高中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)抽象的表現(xiàn)與教學(xué)實踐

王銀娣

[摘? 要] 在核心素養(yǎng)培育的背景之下，既然要培養(yǎng)學(xué)生的關(guān)鍵能力，那對數(shù)學(xué)抽象的理解就要再深入一步. 對數(shù)學(xué)抽象過程至少有三點深度理解：首先，數(shù)學(xué)抽象是學(xué)生對生活情境或原有數(shù)學(xué)知識的不同深度的思維加工;其次，數(shù)學(xué)抽象是用數(shù)學(xué)方法進行表征，用數(shù)學(xué)語言進行描述的過程;再次，數(shù)學(xué)抽象在知識與技能的體現(xiàn)、思維與表達的水準(zhǔn)及交流與反思的表現(xiàn)上存在不同. 借助于數(shù)學(xué)抽象培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力，利用抽象思維能力完成數(shù)學(xué)抽象，就是一個相互促進、相得益彰的過程.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)抽象;表現(xiàn);教學(xué)

數(shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)六個要素中的第一要素，也是一線教師研究數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的第一抓手，很多情況下對數(shù)學(xué)抽象的理解，就是將形象的生活事物轉(zhuǎn)換成抽象的數(shù)學(xué)研究對象的過程，當(dāng)轉(zhuǎn)換后的數(shù)學(xué)研究對象能夠純粹地用“數(shù)”與“形”去進行描述時，那數(shù)學(xué)抽象的過程就認為是成功的. 從一般意義的角度來看，這樣的理解沒有問題，也是絕大多數(shù)高中數(shù)學(xué)課堂上數(shù)學(xué)抽象教學(xué)的常態(tài). 但是筆者認為，在核心素養(yǎng)培育的背景之下，既然要培養(yǎng)學(xué)生的關(guān)鍵能力，那對數(shù)學(xué)抽象的理解就要再深入一步. 作為一線教師一般都知道，數(shù)學(xué)抽象是高階思維加工的產(chǎn)物，而數(shù)學(xué)抽象的結(jié)果總有一定的表現(xiàn)形式，對其表現(xiàn)形式進行深度研究，可以讓數(shù)學(xué)教學(xué)更好地通往核心素養(yǎng)的彼岸.

高中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)抽象表現(xiàn)及理解

其實從學(xué)生學(xué)習(xí)結(jié)果的角度來看，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對象很多都是數(shù)學(xué)抽象的產(chǎn)物，因此數(shù)學(xué)抽象的主要表現(xiàn)為：獲得數(shù)學(xué)概念和規(guī)則;提出數(shù)學(xué)命題與模型;形成數(shù)學(xué)方法與思想;認識數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)與體系. 從這個角度來理解數(shù)學(xué)抽象，可以發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象的理解其實可以更加精細化，而以這些結(jié)果反推數(shù)學(xué)抽象的過程，結(jié)合《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中對數(shù)學(xué)抽象的水平劃分與素養(yǎng)體現(xiàn)的界定，那對數(shù)學(xué)抽象過程至少有這樣幾點理解.

首先，數(shù)學(xué)抽象是學(xué)生對生活情境或原有數(shù)學(xué)知識的不同深度的思維加工，最終表現(xiàn)為數(shù)學(xué)抽象的水平不同. 高中數(shù)學(xué)知識體系當(dāng)中，有些概念或規(guī)律直接來源于生活，而另有一些概念或者規(guī)律則來自學(xué)生已經(jīng)掌握的相關(guān)概念，然后基于一定的邏輯關(guān)系進行的演繹，不同的知識對應(yīng)的思維加工深度是不一樣的，因此學(xué)生最終表現(xiàn)出來的數(shù)學(xué)抽象水平是不同的.

其次，數(shù)學(xué)抽象是學(xué)生對生活情境進行思維加工之后，再用數(shù)學(xué)方法進行表征，用數(shù)學(xué)語言進行描述的過程，思維水平的不同對應(yīng)著不同的抽象結(jié)果. 數(shù)學(xué)抽象與數(shù)學(xué)表達不完全相同，數(shù)學(xué)表達是用數(shù)學(xué)語言描述數(shù)學(xué)抽象結(jié)果的，其強調(diào)的是數(shù)學(xué)語言的準(zhǔn)確選擇與運用;相應(yīng)的數(shù)學(xué)抽象則是側(cè)重于思維過程.

再次，數(shù)學(xué)抽象存在于數(shù)學(xué)概念的建立、數(shù)學(xué)規(guī)律的探究以及數(shù)學(xué)問題的解決過程中，學(xué)生在知識與技能的體現(xiàn)、思維與表達的水準(zhǔn)及交流與反思的表現(xiàn)上存在不同.

例如，函數(shù)的單調(diào)性與最大（小）值教學(xué)中，數(shù)學(xué)抽象的起點往往是學(xué)生熟悉的函數(shù)，如一次函數(shù)或者二次函數(shù);數(shù)學(xué)抽象的重點則是“函數(shù)單調(diào)性”概念的得出. 起點是學(xué)生比較熟悉的情境（對應(yīng)著《課標(biāo)》中數(shù)學(xué)抽象水平劃分的“水平I”），得到的是“函數(shù)單調(diào)性”——包括概念、定義，以及相應(yīng)的定義域的某個區(qū)間，尤其是單調(diào)增或單調(diào)減的邏輯關(guān)系等. 學(xué)生所理解的是數(shù)學(xué)抽象的結(jié)果，學(xué)生所記憶的則是數(shù)學(xué)語言表述的形式.

