融合信息技術與發展數學核心素養的教學設計

易斌

【內容摘要】核心素養下的教學設計是中學數學教師關注的焦點問題，如何做到信息技術與數學教學深度融合，也是現代教學教師探討的熱點課題，本文以《函數的單調性》為例，深刻闡述了以“發展數學核心素養為目標，結合信息技術的應用”的教學該如何設計？其思考維度，對其他課型的教學設計具有重要的指導意義。

【關鍵詞】融合信息技術?發展數學核心素養?教學設計

核心素養下的教學設計是中學教師關注的焦點問題，如何在數學教學中深度融合信息技術，做到高效教學，也是現代教學教師探討的熱點課題，筆者以《函數的單調性》為例，談談“融合信息技術與發展核心素養”的教學該如何設計？

一、教學內容解讀

1數學本質

從圖像看，單調性是研究函數的圖像的“升降”特征;從數值看，單調性是研究函數值隨自變量增大而“增減”的性質。

2.思想方法

研究的方法是數形結合，先觀察、發現特殊函數圖象升降的變化，由直觀到抽象，用數學符號量化地刻畫增、減變化的數值特征，再由特殊推廣到一般函數。

3.功能價值

是解決值域、最值、零點等問題的重要依據（內部）;在數列、三角、不等式及解析幾何等數學內容中有著重要的應用（外部），是處理數學問題最基本的工具，在數學中處于核心地位。

4.教學重點

（1）用三種語言（圖形、文字、符號語言）描述單調性定義。

（2）用定義證明函數的單調性。

5.知識類型

在本課教學內容中，包含了四種知識類型。函數單調性的相關概念屬于概念性知識，函數單調性的符號語言表述屬于事實性知識，用定義證單調性的步驟屬于程序性知識，發現問題——提出問題——解決問題的研究模式，以及從特殊到一般，由直觀到抽象等研究問題的一般方法，屬于元認知知識。

6.思維教學資源與價值觀教育資源生活中數據曲線圖，能引發發現思維;函數f（x）=0.001.x+1和f（x）=x+l/x，能引發提出問題——分析問題——解決問題的研究思維，不等關系等價轉化為作差定號，是轉化化歸思維的好資源，是樹立辯證唯物主義價值觀的好契機。

7.發展核心素養

函數的單調性教學，是發展學生抽象概括、直觀想象、邏輯推理等數學核心素養的良機。

8.融合信息技術

（1）利用信息技術創設情境：本課情境創設涉及溫度圖象、f（x）=x、f（x）=x及f（x）=0.00lx+1的圖象，其中f（x）=0.001x+1的圖象，學生無法精確作出，要利用幾何畫板才能精準作圖。

（2）利用信息技術探究定義：單調性定義生成過程涉及函數的“圖像”，它是由形的觀察到數滿足的特征的思考與提煉，特別是從圖象的上升發現函數值隨自變量的增大而增大，基礎差的同學不太容易做到，可以利用信息技術充分展現函數值隨自變量的變化規律，利于學生發現與歸納。

（3）利用信息技術辨析定義：為理解單調性概念，設置的辨析題2可以用信息技術作出圖象直觀解釋，達到無聲勝有聲的效果。

（4）利用信息技術規范證明：例2的單調性證明，用信息技術呈現，思路清新，層次分明，提升效率，也利于學生感悟證明的方法，總結歸納證明的步驟。

（5）利用信息技術突破難點：利用信息技術，清晰地展現了知識的發生過程，生動地體現了數與形的邏輯聯系，形象地演繹了疑難問題的直觀解釋，輕松地突破了教學難點，高效完成了教學任務。

（6）利用信息技術反饋效果：無論是體現定義應用的例1、例2及相應練習，還是為理解定義設置的辨析題1與辨析題2，都可以利用信息技術統計答題情況，顯示做對與做錯的學生人數及學生名單，非常及時地反饋教學效果。

二、教學目標設置

本課教學依據是《普通高中數學課程標準》（以下簡稱“課標”），根本目標是“數學育人，發展素養”。

“課標”對本課教學內容要求是：通過學過的函數，理解函數的單調性。

為盡好達到教學要求，結合學生實際，設置目標如下：

（1）理解單調性的概念;能觀察圖象直觀判斷單調性;會用定義理性判斷、證明單調性;

