分析高中數(shù)學(xué)解題中的隱函數(shù)求導(dǎo)法的應(yīng)用

陳創(chuàng)明

摘 要：文章就簡(jiǎn)單分析隱函數(shù)的概念及求導(dǎo)的法則，接著分析高中數(shù)學(xué)解題中隱函數(shù)求導(dǎo)法應(yīng)用存在的不足，最后探討隱函數(shù)求導(dǎo)法具體的應(yīng)用，僅供參考。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);隱函數(shù)求導(dǎo);求導(dǎo)法則;具體應(yīng)用

一、隱函數(shù)定義分析

隱函數(shù)就是由隱式方程式所隱含定義的函數(shù)。即沒有指明x與y存在的函數(shù)關(guān)系y=f（x），而是直接給出f（x，y）=0的關(guān)系。如方程式f（x，y）=0能確定y是x的函數(shù)，那么這個(gè)函數(shù)式就是隱函數(shù)。在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，隱函數(shù)是相對(duì)于顯函數(shù)而言的。所謂的顯函數(shù)就是在解析式中能明顯地用一個(gè)變量的代數(shù)式來表示另一個(gè)變量，這個(gè)函數(shù)式就可以被稱為顯函數(shù)，其表示式為y=f（x）。例如：函數(shù)y=3x+5就是顯函數(shù)，而函數(shù)x2+y2+2=0就是典型的隱函數(shù)。具體來說，假設(shè)f（x，y）是某一定義域上的函數(shù)，如果存在定義域上的子集D，使得對(duì)每一個(gè)x都屬于D，則存在著相應(yīng)的y滿足函數(shù)f（x，y）=0，這樣就可以稱該方程確定了一個(gè)隱函數(shù)，記為y=y（x）（見圖1）。

在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，顯函數(shù)與隱函數(shù)具有明顯的區(qū)別，具體表現(xiàn)在：第一，顯函數(shù)都是用y=f（x）來表示的函數(shù)，左邊是一個(gè)y，而右邊是x的表達(dá)式。例如：y=2x+1。而隱函數(shù)則是x與y混合在一起的表達(dá)式，如2x-y+1=0;第二，隱函數(shù)不一定能寫為y=f（x）的形式，如x2+y2=0;第三，在某些情況下，部分隱函數(shù)可以轉(zhuǎn)化成顯函數(shù)，這種轉(zhuǎn)化形式被稱為隱函數(shù)顯化。但也有部分隱函數(shù)是無法顯化的，比如說ey+xy=1，就是無法顯化的隱函數(shù)。

二、隱函數(shù)求導(dǎo)法則簡(jiǎn)析

在高中數(shù)學(xué)隱函數(shù)求解的過程中，對(duì)于一個(gè)已經(jīng)被確定存在著的且是在可導(dǎo)的情況下，我們就可以運(yùn)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t對(duì)其進(jìn)行求導(dǎo)。在求導(dǎo)的過程中，我們可以在方程的左右兩邊先對(duì)x進(jìn)行求導(dǎo)，因?yàn)楹瘮?shù)中的y其本質(zhì)是變量x的一個(gè)函數(shù)，所以，我們就可以直接得到帶有y'的一個(gè)方程，接著就可以繼續(xù)化簡(jiǎn)得出y'的表達(dá)式。

三、高中數(shù)學(xué)解題中常用的隱函數(shù)求導(dǎo)法

（一）拋物線求導(dǎo)法

在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，圓、橢圓、雙曲線和拋物線都不是函數(shù)，因此，在求解這類隱函數(shù)方程時(shí)都是求解切線方程及切點(diǎn)弦方程。

例如：已知拋物線C：y2=x及C上一點(diǎn)A（1，1），過點(diǎn)A作拋物線C的切線，求切線方程。

解析：針對(duì)這道題，可以對(duì)方程y2=x的兩邊直接求導(dǎo)，這樣就可以得出2y·y'=l，進(jìn)而得出y'=1/2y。在點(diǎn)A（1，1）處的導(dǎo)數(shù)y'|x=1=y'|y=1=1/2。因此，該隱函數(shù)拋物線的切線方程就可以表示為：y-1=1/2（x-1），也就是x-2y+1=0。