基于數(shù)學(xué)抽象表現(xiàn)實施高中數(shù)學(xué)教學(xué)

既然數(shù)學(xué)抽象的表現(xiàn)是不一樣的，那在實際教學(xué)中就要根據(jù)數(shù)學(xué)抽象的不同表現(xiàn)，設(shè)計相應(yīng)的教學(xué)過程. 在這個過程當(dāng)中，數(shù)學(xué)抽象能力的培養(yǎng)又是關(guān)鍵. 數(shù)學(xué)抽象能力其實是一種通俗的說法，由于數(shù)學(xué)抽象與概括往往是結(jié)合在一起的，因此數(shù)學(xué)抽象概括能力由抽象和概括兩部分組成，其是一種數(shù)學(xué)思維能力，是人腦和數(shù)學(xué)思維對象、空間形式、數(shù)量關(guān)系等相互作用并按一般思維規(guī)律認識數(shù)學(xué)內(nèi)容的內(nèi)在理性活動的能力，是高層次的數(shù)學(xué)思維能力. 下面來看一個例子. 在理解“增函數(shù)”和“減函數(shù)”概念的時候，應(yīng)當(dāng)重點設(shè)計兩個方面：一是單調(diào)函數(shù)的文字表述;二是單調(diào)函數(shù)的圖像表述. 文字表述主要是定義，雖然教學(xué)內(nèi)容是增、減兩種函數(shù)，但實際上引導(dǎo)學(xué)生理解和記憶的時候，只需要側(cè)重于其中的一個（通常是增函數(shù)），而減函數(shù)的表述與圖像，則可以讓學(xué)生自己去推導(dǎo)、理解、記憶，這樣可以減輕記憶負擔(dān)，增強理解效果.

在設(shè)計增函數(shù)文字表述與圖像表述的時候，考慮到學(xué)生的思維過程，具體設(shè)計應(yīng)當(dāng)是這樣的：

首先，在分析一次函數(shù)和二次函數(shù)的基礎(chǔ)上，幫學(xué)生回憶已經(jīng)形成的關(guān)于單調(diào)增與單調(diào)減的初步認識（類似于默會知識）.

其次，對生成的經(jīng)驗進一步抽象，以形成精確的數(shù)學(xué)理解. 這里要強調(diào)定義域、區(qū)間、兩個自變量x1和x2，以及對應(yīng)的函數(shù)f（x1）和f（x2），當(dāng)然也包括“如果x1>x2，那么f（x1）>f（x2）”的邏輯關(guān)系. 緊緊抓住這些要素而忽略其他，就完成了數(shù)學(xué)抽象的關(guān)鍵環(huán)節(jié).

再次，將增函數(shù)的文字表述及理解，與相應(yīng)的圖像結(jié)合起來. 這是學(xué)生理解單調(diào)函數(shù)的時候容易忽視的一個環(huán)節(jié)，雖然大多數(shù)學(xué)生能夠基于圖像的形狀判斷出增減性，但是很少有學(xué)生將定義與圖像結(jié)合起來. 這個環(huán)節(jié)非常重要，在教學(xué)中讓學(xué)生在圖（如圖1）上將上述關(guān)鍵點標(biāo)出，這樣的一一對應(yīng)，可以讓學(xué)生對增函數(shù)的理解更加深刻與清晰.

從思維能力的角度理解數(shù)學(xué)抽象教學(xué)

從數(shù)學(xué)抽象表現(xiàn)的角度來看，文字與圖像分屬兩種不同的表現(xiàn)方式，而從數(shù)學(xué)抽象的水平劃分與素養(yǎng)體現(xiàn)來看，學(xué)生在上述數(shù)學(xué)抽象的過程中，實際上文字和圖像是交替進行的：給出一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖像，讓學(xué)生判斷變化趨勢，這是圖像加工;從高中函數(shù)定義的角度理解函數(shù)的變化，這是文字加工;理解單調(diào)函數(shù)的定義，這是文字加工;將單調(diào)函數(shù)的定義與圖像結(jié)合起來，又是圖像加工. 如此交替進行，數(shù)學(xué)抽象就進行得非常充分.

數(shù)學(xué)抽象本質(zhì)上是一個綜合性的思維過程，所用到的主要是學(xué)生的形象思維和抽象思維，學(xué)生的形象思維能力一般來講比較強，因此在數(shù)學(xué)情境中能夠比較迅速地生成表象，這也就支撐了形象思維的展開. 相比較而言，數(shù)學(xué)抽象中的抽象思維能力培養(yǎng)則需要認真對待，抽象思維是人類思維達到高級階段產(chǎn)生的一種能力，而抽象性是數(shù)學(xué)學(xué)科三大特征中最本質(zhì)的特征之一，可以說沒有抽象就沒有數(shù)學(xué)，因此借助于數(shù)學(xué)抽象培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力，利用抽象思維能力完成數(shù)學(xué)抽象，就是一個相互促進、相得益彰的過程.

站在思維能力的角度理解數(shù)學(xué)抽象，可以讓數(shù)學(xué)抽象不至于在教學(xué)過程中變得空洞化，這是一個非常重要的思路，而這也意味著數(shù)學(xué)抽象的教學(xué)從經(jīng)驗走向了專業(yè)，其為數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的其他要素落地提供有益的思考與借鑒.