函數(shù)與方程思想在解析幾何教學(xué)中的滲透案例

吳政先

摘要：在高中數(shù)學(xué)解析幾何章節(jié)中，習(xí)題的共同特點(diǎn)是計(jì)算量大，解題過(guò)程繁瑣，這對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)能力提出了很高的要求，如邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析等能力都會(huì)在本章中有所體現(xiàn)，如果教師一味的就提論題，而不注重?cái)?shù)學(xué)方法的培養(yǎng)，學(xué)生很容易對(duì)本章內(nèi)容失去信心，而函數(shù)與方程思想在本章的學(xué)習(xí)中應(yīng)用非常廣泛，如果能學(xué)好函數(shù)與方程思想，學(xué)生便能對(duì)本章內(nèi)容有更深刻的認(rèn)識(shí)和了解，那如何將函數(shù)與方程的思想滲透在解析幾何的教學(xué)中，是我講授本章內(nèi)容必須思考的一個(gè)問(wèn)題。下面是橢圓及其方程章節(jié)講完之后，進(jìn)行小結(jié)復(fù)習(xí)的一則案例。

關(guān)鍵詞：幾何教學(xué);核心素養(yǎng);函數(shù)與方程

【教學(xué)目標(biāo)】：通過(guò)兩個(gè)例題的講解，使學(xué)生加深對(duì)函數(shù)與方程思想的認(rèn)識(shí)，能進(jìn)一步運(yùn)用函數(shù)與方程的思想解決有關(guān)問(wèn)題，提高他們的數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

例1：求過(guò)點(diǎn)? 且與橢圓 有相同焦點(diǎn)的橢圓方程。

【設(shè)計(jì)意圖】：本節(jié)課前已學(xué)習(xí)完橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，對(duì)橢圓已有一定的認(rèn)識(shí)，本題是對(duì)教材的例1進(jìn)行改編的，可以用教材中的橢圓的定義法求解，但是因?yàn)榇朔椒ㄉ婕暗礁皆匍_(kāi)方的計(jì)算，所以很多同學(xué)不太會(huì)，而對(duì)于求解橢圓方程的許多問(wèn)題，都可以用方程的思想來(lái)解決，本例給出了兩種不同的待定系數(shù)法，進(jìn)一步加深了學(xué)生對(duì)方程思想的理解。

方法一：設(shè)所求橢圓方程為 ，將點(diǎn) 代入聯(lián)立 得 ，故所求橢圓方程為 。

此方法的解題關(guān)鍵是要根據(jù)已知條件聯(lián)立方程組，用到了函數(shù)與方程的思想，它能夠幫助學(xué)生了解不同變量之間的等量關(guān)系，能夠形成一定的邏輯思維，達(dá)成一定的通性通法。

方法二：設(shè)所求橢圓方程為 ，將點(diǎn) 代入得 ，故所求橢圓方程為 。

此方法仍然用的是函數(shù)與方程思想，但是它是在方法一上進(jìn)行了改良，這就需要學(xué)生先掌握好方法一當(dāng)中不同變量之間的等量關(guān)系，并能自我探討對(duì)方程簡(jiǎn)化的過(guò)程，在原有的通性通法上形成新的思路，更進(jìn)一步加深對(duì)方程思想的理解。

方法三： ，

一般的學(xué)生在根式的化簡(jiǎn)上功力還不夠，但本題即使不會(huì)化簡(jiǎn)該根式，如果能想到方程的思想，將該式兩邊同時(shí)平方，也是很容易算出最后的結(jié)果的，所以函數(shù)與方程的思想在教學(xué)中可以不斷地通過(guò)習(xí)題來(lái)加以滲透，我們主張一題多解，多法并存，將多種數(shù)學(xué)思想加以綜合，形成全新的數(shù)學(xué)思想，進(jìn)而融會(huì)貫通，提升學(xué)生的綜合運(yùn)用能力和核心素養(yǎng)。

例2：已知橢圓 ，四點(diǎn) 中恰有三點(diǎn)在橢圓C上 。（1）求橢圓C的方程;（2）設(shè)直線 不經(jīng)過(guò) 點(diǎn)且與C相交于 兩點(diǎn)。若直線 與直線 的斜率的和為 ，證明： 過(guò)定點(diǎn).

【設(shè)計(jì)意圖】：本題是2017年新課標(biāo)1卷理科數(shù)學(xué)高考原題，首先它需要學(xué)生能由橢圓的對(duì)稱性，從4個(gè)點(diǎn)中挑出3個(gè)點(diǎn)，這體現(xiàn)了邏輯推理和數(shù)據(jù)分析的核心素養(yǎng)，其次它涉及到一定的運(yùn)算，也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。

本題的兩小問(wèn)都體現(xiàn)了方程思想，第二問(wèn)的動(dòng)直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題也體現(xiàn)了函數(shù)思想。

參考文獻(xiàn)：

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