（二）橢圓切線方程求導(dǎo)法

正如筆者在上文所說，橢圓也不是函數(shù)，這類型的函數(shù)問題也是切線問題。而且這類型的切線問題是導(dǎo)數(shù)知識(shí)與解析幾何知識(shí)的交匯點(diǎn)，是近年來高考數(shù)學(xué)的熱點(diǎn)問題，特別是知道切點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，使用橢圓的切線方程進(jìn)行求導(dǎo)就成為一種十分簡(jiǎn)便的手段。

例如：橢圓C：x2/a2+y2/b2=1（>b>0）上一點(diǎn)P（x0，y0），求過點(diǎn)P的橢圓C的切線方程。

分析：針對(duì)這道題，我們可以使用隱函數(shù)來對(duì)橢圓的切線方程進(jìn)行求導(dǎo)。

解析：對(duì)該方程求導(dǎo)可以得出2x/a2+2yy’/b2=0，接著就可以得出y'=-b2x/a2y，即該橢圓的斜率為-b2x0/a2y0。因此，本題所求的橢圓C的切線方程就是：y-y0=-b2x0/a2y0（x-x0），經(jīng)整理后可以得到：x0x/a2+y0y/b2=1。

（三）對(duì)數(shù)求導(dǎo)法

在實(shí)際解題中，很多顯性函數(shù)在求導(dǎo)時(shí)比較困難，解題的過程十分復(fù)雜，稍不注意就會(huì)出錯(cuò)，從而導(dǎo)致求導(dǎo)的結(jié)果出現(xiàn)偏差。針對(duì)這樣的函數(shù)問題，我們可以將其轉(zhuǎn)化為隱性函數(shù)，然后就可以對(duì)轉(zhuǎn)化后的隱性函數(shù)進(jìn)行對(duì)數(shù)求導(dǎo)。這樣一來，運(yùn)算起來就可以變得簡(jiǎn)單又方便。在實(shí)際操作中，我們可以在轉(zhuǎn)化后的隱函數(shù)方程兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)，就可以用隱函數(shù)求導(dǎo)法進(jìn)行求導(dǎo)了。

例如：求函數(shù)y=xsinx（x>0）的導(dǎo)數(shù)。

解析：針對(duì)這道題，在進(jìn)行求導(dǎo)時(shí)就可以對(duì)該方程式左右兩邊同時(shí)進(jìn)行取對(duì)數(shù)處理，這樣就可以得到lny=sinxlnx。這時(shí)兩邊同時(shí)對(duì)x進(jìn)行求導(dǎo)，就可以得到1/y·y'=cosx·lnx+sin·1/x，通過求解就可以得出y'=xsinx（cosxlnx+sinx/x）。

四、高中數(shù)學(xué)隱函數(shù)求導(dǎo)法教學(xué)的策略

在教學(xué)中，教師首先要向?qū)W生講解隱函數(shù)求導(dǎo)的四種方法，然后根據(jù)教材中貼近學(xué)生實(shí)際生活的例題進(jìn)行適當(dāng)變型，引導(dǎo)學(xué)生以學(xué)習(xí)小組為單位，通過相互交流探討，準(zhǔn)確抓住變量與變量之間關(guān)系改變帶來的變化，靈活運(yùn)用拋物線求導(dǎo)法、橢圓切線方程求導(dǎo)法、對(duì)數(shù)求導(dǎo)法和直接求導(dǎo)法，得出相應(yīng)的結(jié)果，從而提高他們解決相應(yīng)問題時(shí)的速度和準(zhǔn)確率，這樣就能幫助學(xué)生在高考時(shí)獲得更好的分?jǐn)?shù)，考入理想的大學(xué)。

結(jié)束語：綜上所述，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師必須重視隱函數(shù)求導(dǎo)法的講解，鮮香菇而生傳授有效的求導(dǎo)方法，并鼓勵(lì)學(xué)生在解決具體問題時(shí)根據(jù)題目的要求，靈活選擇合適的隱函數(shù)求導(dǎo)法解決問題，提高運(yùn)算的速度和準(zhǔn)確率，避免丟分，從而取得理想的成績(jī)。

參考文獻(xiàn)

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