排列組合中的涂色問題

郭曉丹

摘要：排列組合問題一直是高中數學中的一個難點，該部分知識方法技巧性強且靈活多變，學生在“計數”時經常或者“重”或者“漏”，一步走錯，全盤皆輸。不容易得分。但是，高考中經常會出一個選擇題或者填空題，因此應該引起重視。本文就對排列組合中的涂色問題進行研究，希望對相關工作者有所幫助。

關鍵詞：高中數學;排列組合;涂色問題

排列組合中的涂色問題新穎靈活，曾經2003年全國高考題中出現過，其中包含著豐富的數學思想。對學生分步計數，分類計數原理的應用能力要求很高，有利于培養學生的分析問題與觀察問題的能力，鑒于此，我專門拿出一節課做了涂色問題的專題，有一點自己的體會。

本節課的一個重點內容是如下四個題目

一、現有5種不同顏色要對如圖所示的四個部分進行著色，要求有公共邊界的兩塊不能用同一種顏色，則不同的著色方法共有多少種？

解析：先給A號區域涂色有5種方法，再給B號涂色有4種方法，接著給C號涂色方法有3種，由于D號與B，C相鄰，因此D號有3種涂法，根據分步計數原理，不同的涂色方法有5×4×3×3=180

二、用5種不同的顏色給圖中標①、②、③、④的各部分涂色，每部分只涂一種顏色，相鄰部分涂不同顏色，則不同的涂色方法有多少種？

解析：先給①號區域涂色有5種方法，再給②號涂色有4種方法，接著給③號涂色方法有3種，由于④號與①、②不相鄰，因此④號有4種涂法，根據分步計數原理，不同的涂色方法有5×4×3×4=240

這兩個題目學生略加思考，很快得到了正確的答案。

三、用五種不同的顏色分別給A、B、C、D四個區域涂色，相鄰區域必須涂不同顏色，若允許同一種顏色多次使用，則不同的涂色方法共有

這道題我本來的想法是：先給A號區域涂色有5種方法，再給B號涂色有4種方法，接著給C號涂色方法有3種，由于D號與B，C相鄰，因此D號有3種涂法，根據分步計數原理，不同的涂色方法有5×4×3×3=180

事實上與（2）完全一樣。可是由學生起來解時出現了這樣的問題：：先給A號區域涂色有5種方法，再給B號涂色有4種方法，接著給D號涂色，因為只與B相鄰，所以4種，最后涂C，因為與ABD都相鄰，方法有2種，結果是5×4×4×2=160種，顯然不一樣。

學生的興趣明顯被調動起來，我趁機讓學生自己討論探究，大家暢所欲言，終于得到正確的解決方法：先給A號區域涂色有5種方法，再給B號涂色有4種方法，接著給D號涂色，雖然D可以涂除B之外的四種顏色，但是與A是否相同影響了C涂顏色的種數，因此應該先分類

第一類，D與A相同，這時候 C可以涂三種（除AB外）于是5×4×3=60

第二類：D與A不同，這時D可以涂3種，C只能涂兩種了，于是5×4×3×2=120

答案依然是 60+120=180

四、用5種不同的顏色給圖中所給出的四個區域涂色，每個區域涂一種顏色，若要求相鄰（有公共邊）的區域不同色，那么共有多少種不同的涂色方法？

本題我的原意還是希望學生用上述辦法依次分析，分①與④相同和不相同兩類。大部分學生確實也是這樣做的。但是也有同學起來說可把問題分為三類：四格涂不同的顏色，方法種數為A45;有且僅兩個區域相同的顏色，即只有一組對角小方格涂相同的顏色，涂法種數為2C15 A24;兩組對角小方格分別涂相同的顏色，涂法種數為A25，因此，所求的涂法種數為，也是正確的，大家很贊成。

相同的題目換一種思維角度有不同的方法，但結果都是一樣，這就是數學的魅力，學生的潛力是無窮的，我們應該把課堂還給學生，老師一味的講，只是把自己的思維強加給學生，限制了學生思維的發展。