（2）經歷觀察發現、抽象概括、推理論證等思維過程，提高相應的數學思維能力;體會數形結合、特殊與一般、無限與有限、等價轉化等數學思想;

（3）通過自主學習、合作探究，形成獨立思考、討論爭辯、合作分享的學習習慣;感悟研究函數性質的基本方法;發展學生邏輯推理、數學抽象等核心素養。

三、學情分析

1.學生基礎

認知基礎：從知識最近發展區來看，學生在初中已會用“隨x的增大而增大或減小”這句體現變量之間依賴關系的文字語言來描述函數的單調性。

非認知基礎：通過小學、初中和高中階段集合與函數概念的學習，學生具有一定的抽象概括、類比歸納、符號表示的能力。

2.難點及其突破方法

難點1：把“隨著”“增大”“減小”這些文字語言進行符號化。這個差距是從自然描述抽象概括為符號表述。抽象能力稍強的學生可以通過觀察圖象和函數列表的變化過程，將它們進行對比，以數形結合自主消除差距。如果學生抽象能力稍弱，教師可以提示“增大、減小都是體現大小比較的詞匯”啟發學生用比較大小的方法抽象概括。并用“當……時，有……”來體現“隨著”這種變量間的伴隨關系。

難點2：能理解“任意……都……這個句式的具體含義：

第一，不能取特定值來判別函數的單調性;這里的差異是學生要理解可以用特殊推廣到一般，但不能用特殊代替一般，學生也許理解不透徹，需要教師提起注意，本課設置了辨析題1，來糾正學生對概念理解的偏差，突破此難點。

第二、用“任意”的合理性，體現化無限為有限的思想。這里的差距是學生要理解“任意”這個說法的合理性，學生第一次接觸這樣高度概括的文字語言與符號語言，理解很有難度，需要經過斟酌、推敲、推理，才能吸收、消化并接受。本課通過問題串來引導學生，在互動對話中慢慢感悟，突破難點。

難點3：函數的單調性有局部性。這里的差異是學生要理解單調區間一般不能取并集。為消除差異，本課設置了辨析題2，采用合作探究模式突破難點。

四、教學策略分析

1.教學材料分析

用一次、二次函數通過有效組織成為教學材料，再觀察f（x）=0.001x+1的圖象，引發不能靠圖象直觀判斷單調性的矛盾沖突，于是要靠解析式代值驗證來判斷單調性;再展示函數f（x）=x+1/x說明靠解析式代值驗證操作性很差，需要新方法——利用解析式快速判斷單調性，這些教學材料貼近學生實際，能有效引發思考，十分自然地推動了知識發展;再以f（x）=x承擔主要探究材料，組織列表和觀察圖象，驅動學生由“形”轉“數”，提煉符號語言描述;組織兩道辨析題，問題驅動深挖定義的內涵;組織直觀判斷單調性的例1以及需要用定義判斷證明單調性的例2及練習，潤物細無聲地引導學生感悟判定單調性的基本方法。

2.教學方法分析

本課教學內容重點是函數單調性符號語言描述的抽象概括過程，是學生遇到的抽象程度極高的符號語言，所以結合幻燈片、實物投影等多媒體技術的教學手段，選擇觀察發現式、問題啟發式、合作討論式的教學方法。

3.設計“問題串”的分析

依據學生認知的規律，從問題1至問題5以及兩個思考，“問題串”的設計層次遞進，環環相扣，體現了特殊到一般，直觀到抽象的研究脈絡，有利于形成對后續函數性質的一般研究方法。“問題串”的設計也體現了發現問題——提出問題——解決問題的研究模式。

4.效果反饋的分析

通過兩道辨析題反饋對函數單調性定義中“任意”的理解;通過例1反饋對函數單調性相關概念的理解;通過例2及練習反饋對用定義證單調性的掌握程度，通過課堂小結反饋學生在知識、方法、思想、學法上的收獲。多管齊下，全面反饋學習效果。

