撥開迷霧見晴天

杜占杰

【摘要】數學學科具有較強的抽象性和邏輯性，需要學生具備一定的抽象思維能力。從目前的數學教學情況來看，學生在數學學習方面存在一定的問題，如對知識理解得不夠深入、難以靈活運用所學知識等。而造成這些問題出現的原因是多方面的，如學生原有的知識經驗背景、學習動機與傾向、能力水平等主觀因素，以及學習材料的內容與形式、教師的講解等客觀因素，都會影響學生對知識的理解。在數學教學中，教師應注意合理利用有利因素，引導學生積極主動地對新知識展開探究，以幫助學生更好地理解所學知識，從而達到學以致用的目的。筆者結合自身教學經驗，對影響學生理解知識的因素展開分析，以期對相關工作者提供參考。

【關鍵詞】知識理解;主觀因素;客觀因素;數學教學

由于數學學科涉及較多的公式、定理，在數學學習中，學生主要通過概念及其關系來理解、應用數學知識。概念與概念之間的聯系通過定理來體現，而對定理的正確理解及恰當應用是解決數學問題的前提和基礎。學生只有對定理形成深入的理解，才能對數學問題進行正確分析，從而對所學知識進行判斷推理、論證，最終形成正確的數學思想。

在課堂教學中，教師如何通過適當的策略引導學生認知并理解所學定理是數學教學的關鍵環節。威特洛克認為：“學習是學習者生成信息的意義過程，這一過程是通過原有認知結構及相關知識經驗與從環境接收到的感覺信息的相互作用過程而實現的。”

從主觀方面來說，理解作為新信息與原有知識經驗的相互作用過程，它的生成依賴于學習者的主動加工活動，這樣看來，理解的效果會受下面幾種因素的影響。

一、學生原有的數學知識經驗基礎

學生通過之前的學習及生活積累，已經掌握了一些基礎的數學知識，其中一些知識是關于數學的經驗和直觀感知，是學生進行后續學習的基礎。在教學中，教師不能忽視學生的這些已有經驗，應該從這些已有的知識經驗中引導學生學習新的。例如，計數原理是學習排列組合的基礎，教師可以引導學生思考：排列數公式為什么會有這樣的結果。教師應這樣引導學生：假定有排列順序的 m 個空位，從 n 個不同的元素 a1，a2，…，an中任取 m 個去填空，1個空填寫一個元素共有多少種方法？教師可以用分步計數原理來引導學生思考上述問題：第一步，填第一個空，有 n 種方法;第二步，填第二個空，有 n-1 種方法，依次類推，當前面 m-1個空填上后，第 m 個空位只能從余下的 n-（m-1）個元素中任取一個，由分步原理可得排列數公式。這樣，學生就能在教師的引導下，結合已有的知識經驗解決新的數學問題，從而取得較好的學習效果。

二、學生的學習動機與興趣

對所學內容充滿好奇心是激發學生興趣與動機的關鍵，同時學習的結果又會對學生的學習動機形成反作用力。積極的學習動機和學習興趣可以調節學生的身心狀態，使學生對學好數學有信心，并朝著正確的方向努力。為了激發學生的學習動機，教師應積極培養學生的學習興趣。在課堂教學中，教師應從學生的實際經驗出發，運用多種教學手段引導學生對定理展開自主探究，以探討定理的本質，而不是告訴學生這個定理是重要考點來引起學生重視。例如，在教學兩角和的正余弦公式時，教師可以出示例題：思考cosa·cos（a+b）+sina·sin（a+b）=？附屬內驅力動機的學生往往希望能夠快速、順利解答此題，會將cos（a+b）=cosa·cosb-sina·sinb，sin（a+b）=sina·cosb+cosa·sinb展開，結果發現這樣反而將式子變得更加復雜，無從下手。而具備認知內驅力的學生會從整體入手，通過觀察式子的結構發現其本質是兩角差的余弦的展開式，可將式子中的 a+b 看作整體，即直接還原公式為 cos[a-（a+b）]=cos（-b）=cosb。

三、學生的數學能力水平

知識的學習與理解還會受到學生自身認知能力水平的制約。在教學與發展的關系中，“最近發展區”是提高學生能力的關鍵因素，所以在教學中，教師要合理地設置教學進度與教學順序，循序漸進地開展教學，在課堂教學過程中，不斷培養、提高學生的數學能力。例如，在幾何中，立體幾何教學的順序會安排在平面幾何的后面。立體圖形是由平面圖形構成的，并且一些平面圖形的性質是立體幾何的基礎。學生只有真正理解并掌握了平面幾何的相關內容，才有可能透徹理解立體幾何的相關知識。

從客觀方面來說，理解是新信息與原有知識經驗相互作用的過程，學習材料的內容和表現形式會影響學生理解的過程和結果。

首先，學習材料的內容應是具體、形象的，是與學生實際生活聯系的信息，更容易在學生的經驗背景中引起共鳴，從而使學生將新知識和自身經驗形成緊密的聯系。學習材料的復雜性和難度會影響學生對知識的理解，一般來說涉及因素較少、概念關系比較直接的知識易于學生接受和理解。當學習材料中包含復雜的、難以理解的知識和概念時，學生便不能正確分析各部分之間的關系，從而導致學習出現困難。這時，教師可以將復雜知識進行分解或者轉化，分解為可以逐步解決的小問題，或者轉化為容易理解和解決的問題。

例如，在正方體ABCD-A1B1C1D1中（見圖1），一只螞蟻想從A點爬到C1點，求最短的路徑。教師若畫圖形為立體圖形，學生便很難解答這一題目。此時，教師可將其間接轉為具體形象的平面圖形，即把立體圖形拆開轉變成平面圖形，相當于矩形ACC1A1，則題目轉換為從矩形的一個頂點到對角的另一個頂點的最短距離，學生便很容易得出結論：兩點之間線段最短，所以連接對角線則為所求結果。

其次，學習材料內容的形式應是直觀的。學習材料在表現形式上是否直觀也會影響學生對知識的理解，同樣的學習內容，教師如果用比較直觀、形象的方式表現出來，學生可能會比較容易理解;相反，教師如果用抽象的方式表現出來，就會影響學生對問題的理解。教師應引導學生將材料所給的信息靈活轉化為具體、直觀的表征信息。

例如，在△ABC中，邊長a∶b∶c = 2∶3∶4，試判斷三角形的形狀。思考：本題所給信息量不多，但需要學生從中挖掘出有效信息并轉化為可直接用于解決問題的知識。教師可以引導學生思考解三角形中的余弦定理，本題中只需求出最大角即可，而最大角即為最長邊所對的角。解題方法：設 a=2k，b=3k，c=4k，由余弦定理可得所以∠C為鈍角，△ABC為鈍角三角形。上述例子中，教師將材料所給的內容加工分析后，形成與學生已有知識經驗相關的內容，很好地幫助學生解決了問題。

最后，教師的講解方式。教師在知識講解的過程中要注意使用正確的方式方法，教師的講解不應局限于對某一具體知識的描述與解釋，而應具有啟發性和引導性，不僅要讓學生明白怎么做，還要讓學生明白為什么這么做，是否還存在更好的解決方法，幫助學生正確建立起知識所包含的各概念之間，以及新學知識與已有知識之間的聯系。需要注意的是，在教學中，教師的教學語言應深入淺出、通俗易懂。

總之，影響知識理解的因素還有很多，如學生的性格特征、情緒心理、學習氛圍等，這就需要教師在平時的教學中反思總結、因材施教，用恰當的教學方法幫助學生積極構建自身的知識體系，從而使學生更好地理解數學知識。

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