APOS理論下的數學抽象素養及其培養

張麗鵑

摘 要：人們在使用、學習數學時，漸漸產生并發展了數學學科核心素養，其一般由五個方面的數學基本特征概括展現：一是價值觀;二是立場;三是感情;四是關鍵能力;五是思維品質，它也是數學教育需要達到的主要目標之一[1]。數學學科核心素養的六個方面中，不論是對學生的發展還是學習，數學抽象是最為重要的。概念形成本身就是一個不具象的歷程，因此主要針對數學概念教學的APOS理論構建主義學說對于數學抽象素養的培養極具推波助瀾之力。所以，筆者遵循高中數學新課標的教學意見，堅持一切圍繞學生自身發展，以優化傳統教學模式為導向，將“方程的根與函數的零點”作為范例，討論APOS學說中，重在數學抽象素養培養的教學設計。

關鍵詞：高中數學;APOS理論;數學抽象;教學設計

一、APOS理論基本概述

APOS理論基于建構主義，主要用于解決兩個方面的問題：一是了解學生通過何種方式學習;二是研究怎么樣設計教學方案能夠適應學生的學習方式，從而提高學生學習水平，美國數學教育家杜賓斯基（Ed Dubinsky）提出了這個理論，所提出的“四步法”教學模型，即：一是圖示（schemas）;二是對象（objects）;三是過程（processes）;四是活動（actions），主要針對于數學概念學習的一種教學模型[2-3]。“活動”階段主要是指學習者通過一系列的活動對新知進行具體感知。“程序”階段主要是指學習者將初步具體感知的新概念抽象化，內化為一種特別的程序算法。“對象”階段主要是指學習者進一步理解活動和過程，以更高的視角分析概念間的關系，能夠自行根據程序構建類比程序。“圖式”階段是學習者對活動、程序、圖式以及相關知識進行整合，以形成具體的認知框架[2]。

二、如何有效培育數學抽象素養

數學學科核心素養的六個方面中，數學抽象是最為重要的，高中學校授課常常圍繞數學抽象開展，它是理性思維的基石以及數學的基本思想之一，實質就是使用抽象的形式，得到研究客體的素養，一般使用的形式有兩種：一是空間形式;二是數量關系。數學抽象可分為弱抽象和強抽象，弱抽象即概念擴張式抽象，強抽象即概念強化式抽象[3]，具體應用到數學概念的課堂教學之中，弱抽象具體指通過對具體例子抽象歸納出共性，形成初步的概念模型，強抽象具體指對新概念的更深層次的理解[4-5]。

已有的研究表明，學生對數學概念的掌握過程就是數學抽象思維的發展過程，這種抽象思維具有較強的年齡規律，而高中階段的學生恰好處于最佳的年齡階段，因此，老師應該結合自己的教學經驗，對關鍵期的教學給予更多的重視，促進學生數學抽象思維的良好發展。此外，老師要把握好以下教學策略。

（一）注重概念形成過程的教學

從數學教育心理學可以看出，數學抽象的培養需要一個過程：第一步，全面的感知事物;第二步，對本質特征進行簡單歸納;第三步，符號表征;第四步，進行更加深刻的遷移、推演、歸納，這就是人們正確認識客觀事物的規律。因此，老師在編寫教學設計時，除了要把握一節課的整體性，還要注重每個教學環節，既要注重每個教學過程，保證每個環節的完整性，同時要保證環節與環節之間的連貫性。

（二）加深概念理解

每個數學概念都是數學抽象的產物，因此，數學概念是數學抽象培養的關鍵點。因此，老師可以運用問題導向，將問題設計環環相扣，避免學生領會概念出現過于狹窄的情況，深化概念，在對所學新概念歸納出一般特征之后，進而要構建知識結構，加強數學知識的聯結性，形成知識體系。

（三）強化概念的具體運用

強化實踐過程中概念的使用，將感到不具象的概念使用在實踐中，這不僅對學生個人的發展至關重要，同時對我們整個社會的發展也是至關重要的。概念教學不僅要重視從不同事物中抽象出共性得出新概念，同時也要重要用新概念解決具體的實際問題。實踐是檢驗真理的唯一標準，當我們學到一個新的東西，不加以應用，就不能感受其精髓，同時也不能實現其價值。此外，根據“以人的發展為本”，也應該鼓勵學生學以致用。

三、基于APOS理論的重在數學抽象素養培養的教學設計

（一）課例背景

“方程的根與函數的零點”在近幾年的高考中歷次出現。課程內容知識點主要包括：一是函數的概念與性質;二是一次函數;三是二次函數;四是指數函數;五是對數函數，課程使用實例用以加深學生對于函數建模方法以及過程的認知，課程將集中討論兩個方面問題：一是函數零點的概念;二是零點的求法，其蘊含的函數與方程、數學抽象等數學思想，三個方面的數學方法：一是歸納類比;二是形數結合;三是分類探討，三個方面的數學思維：一是從特殊到一般;二是從具體到抽象;三是從抽象到具體。教學難點有一個：零點的確定。教學重點有兩個：一是函數零點的概念;二是零點的求法。

