習題的價值

黎中賢

【摘 要】應試教育的大環(huán)境下，學生容易陷入一種模式化、套路化的思維誤區(qū)。多數(shù)學生運用題海戰(zhàn)術(shù)學習數(shù)學，很少去思索習題本身所蘊含的價值。對此，本文著重討論如何對基礎(chǔ)的高中數(shù)學習題進行深度轉(zhuǎn)化。筆者認為具體包括三個步驟，一是從“理論”到“實踐”;二是思維轉(zhuǎn)化;三是理論概括。經(jīng)過這三個步驟，習題的價值可以得到發(fā)揮，高中生的綜合學習能力也能得到提升。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學;習題;深度拓展

【中圖分類號】G633.5 ?【文獻標識碼】A ?【文章編號】1671-8437（2020）16-0149-02

高中數(shù)學習題數(shù)量多，種類繁雜，對學生來說無疑是一個很大的挑戰(zhàn)。其實，數(shù)學習題具有靈活性，不能夠簡單地根據(jù)框架和套路解題，那樣只是得到一個結(jié)果，而不能理解其本質(zhì)內(nèi)涵。在高中數(shù)學習題教學的“深度拓展”中，教師的一項重大責任在于使習題擺脫“一道題目”等諸如此類的價值判斷，讓其價值在學生的成長道路上得到充分展現(xiàn)。

1 ? “理論”為“實踐”之基

如何讓學生熟練掌握和運用“理論”呢？

第一，應當是識記。有的人認為識記只是單純的記憶，沒有技術(shù)含量，也沒有其他更值得深入探尋的方向。其實不然，識記并不只是簡單的機械記憶，在識記的過程中，學生要初步理解公式、定理。這一步在以后學生分析和拓展習題內(nèi)涵的過程中有著關(guān)鍵作用。如果學生在學習的過程中輕易忽略“識記”，直接進行后續(xù)的思維活動，則會浪費時間和精力，因此“識記”是必不可缺的。教師也應當提醒學生，不能因為簡單而忽略、輕視這一步。如有關(guān)集合的概念和運算，子集、真子集、補集、交集、并集等，又如函數(shù)的三要素——定義域、值域、對應法則，這些都是非常基礎(chǔ)的，學生需要掌握。

如題：已知集合，，則集合用列舉法表示是____。這道題本身不具有難度，但其中有一個概念是需要學生識記的，即“列舉法”。因為有了這個限定詞，學生就不能用集合表示，而是需要將元素一個一個寫出來。如果學生不明白“列舉法”這個概念，就很容易出現(xiàn)錯誤。

第二，在識記的基礎(chǔ)上運用。這一步驟相對基礎(chǔ)，高中生是有能力自己學習、理解、掌握的。教師可以稍稍進行提點，但切忌將思路方法和盤托出，這樣不僅會中斷學生的獨立思考，而且會使學生產(chǎn)生依賴性。長此以往，不利于學生思維的發(fā)展。

經(jīng)過練習，教師可以發(fā)現(xiàn)學生已經(jīng)基本可以熟練運用概念，如函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性以及函數(shù)圖象變化等。然后可以通過具體習題檢驗學生水平，如題：已知函數(shù)在區(qū)間（-∞，4）上是減函數(shù)，則的取值范圍是？因為函數(shù)的圖象是開口方向朝上的，若該函數(shù)在區(qū)間（-∞，4）上是減函數(shù)，則，解得。這道題也并不難，對學生的主要要求是掌握函數(shù)的圖象。

不過即便是熟悉了概念，學生也僅是觸及到了概念的皮毛，在習題的拓展中，他們還將接觸到更為廣闊的知識領(lǐng)域。

2 ? 習題深度探析過程中的思維轉(zhuǎn)換

習題的深度探析的一個重要依托是思維轉(zhuǎn)化。要深度解剖習題，對其的研究分析就不能流于表面[1]。而透過表面發(fā)現(xiàn)本質(zhì)的關(guān)鍵在于通過“思維轉(zhuǎn)換”的方法進行探析。常見的思維轉(zhuǎn)換方法有“難易轉(zhuǎn)換”“化繁為簡”“轉(zhuǎn)換目標”等，具體包括將復雜的式子設為另一個元，或者對等式和不等式的兩邊進行移項。這些看似簡單的方法，其實正是思維轉(zhuǎn)化的體現(xiàn)。通過這些例子可以看到，解題的思路非常明晰地從一種轉(zhuǎn)換為另一種。在轉(zhuǎn)換過程中，習題的拓展深度已經(jīng)被部分挖掘出來。

