高中數學圓錐曲線的離心率求解方法

周艷群

摘要：離心率是高中圓錐曲線部分學習的重要內容，也是教學的難點。求解圓心率的問題也時長出現在近些年的高考題目中，無論是教師還是學生必須要提高對這類問題的重視程度。基于此，本文將結合教學中的實際案例來分析高中數學圓錐曲線的離心率求解的主要方法。

關鍵詞：高中數學;圓錐曲線;離心率

中圖分類號：G633.6???? 文獻標識碼：B??? 文章編號：1672-1578（2020）27-0201-02

離心率是圓錐曲線中的一個重要概念，它的變化將直接影響到圓錐曲線的類型和形狀，以離心率作為考察內容的題目在近些年的高考中屢次出現。因此，這部分是當前高中數學教學中的一項重點，不少學生在面對有關問題時都會覺得束手無策。本文將結合近些年出現的各類型試題，具體分析高中數學圓錐曲線的離心率求解方法。

1.基本量法

利用基本量法來求解離心率主要是指通過題目中已知的條件來求得參數a、c之間的關系，從而得到離心率e。

例1（1）已知橢圓方程x216k+y29k=1（k>0），求橢圓的離心率。

（2）設F1，F2分別是雙曲線x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左右焦點，如果雙曲線上存在點A使∠F1AF2=90°，且|AF1|=|3AF2|，求雙曲線的離心率。

解：（1）從題目已知可得a=44，b=3k，所以c為7k，即e=74或是e=1-b2a2=1-916=74。

（2）設|AF1|=t（t>0），則|AF1|=3t，從雙曲線方程中可知a=t，2c=10t，所以c=102t，e=ca=102tt=102。

這一類型的解題方式相對來說比較簡單，只要能夠從題目已知中準確找到a、b、c三個基本量，就可以計算出離心率的值了。

2.定義法

在涉及到圓錐曲線上的點與焦點或是準線距離一類的問題時，我們就可以嘗試利用離心率的定義，e=ca或是圓錐曲線的統一定義來計算離心率。

例2 （1）在等腰△ABC中，∠ABC為120°，求以A、B為焦點且過點C的雙曲線的離心率.

（2）在△ABC中，∠A為90°，tanB=34。若以A、B為焦點的橢圓經過點C，那么該橢圓的離心率是多少？

解：（1）設雙曲線的焦距AB=2c，在等腰△ABC中，因為∠ABC為120°，過B點做AC垂線可得AC=23c，CB=2c。由雙曲線定義可得a=（3-1）c，所以e=ca=1+32

（2）設橢圓焦距AB=4，即c=2。因為tanB=34，所以CA=3，CB=5，所以點C在橢圓上，2a=CA+CB=8，a=4，e=ca=12。

3.向量法

向量知識的應用無疑是拓展了我們的解題思維，在求解離心率的過程中，向量可以更簡單的解決含有垂直和共線的題目。

例3 過雙曲線x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左焦點且垂直于x軸的直線與雙曲線相較于M、N兩點，而以MN為直徑的圓恰好經過雙曲線的右定點，求雙曲線的離心率。

解：如圖，因為MN為圓F的直徑，所以∠MAN=90°，F的坐標為（-c，0），由此可知M坐標為（-c，b2a），N坐標為（-c，-b2a），A點坐標為（a，0）。所以MA→=（a+c，-b2a），NA→=（a+c，b2a），MA→·NA→=（a+c）2-b4a2=0，即e2-e-2，所以e=2

4.參數法

在解決圓錐曲線的離心率問題是，如果題目的已知條件中含有參數，且知道或可以容易求得參數的范圍，那么我們就可以通過分析離心率與參數之間的關系來確定離心率的范圍。

例4 橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左右焦點為F1，F2，半焦距為c，圓M的方程為（x-5c3）2+y2+169c2。

（1）如果點P為圓上的一點，求證|PF1||PF2|為定值。

（2）如果橢圓經過圓上的一點Q，且cos∠F1QF2=116，求橢圓的離心率。

解（1）設p坐標為（x，y），則|PF1|=（x+c）2+y2，|PF2|=（x-c）2+y2。

|PF1|2|PF2|2=（x+c）2+y2（x-c）2+y2=（x+c）2+169c2-（x-53c）2（x-c）2+169c2-（x-53c）2=4，所以|PF1||PF2|=2，為定值

（2）由（1）可得，|PF1||PF2|=2，設|QF2|=m，則|QF1|=2m（m>0）

cos∠F1QF2=m2+4m2-4c24m2=5m2-4c24m2=1116，解得c=34m，m=34c

因為2m+m=3m=2a，所以4C=2a，e=12

5.平面幾何圖形法

相對于代數計算來說，平面幾何圖形更加形象直觀，在解題過程中結合平面幾何圖形可以讓我們更加清晰的認識到數量之間的關系，從而降低解題難度，提高解題效率。

例5：設橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左焦點為F，上頂點為A，過點A的光線垂直于AF，并在橢圓的右準線處反射，反射光線與直線AF平行（如圖所示），求橢圓的離心率。

解：入射光線與反射管線垂直，所以我們可以由此推斷入射光線與準線之間的夾角為45°，也就是∠FAO=45°，所以b和c相等，e=22。

總之，圓錐曲線中的離心率計算是解析幾何中的重點內容，也是近些年高考中最常見的題型。如果學生在學習中沒有有效的思維拓展，只是就事論事，忽略了對題目的反思與總結，那么教學的效果必然不會十分明顯。數學知識之間通常是有著十分密切的聯系的，解題思路也是靈活多變，解題的方法通常也不唯一。學生在解題過程中即使能夠一次性找到答案，也應該盡量去做更多的思考，找到最簡最優的方式。同時，還要進一步對題目內容和解題過程進行反思，從中總結出更多的解題規律，實現學習能力與解題能力的進一步提升。

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