（二）教學過程

基于APOS 理論、數學抽象素養和本節課的分析，本節課的設計過程如下： 感知情境，引出概念; 數形結合，深化概念; 學以致用，鞏固新知; 遷移創新，拓展延伸; 應用舉例，加深鞏固。其中，“弱抽象”環節是數形結合，深化概念; “強抽象”環節是學以致用，鞏固新知; “二次強抽象”環節是遷移創新，拓展延伸和應用舉例。

1.活動（actions）階段——創設情境，引出概念

首先，給定二次函數與其對應一元二次方程，要求學生根據給定內容，進行作圖和求解，并注意對應方程、x軸交點、函數圖象之間的聯系。

接著，提出猜想，是否所有函數圖象都滿足此關系，變換二次函數，引領學生動手作圖，分組探討函數圖象與x軸的交點與其對應一元二次方程的根的關系，探其原由，并讓學生主動分享小組結論，教師予以補充完善。

最后，拋出零點概念，引導學生理解函數零點與方程根的關系。

設計意圖：根據APOS理論活動階段教學，教師以求解方程的根和函數與x軸的交點為切入，讓學生經歷動手操作、觀察猜想、合作探討、分享交流四階段教學活動，使學生對函數圖象與x軸的交點和對應方程的跟的關系擁有直觀體驗。這不僅有助于學生進一步理解函數零點與方程根的關系，還能夠有效激發學習積極性，引導學生探索知識的主觀能動性[6-7]，在學習中得到心理滿足，讓他們深度參與到授課過程中，為課堂的深入展開埋好伏筆。

2.程序（processes）階段——數形結合，深化概念

（1）零點的求法

經過活動階段，順水推舟，如果方程沒有實數根，x軸和函數圖象就不會有交點，函數不存在零點。也就是說，函數的零點與方程的根以及函數圖象與x軸的交點密切相關，這里帶領學生歸納出，當直接求零點有困難時，可以轉向與之有關聯的“函數圖象的交點”和“方程的根”，進一步歸納，得出函數零點的求解方法，函數y=f（x）存在零點函數y=f（x）的圖象與x軸有交點（幾何法）方程f（x）=0有實根（代數法）。

（2）判定二次函數零點個數

首先，老師用ppt呈現反比例函數、二次函數、一次函數、對數函數以及指數函數的函數圖象，引導學生觀察函數圖象，從函數圖象與x軸的交點個數出發，引導學生發現反比例函數、指數函數的函數圖象與x軸沒有交點，對數函數、一次函數的函數圖象與x軸有一個交點，但二次函數圖象與x軸的交點情況有三種。

接著，老師提問：怎么判定二次函數的零點到底有幾個呢？

然后，老師帶領學生用“代數法”探索二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的零點。這里讓學生回憶起一元二次方程的根的求法中重要的△，知道了△，便可知一元二次方程的根的情況，函數零點和方程的根又存在關聯，這樣就獲取了函數零點的情況。

設計意圖：這一環節是對新概念“弱抽象”。借助已學基本初等函數的圖象，從知識和方法兩方面引導學生，讓學生以新視角觀察已學知識，對零點的認識從具體上升到抽象，在腦海中形成能準確識別函數零點的“程序”，運用活動階段探究的零點概念建構程序，又運用程序階段對概念進行加工生成對相應的“算法”（若函數是二次函數，算法即是借助△判定），反作用于零點個數的判定[8]，這樣前呼后應加深對函數的零點的理解，同時也做到溫故而知新。

3.對象（objects）階段——學以致用，鞏固新知

首先，讓學生判定二次函數f（x）=x2-2x-3的零點個數。（運用程序過程的“算法”），隨后給出二次函數f（x）=x2-2x-3的圖象，引導學生做以下工作：

（1）計算f（-2）、f（1）、f（2）、f（4）;

（2）將f（-2）·f（1）與0作比較，函數f（x）=x2-2x-3在區間[-2，1]上有無零點？

（3）將f（2）·f（4）與0作比較，函數f（x）=x2-2x-3在區間[2，4]上有無零點？

（4）將f（-2）·f（4）與0作比較，函數f（x）=x2-2x-3在區間[-2.4]上有無零點？

學生可以取得結論：當函數值的乘積小于0時，函數f（x）=x2-2x-3在區間上有零點。

然后，老師提出問題：如果零點在f（x）=x2-2x-3區間上存在，函數值的乘積必定大于0嗎？接著，老師帶領學生作出猜想：是否對任何函數都能得出同樣的結論。

接著，讓學生任意畫函數圖象進行觀察分析，相互交流，指導進行概括：

如果函數y=f（x）在區間[a，b]上的圖象是連續不斷的一條曲線，并且有f（a）·f（b）<0，那么，函數y=f（x）在區間（a，b）內有零點，即存在c∈（a，b），得f（c）=0，這個c也就是方程f（x）=0的根，反之不成立。

