高中數學學習中函數最值的問題求解方法分析

韋雷

摘 要：隨著新課程改革的逐漸深入，高中階段的教學中，越來越重視學生拓展性思維和解題能力的培養。數學一直都是教學中的核心學科，而在高中數學教學中，最值得問題既是重點，也是難點，更是歷年高考的頻繁考點。因此在實際的教學過程中，讓學生掌握有效的求解方法，這對于學生數學思維的形成以及成績的提升具有關鍵的價值。本文筆者將針對高中數學學習中函數最值的求解方法中配方法、換元法、單調性法和數形結合法四個方面進行詳細分析，希望能夠對學生解答函數最值問題提供一定的參考價值。

關鍵詞：高中數學;函數最值;求解方法

對于函數的最值問題一直是被談論最多的話題，其主要的內容涵蓋了基本的函數性質問題、導數問題、均值不等式問題、線性規劃問題、向量問題等，其范圍基本上包含代數、三角形以及幾何等方面，其最值的求解方式的分析，主要是為了培養學生對于數形結合、轉化思維等思路的培養，以下筆者將針對此進行細化的分析。

一、配方法的運用

對于配方法的運用上，它是函數最值問題求解過程中運用最多的方式之一，其主要運用的范圍就是二次函數或者是復合函數中，通過對相關分項的整理、轉化形成二次函數的形式，學生通過對自變量的取值范圍進行帶入，即可取得函數的最值。

例如：在解答“求函數f（x）=-x2+4x-6，x∈[0，5]的值域”這個題目時，首先教師要引導學生對題目的變量條件進行分析，讓學生將題目函數根據數量關系配方形成函數f（x）=-X2+4X-6=-（x-2）2-2;然后教師讓學生觀察函數，當自變量x∈[0，5]時，函數在什么時候取最大值，即-（x-2）2=0時，然后將x=2帶入方程，可取得函數最大值，所以說，當x=2時，函數值取最大值f（x）=-2;那么只有當（x-2）2在自變量范圍內取最大值時，函數才能取得最小值，即當x=5時，函數取最小值f（x）=-11，那么這個函數的值域就是限定在[-11，-2]。配方法的運用可以說是函數最值求解中相對較為簡單的方式，很容易讓學生理解記憶。

二、換元法的運用

對于換元法的運用，基本上都是在基本初等函數的最值求解中運用最為普遍，從基本的運用上就是以一個假定項代替題目中的不確定項，將假定項帶入原方程，然后根據假定項的取值范圍求解函數最值。

例如：求函數y=x+√（x-1）的值域。這一問題，如何才能將換元法運用到函數的求解上呢？首先，教師讓學生觀察函數解析式的基本形式，存在x與√（x-1）兩個變量;其次，讓學生尋找變量t代替√（x-1），即t=√（x-1），t≥0，那么x=t2+1，將t帶入方程即可得到y=t2+1+t，再通過配方法即可得到y=（t+1/2）2+3/4，從函數的自變量上分析，t≥0，由二次函數的性質分析，當t=0時，函數取最小值，即ymin=1，當函數t→0時，ymax→+∞;最后，函數的值域即可求得，值域為[1，+∞]。

三、單調性法的運用

對函數的最值求解問題，不僅有配方法和換元法，還有根據函數的單調性進行求解，即根據函數的變量范圍，求解函數在不同變量范圍內的最值問題，單調性法主要被應用于復合函數最值的求解中。

例如：求解問題，首先教師要引導學生根據函數的特點尋找出函數的單調性，利用換元法將函數項（x2-3x+5）替換為t（0≤x≤2），然后函數就變為log1/2t，根據函數的值域范圍，即可得到函數f（x）在（0≤x≤3/2）上屬于遞減函數，而在（3/2≤x≤2）上為遞減函數，根據函數的性質分析，即在x=3/2上取最大值，f（x）max=f（3/2）=log1/211/4，其最小值的求解就需要從變量x=0或x=2上得出，即f（0）=log1/25，f（2）=log1/23，通過比較分析，即可得出f（x）min=log1/25，然后學生就能很清楚的求出這個冪函數的最值區間，即函數值域為[log1/25，log1/211/4]。這樣單調性法的運用，還經常地被用到三角函數之中，這里需要在注意的就是函數的取值范圍，注重分析函數的性質，并不是每個函數都有一個最值區間或最值點。

四、數形結合法運用

對于函數的最值問題求解上，從實際的方法運用上，數形結合法可以說是最為普遍和常用的，數形結合不僅可以讓學生學生通過數與形的結合中尋找出數量間的關系，還可以讓學生更為清楚地認識幾何函數的特點。對于數形結合法的運用，一般情況下都是被應用于幾何意義的函數最值求解。

例如：已知x2+y2-2x+4y-20=0，求x2+y2的最值是多少？這個問題看似是一個簡單的二元二次方程，但是如果從數據之間的關系上分析，通過轉換即可得到方程（x-1）2+（y+2）2=25，通過這個方程分析，學生結合數形關系就會得到一個以P（1，-2）為圓心，半徑r=5的圓，這樣就將這個方程的最值問題轉換為方程x2+y2與圓結合的最值問題，求解過程中設定x2+y2=u，根據原方程移項可得u=2x-4y+20，那么y=x/2+（20-u）/4，即斜率為1/2的直線與圓相交，那么u的最值問題，就轉換為求解直線在y軸的截距最值問題，根據數形結合就可以得出圓心到切線的近距離只能是小于或這等于圓的半徑，即最最小值就變為5-√（12+22），最大值則為

5+√（12+22），那么x2+y2min=5-√5，x2+y2max=5+√5。這樣的數形結合的運用學生能夠很清晰的看出數量的變化與關系，提升學生的階梯效率和質量，這對于學生成績的提升具有重要價值。

結束語

綜上所述，這些對于函數最值求解方式的分析，不僅可以為學生提供更為豐富的學習思路和解題方法，而且，這些方法之間的靈活運用還可以幫助學生形成一個更具邏輯性和條理化的數學思維，實現學生學習和解題效率的全面提升。以上論述僅為筆者個人的想象與看法，除了以上的解題方法之外，還有很多方式，期望廣大的數學教師繼續進行探索。

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