDM繞著點D轉動，點M，N分別在BC，AC邊上運動，而∠NDM始終為直角，此類型在前面我們也探究過，不難發現恒有∠1+∠2=90°，又因為MF⊥AB，NF⊥AB從而推得∠1=∠FMD，∠2=∠END（靜態量），接著可能較多學生就想方設法去證△DEN≌△MFD而錯誤，應注意考慮條件，△ABC為等腰三角形，點D又是底邊AB上的中點，（即三線合一）。因此連接CD，易得到∠CDA=∠CDB=90°（靜態量），從而證得△CDM≌△ADN，即DN=DM，再去證得△DEN≌△MFD即NE=DF，又因為△AEN始終也為等腰三角形（靜態量）所以AE=NE即AE=DF成立。

第（二）小題在第（一）小題的基礎上改編，也屬于動態幾何題，還是應該從動中尋靜，（如圖）不妨過點D作DQ⊥AC，DP⊥BC，從而四邊形QDPC恒為矩形（靜態量）就不難得到∠1=∠2，易證△DQN∽△DPM，即DNDM=DQDP。易證△DEN∽△MFD得DNDM=ENFD，所以DQDP=ENFD從而PBPD=ENFD。易證

△AEN∽△DPB得AENE=DPBP所以ENFD=AENE即AE=FD。

（2013年三明中考題22）如圖1，AB是半圓O的直徑，以OA為直徑作半圓C，P是半圓C上的一個動點（P與A、O不重合），AP的延長線交半圓O于點D，其中OA=4。

（1）判斷線段AP與PD的大小關系，并說明理由。

（2）連接OD，當OD與半圓C相切時，求弧AP的長。

（3）過點D作DE⊥AB，垂足為E（如圖2）設AP=x，DE=y，求y與x之間的函數關系式，并寫出x的取值范圍。

此考題是以點P在半圓C上運動，帶動了點D在半圓O上的運動，從而形成了線段AD繞點A轉動的問題。

方案（一）：連接PQ，OD，不論如何繞A怎樣轉動，始終有幾個量是恒定的，即∠APO=90°（直徑所對的圓周角是直角）（靜態量），在半圓O中半徑相等即AO=DO（靜態量），不難就想到了等腰三角形的性質（三線合一），證得AP=PD。

方案（二）：連接PO，BD，不論如何繞A怎樣轉動都恒有∠APO=∠APB=90°（直徑所對的圓周角為直角）（靜態量）從而得到PO∥BD，又因為點O為線段AB的中點，根據平行線的性質，點P也是線段AP的中點，證得AP=PD。

（2）（3）題略。

總之，動態幾何題是以幾何知識和幾何圖形為背景，滲透運動變化，反映了“運動”與“靜止”，“固定”與“變化”的內在聯系，通過幾何圖形的變化，讓學生經歷觀察，想象和探索的過程，考查學生創新意識的重要題型，解決這類問題應抓住變化中圖形的性質和特征，化動為靜，讓動態問題向靜態化中去思考。

參考文獻：

[1]林金鐘.談一道中考數學壓軸題的命制過程[J].福建教育，2012（46）.

[2]周淑萍，蔡德清.基于課標的初中數學校本作業的設計與說明[J].福建教育，2013（19）.

作者簡介：黃德輝，福建省漳平市，福建省漳平第三中學。