小議函數(shù)定義域

董建康

摘?要：函數(shù)作為高中數(shù)學(xué)的主線(xiàn)，貫穿于整個(gè)高中數(shù)學(xué)的始終。函數(shù)的定義域是構(gòu)成函數(shù)的兩大要素之一，函數(shù)的定義域（或變量的允許值范圍）似乎是非常簡(jiǎn)單的，然而在解決問(wèn)題中不加以注意，常常會(huì)使人誤入歧途。在解函數(shù)題中強(qiáng)調(diào)定義域?qū)忸}結(jié)論的作用與影響，對(duì)提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)是十分有益的。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);函數(shù);定義域

一、函數(shù)關(guān)系式與定義域

函數(shù)關(guān)系式包括定義域和對(duì)應(yīng)法則，所以在求函數(shù)的關(guān)系式時(shí)必須要考慮所求函數(shù)關(guān)系式的定義域，否則所求函數(shù)關(guān)系式可能是錯(cuò)誤。

例1：某單位計(jì)劃建筑一矩形圍墻，現(xiàn)有材料可筑墻的總長(zhǎng)度為100m，求矩形的面積S與矩形長(zhǎng)x的函數(shù)關(guān)系式？

解：設(shè)矩形的長(zhǎng)為x米，則寬為（50-x）米，由題意得：

如果解題到此為止，則本題的函數(shù)關(guān)系式還欠完整，缺少自變量的范圍。也就說(shuō)學(xué)生的解題思路不夠嚴(yán)密。因?yàn)楫?dāng)自變量取負(fù)數(shù)或不小于50的數(shù)時(shí)，S的值是負(fù)數(shù)，即矩形的面積為負(fù)數(shù)，這與實(shí)際問(wèn)題相矛盾，所以還應(yīng)補(bǔ)上自變量的范圍：

這個(gè)例子說(shuō)明，在用函數(shù)方法解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，必須要注意到函數(shù)定義域的取值范圍對(duì)實(shí)際問(wèn)題的影響。若考慮不到這一點(diǎn)，就體現(xiàn)出學(xué)生思維缺乏嚴(yán)密性。若注意到定義域的變化，就說(shuō)明學(xué)生的解題思維過(guò)程體現(xiàn)出較好思維的嚴(yán)密性。

二、函數(shù)值域與定義域

函數(shù)的值域是該函數(shù)全體函數(shù)值的集合，當(dāng)定義域和對(duì)應(yīng)法則確定，函數(shù)值也隨之而定。因此在求函數(shù)值域時(shí)，應(yīng)注意函數(shù)定義域。

以上例子說(shuō)明，變量的允許值范圍是何等的重要，若能發(fā)現(xiàn)變量隱含的取值范圍，精細(xì)地檢查解題思維的過(guò)程，就可以避免以上錯(cuò)誤結(jié)果的產(chǎn)生。也就是說(shuō)，學(xué)生若能在解好題目后，檢驗(yàn)已經(jīng)得到的結(jié)果，善于找出和改正自己的錯(cuò)誤，善于精細(xì)地檢查思維過(guò)程，便體現(xiàn)出良好的思維批判性。

三、函數(shù)單調(diào)性與定義域

函數(shù)單調(diào)性是指函數(shù)在給定的定義域區(qū)間上函數(shù)自變量增加時(shí)，函數(shù)值隨著增減的情況，所以討論函數(shù)單調(diào)性必須在給定的定義域區(qū)間上進(jìn)行。

即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，單調(diào)遞減區(qū)間是。

如果在做題時(shí)，沒(méi)有在定義域的兩個(gè)區(qū)間上分別考慮函數(shù)的單調(diào)性，就說(shuō)明學(xué)生對(duì)函數(shù)單調(diào)性的概念一知半解，沒(méi)有理解，在做練習(xí)或作業(yè)時(shí)，只是對(duì)題型，套公式，而不去領(lǐng)會(huì)解題方法的實(shí)質(zhì)，也說(shuō)明學(xué)生的思維缺乏深刻性。

四、函數(shù)奇偶性與定義域

判斷函數(shù)的奇偶性，應(yīng)先考慮該函數(shù)的定義域區(qū)間是否關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)，如果定義域區(qū)間是關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)不成中心對(duì)稱(chēng)，則函數(shù)就無(wú)奇偶性可談。否則要用奇偶性定義加以判斷。

若學(xué)生像以上這樣的過(guò)程解完這道題目，就很好地體現(xiàn)出學(xué)生解題思維的敏捷性

如果學(xué)生不注意函數(shù)定義域，那么判斷函數(shù)的奇偶性得出如下錯(cuò)誤結(jié)論：

錯(cuò)誤剖析：因?yàn)橐陨献龇ㄊ菦](méi)有判斷該函數(shù)的定義域區(qū)間是否關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)的前提下直接加以判斷所造成，這是學(xué)生極易忽視的步驟，也是造成結(jié)論錯(cuò)誤的原因。

綜上所述，在求解函數(shù)函數(shù)關(guān)系式、值域、單調(diào)性、奇偶性等問(wèn)題中，若能精細(xì)地檢查思維過(guò)程，思辨函數(shù)定義域有無(wú)改變（指對(duì)定義域?yàn)镽來(lái)說(shuō)），對(duì)解題結(jié)果有無(wú)影響，就能提高學(xué)生質(zhì)疑辨析能力，有利于培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)，從而不斷提高學(xué)生思維能力，進(jìn)而有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的創(chuàng)造性。

參考文獻(xiàn)：

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