但是要突破刻板思維并非易事。難點在于，學生原來已擁有一定程度的思維定勢。如雖然看到題干中的這一個條件，但是學生很可能下意識地忽略都不小于零這個“反面條件”。而對于有些題目，正是要反其道而行之，需要運用“反面條件”解題。這個思維的突破需要不斷地練習，久而久之，學生就會逐漸養(yǎng)成新的思維方式。雖然從本質(zhì)上來說，這也是一種“思維慣勢”，但已經(jīng)有所進步了。

另外，一旦在思維轉(zhuǎn)化上有所突破，學生將會迎來一個新問題——“學習高原”。這個概念簡單來說就是指學生在后期的學習中進步緩慢。這個問題繼思維轉(zhuǎn)化之后，成為學生提高思維能力的又一大障礙。對此，筆者認為最佳的辦法就是創(chuàng)新[2]。長久持續(xù)的思維訓練必不可少，但是更重要的是創(chuàng)新。學生的創(chuàng)新能力越強，突破“學習高原”的速度也就越快，在思維轉(zhuǎn)化上也將更上一層樓。這對于習題的“深度拓展”來說，是具有積極意義的。

3 ? 習題價值的高度體現(xiàn)——普遍性的理論概括

在進行了基礎(chǔ)識記和思維轉(zhuǎn)化兩個步驟之后，習題的“深度拓展”沒有完結(jié)，還可以進一步挖掘、提煉習題的核心意義。在這里，習題的價值能夠得到高度體現(xiàn)。

通過思維轉(zhuǎn)換，學生可以明確一系列的解題方法和解題思路。這些方法和思路存在于人腦中時，并不能自動形成一個清晰完整的體系[3]。對此，教師可以引導學生，讓其通過歸納整理的方法小結(jié)，使其具有系統(tǒng)性。最簡單的歸類方法就是按照題目的類型整理，稍有難度的是按照解題思路分類。這個習題的小結(jié)可以幫助學生理順思維，突破某些刻板思維，從而達到對習題了然于心。如題：求證20202021>20212020。一般來說，學生如果沒有過多思考，就會按照第一直覺直接從具體數(shù)字入手，但是在這過程中，部分學生會發(fā)現(xiàn)難以證明。那么教師在教學中要如何指導學生解題呢？以一般化的思路導入是最恰當不過的。首先，引導學生將解題思路拓展，跳出原有就題目解題目的思維，進而退到最基本的情形，然后再逐步歸納，不難得出（且）。其次，通過數(shù)學歸納法證明此一般性命題的正確性，接著據(jù)此求證特殊性命題，結(jié)果就迎刃而解了。此外，教師還可以引導學生進行進一步的一般化探索。經(jīng)過分析論證，可以得到更為一般的結(jié)論：當時，;當時，。至此，學生所解決的問題，就不再是一道題，而是一類題，在日后的學習中學生就能夠輕易地解決此類問題。最后，教師要耐心指引，引導學生養(yǎng)成積極正面的心態(tài)，同時，也可以與學生一起交流，營造良好的思維活動氛圍。

如向量AB乘向量CD，這個向量運算除了課本上提到的方法，還有另一種方法，即向量AB乘向量CD等于[（AD2+BC2）-（AC2+BD2）]。這個公式可以在“驗錯”過程中檢驗。而經(jīng)過多次對于不同題型的驗證，可以知道，這個公式是正確的。

總之，數(shù)學作為一門邏輯性極強的學科，其習題的研究自然而然也需要強大的邏輯思維。所以，對數(shù)學習題“深度拓展”的理論研究，理應立足于綜合的思維過程。未來，隨著數(shù)學學科的深入發(fā)展，數(shù)學習題的研究也一定會迎來嶄新的變革。然而千變?nèi)f化，內(nèi)涵卻將永遠延續(xù)。因此，對于數(shù)學習題的“深度拓展”，也要持續(xù)貫穿于學生的學習與生活之中。教師需要不斷研習和改良習題，并幫助學生對習題進行深度探究，這有助于學生數(shù)學思維的綜合發(fā)展，也會對其終生發(fā)展產(chǎn)生影響。

【參考文獻】

[1]沈健.簡約而不簡單——談高中數(shù)學習題教學的“深度拓展”[J].高考，2019（14）.

[2]丁祥，談高中數(shù)學習題教學中的思維拓展[J].數(shù)理化解題研究，2015（17）.

[3]張朱櫻，高中教學延伸拓展教學的多維研究思路[J].數(shù)學大世界（上旬），2017（5）.