五、教學過程

1.感知數學引人新課

引人：觀察某市一天溫度變化圖（投影圖象），它反映了溫度的哪種變化規律？

【活動】觀察圖象，自由發言

【設計意圖】用信息技術創設情境，引導思考。學生通過圖形語言的描述：圖象的“上升”“下降”，完成對函數單調性概念的第一次認識。引出課題，同時獲得判斷單調性的直觀方法——圖象法。

2.激發沖突由形入數

（投影）問題1：觀察函數f（x）=x、f（x）=x？與f（x）=0.001x+1的圖象，描述函數的變化趨勢。

【活動】學生用文字語言描述：在哪個區間上，f（x）隨x的增大而增大或減小？

【設計意圖】從所學的兩個熟悉的函數出發，要求用文字語言描述它們的單調性。加強定量分析的意識，完成對函數單調性概念的第二次認識。第三個圖象先不給表達式，讓學生觀察其變化趨勢，學生會認為這個圖像的函數是y=l，因圖象平行x軸，故沒有“升降”性。教師再用幾何畫板展示第三個圖象的函數其實是f（x）=0.001x+1，學生大為吃驚，充滿好奇，意識到某些圖象不能直觀判斷單調性，要憑解析式代值驗證才能判斷;再展示函數y=x+1/x，說明靠解析式代值驗證操作性很差，且易判斷錯誤，因此，準確判斷函數的單調性，需要新的方法。這幾個教學材料貼近學生實際，能有效構造知識矛盾沖突，激發思維，十分自然地推動了知識發展。學生感悟圖象法判斷單調性雖然比較直觀，但有些圖像其升降趨勢無法判斷。因此，判斷函數的單調性必須由“形”轉“數”，由“感性”轉“理性”，從函數解析式和不等關系尋找出路。

3.列表演化突破難點

問題2：如何描述f（x）=x？“在（0，+oo）上，f（x）隨x增大而增大”？

【思考】觀察各自變量對應的函數值大小，你能發現什么？

f（x）=x'0l4916...

【活動1】利用信息技術讓學生觀看表格生成的數據變化，體會f（x）隨x增大而增大，再用自己的語言總結歸納出“當x《x，時，有f（x{）《f（x，）”這個符號表述。

【設計意圖】通過同時對比函數的列表和圖象，借助“數”與“形”結合，學生更容易概括。提示“增大是體現大小比較的詞匯”，啟發學生用比較大小的方法抽象概括。并用“當……時，有....”來體現“隨著”這種變量間的伴隨關系。

【活動2】通過“問題串”引出“任意……都……”句式：

師：x;和x，是一對具有代表性的符號，它們究竟代表了多少對數值？

生：無數。

師：無數還是所有？

生：所有。

師：無數和所有含義相同嗎？

生：不同。

師：還有什么詞可以表達“所有”？

生：“任意”可以表達。

【設計意圖】突破本課第一個難點：用“任意”的合理性。學生認識到自變量無窮無盡，不可能被一窮舉，為使得對“所有”的自變量均成立，取的兩個自變量x，x，應該在給定的區間內有“任意”性，這里的“任意”涵蓋了“所有”。

問題3：能類比描述f（x）=x'在（-0，0）是減函數嗎？

【活動】全班思考后齊聲回答。

【設計意圖】激發類比思維，滲透分類整合的思想，讓學生體會完善知識結構過程。

4.符號語言建構定義

問題4：如何用符號語言刻畫y=f（x）是增函數？

【活動】師生共同整理完善增函數的概念、學生閱讀教材定義、領悟后再蓋上課本用自己的話表述一遍。

【設計意圖】把二次函數推廣到一般函數，并把討論區間一般化，由特殊到一般，具體到抽象，用規范準確的符號語言生成定義，完成對概念的第三次認識。引導學生研讀教材，琢磨如何規范表述定義。這一環節展現了學生的高級數學思維，充分發展了邏輯推理、抽象概括等核心素養。