進一步，老師設問：上述命題在什么情況下反之成立呢？然后先讓學生觀察二次函數f（x）=x2-2x-3在[-2，1]、[2，4]、[-2，4]這三個區間上的函數圖象，引導學生發現當圖象單調時，上述命題反之成立。老師在這里重點指出：函數的單調性在函數零點中的重要作用。

設計意圖：這一環節是對新概念“強抽象”。通過引入新特征——函數的單調性來強化對零點的認識，函數的單調性在函數零點中的重要作用，然后承上啟下，通過多種數學思想方法的有機結合，提升學生邏輯推理、數學抽象水平，這里使用的數學方法有：一是遞推;二是歸納;三是分類討論;四是數形結合。

4、圖式（schemas）階段——遷移創新，拓展延伸;應用舉例，練習鞏固

首先，老師給出例題：求函數f（x）=1nx+2x-6的零點的個數？

然后，老師提問：能否用代數法？一般說來，學生不會解方程1nx+2x-6=0，因此這里學生會轉向用幾何法。

再問：若幾何法，你們能畫出函數圖像嗎？這時學生可能會猶豫。

又問：如果已知函數是單調函數，能畫出大致的圖象嗎？此時老師借助計算機給出函數圖象，使學生對于兩個方面的體會更加具象：一是零點所在區間;二是函數的零點。

五問：函數是否只有一個零點？然后，老師帶領大家對解析式f（x）=1nx+2x-6進行分析，不難得出f（x）=1nx+2x-6是增函數，于是只有一個零點。

設計意圖：這一環節進一步將新概念“強抽象”。老師在這里層層遞進地提問，由淺入深，一步步引導學生從函數單調性的角度出發求函數的零點，將函數零點的概念具體化，表面看來似乎是向活動階段的感性的具體的回歸，但這決不是真的回到了感性的具體，而是對新概念的“強抽象”，學生的認知達到了一個更高的階段[9-10]。

四、總結與展望

APOS理論的四個環節循序漸進，層次由低到高，但每個階段是緊密聯系的，本課例在每一個環節設置了不同層次的問題，進行問題導引，逐層深入，又在環節與環節之間設置了過渡性問題，同時過渡性問題也逐步深入，這樣有利于引導學生體驗數學抽象的整個過程，即：弱抽象——強抽象——二次強抽象，培養其抽象思維，同時保證了一節課的完整性，也體現了概念教學的過程性。值得注意的是，并不是每個教學設計都有一個強抽象，兩個弱抽象，老師在編寫教學設計時，應該著眼于具體的教學內容，具體問題具體分析[11]，數學抽象教學過程中，需要強化五個方面能力的培育：一是分析;二是運算;三是想象;四是建模;五是推理，這樣才能使學生真正體會到數學四個方面的價值：一是審美價值;二是文化價值;三是實踐價值;四是科學價值。

參考文獻

[1]教育部. 普通高中數學課程標準[M]. 人民教育出版社， 2017.

[2]鮑建生， 周超. 數學學習的心理基礎與過程[M]. 上海教育出版社， 2009.

[3]柯秀革. 淺議高中數學教學學生抽象概括能力的培養[J]. 考試周刊， 2018（19）：75-75.

[4]方厚良. 談數學核心素養之數學抽象與培養[J]. 中學數學， 2016（13）：35-37.

[5]潘春娥， 唐劍嵐. 基于APOS理論和動態數學軟件的數學創課設計——以“指數函數及其性質”為例[J]. 中小學課堂教學研究， 2017（9）.

[6]唐劍嵐， 周元. “授人以魚”的同時“授人以漁與欲”——以《等差數列的前n項和》公式推導片段為例[J]. 數學通報， 2016， 55（9）：41-46.

[7]徐群英. APOS理論指導下的概念教學初探——“變化率與導數”（第1課時）教學設計與反思[J]. 中國數學教育， 2018（6）.

[8]從建華. 基于APOS理論下的數學概念教學策略探析[J]. 考試周刊， 2017（25）：15-16.

[9]周先華， 謝發超. 問題導引逐層深入——培養數學抽象核心素養的案例研究[J]. 中學教學參考， 2018（2）：9-11.

[10]李鵬飛. 數學新課程標準下學生數學素養的再認識[J]. 新課程（中學）， 2018（1）.