問題5：能類比刻畫減函數嗎？

【活動】類比得出減函數的定義，選個別學生展示后再集體朗讀定義。

【設計意圖】滲透類比的思想方法。

5.理性認識螺旋上升

例1：回顧溫度圖，寫出其單調區間，并說出增減性？

【活動】寫單調區間，教師選個別成果展示，師生一起點評。

【設計意圖】利用信息技術回顧引人的例子，首尾呼應，體現數學的應用價值;用單調性的知識來作答，鞏固新學的概念。

.【概念辨析】辯一辯下列說法是否正確？為什么？

辨析1：若定義在【4，6】上的f（x）滿足f（6）》f（4），則f（x）在【4，6】上是增函數。

【活動】請同學舉手回答，用預設

動畫驗證想法。

【設計意圖】突破本課第二個難點：不能取特定值來判定函數的單調性。設計意圖是要學生理解可以用特殊推廣到一般，但不能用特殊代替一般，學生也許理解不透徹，因此設置了辨析題提起注意。本題用信息技術統計答題情況，顯示做對與做錯的學生人數及學生名單，教師根據反饋結果，針對存在的問題進行講評，使學生明白判定單調性必須用“任意”值，而不是用“特值”。

辨析2：若函數在【2，6】和（6，10】上都是增函數，則在【2，10】上也是增函數。

.【活動】先獨立思考一分鐘，然后全班分成若千小組合作探究，判斷對錯，并作圖說明理由，，上臺展示成果，全班討論，生生互評。

【設計意圖】突破本課第三個難點：正是由于取值的任意性，造就了函數的單調性的局部性。學生第一次接觸像函數單調性概念這樣高度概括的符號語言，需要設置辨析題，采用小組合作探究，讓學生獨立思考、充分討論、正誤對比來獲得正確認識，并利用信息技術作圖直觀解釋及統計答題情況，顯示做對與做錯的學生人數及學生名單，教師根據反饋情況，適時地組織學生探究及進行講評。

6.定義應用消除沖突

例2：波利爾定律p=k/v（k是正常數）表明：對于定量氣體，當體積v減小，壓強p將增大。試用單調性證明。

【活動】先領會題意，再啟發證明思路，師生共同完成證明，證明結束后，再反思證明過程，感悟證明步驟（五步曲）：取值，作差，變形，定號，結論。

【設計意圖】用定義證單調性，是本課教學內容重點之一，是學生第一次接觸用解析式和不等式關系的結合本——作差法證明函數單調性，證明過程利用信息技術由師生共同完成，有示范性作用，為后續學習形成良好的鋪墊。總結證明步驟，形成可操作模式，發展學生邏輯推理、抽象概括等核心素養。

練習：判斷并證明f（x）=0.001.x+1的單調性。

【活動】獨立解答，分享展示，生生互評。

【設計意圖】回顧前面提出的知識矛盾沖突問題，既做到首尾呼應，又完成了解決問題的目的，完善了提出——分析——解決問題的過程，給學生深刻的體會。并利用信息技術監測學生答題規范情況，適時提醒與點撥。

7.歸納小結，提高認識

假如把我們這節課當成一次旅游，哪些景點給你印象最深？從知識——方法——思想——感悟幾個角度分別說說。

【活動】學生先歸納思考，再交流分享學習中的體會、收獲和感受。

【設計意圖】小結反思，利于學生形成良好的學習習慣。

8.作業

（1）必做

①課本題（略）;

②若對任意x，x（x{#x），都有【f（x）-f（x）】/（x-x，）》0，問y=f（x）單調性如何？

（2）選做

研究y=x+1/x（x》0）的單調性，并畫出函數的草圖。

【活動】課后繼續完成探究。

【設計意圖】作業分層設置，彈性要求，必做作業讓所有學生鞏固所學基本知識與技能，選做作業則是讓基礎厚的拔尖學生得到充分的思維鍛煉，培養他們不畏艱難、勇于挑戰的意志品質。

【參考文獻】

【1】王可亮.課堂問題的設計與解決應凸顯知識本質【J】.數學通報，2017（10）.

【2】涂榮豹.數學教學設計原理的構建【M】.北京：科學出版社，2018.

（作者單位：廣西桂林市第十八中學）