例析指向思維發展的“四化”問題設置策略

周燚

摘要：常見的思維含量低的初中數學課堂，往往是因缺乏學生視角、缺乏思維深度、弱化差異性和缺少延伸性四種教學問題設置的缺陷造成的。結合初中數學教學實際探究并確立生本化、深入化、差異化、綜合化“四化”問題設置策略，并具體分析“四化”問題設置策略在課堂教學中的實際應用。

關鍵詞：“四化”教學問題設置; 數學思維;自然思維

筆者將當下數學課堂全堂沉寂型、一片蛙鳴型、個人表演型、反復操練型等四種常見思維含量低課堂現象，歸因為缺乏學生視角、缺乏思維深度、弱化差異性、缺少延伸性四種教學問題設置的缺陷。問題是思維的起點，筆者通過調整問題設置策略來解決問題，發展學生思維。

“四化”問題設置是指生本化、深入化、差異化、綜合化“四化”方式設置課堂教學問題。生本化，重視學情分析，從學生實際出發設置教學問題，實現以生為本，學為主體，讓思維自然生長;深入化，注重數學學科深度的挖掘，研究直擊數學本質的問題，總結發現具有一般性的規律和方法，培養深度思維;差異化，數學課堂實現人人有效，面向全體學生，設置具有梯度性的問題，因材施教，讓不同程度學生思維得到發展;綜合化，問題的解決不是單一的知識應用，而是經過對問題的綜合分析，確定解決問題的策略，進而選擇對應知識解決問題，培養學生高階思維。以下是“四化”問題設置法在課堂中的實際應用。

一、生本化——立足認知基礎，生長自然思維

學生的認知基礎是教學設計的起點，教師應充分考慮學情，進行有針對性地教學。在課堂提問過程中，教師需要使學生的主體地位得到明確，讓學生從自我發展的角度，爭取每一次回答問題的機會，最終達到自主提出問題與解決問題，培養高階思維，實現自我學習。

【例】“平方差公式”教學引入

引例：請計算下列多項式的積。

（1）（3x+y）（x-y）

（2）（x+1）（x-1）

（3）（2a+b）（-b+2a）

（4）（a-b）（c-d）

問題1：為什么結果的項數會不一樣呢？

追問1：它是怎么由四項變成兩項的？

追問2：有些結果是兩項的，是最簡單最特殊的，相應的，算式也是最特殊的，今天我們就來研究像這樣的特殊的多項式相乘的情況（建立新舊知識的聯系，并獲得研究對象）。

問題2：這類多項式特殊在哪里？

追問1：你能從哪些角度來回答？乘積中的兩項又有什么特點？

追問2：乘積和算式子之間又是怎樣的聯系？

追問3：能否舉例說明？可以驗證嗎？

追問4：你能用數學符號來表示以上規律嗎？用文字又該如何描述呢？

思考：基于知識的發生和發展，通過問題串引導，讓學生自主地發現和提出問題，自然對其中的特例進行研究，體會了從一般到特殊的研究路徑;通過自主觀察代數式的結構、發現結果項數減少、精準觀察代數式的結構、舉例驗證結論、歸納獲得猜想，積累了公式學習的活動經驗。學生在剛開始分析的時候是不完整的，但是在老師點評和學生互相補充的過程中，學生看問題的角度變得越來越全面，并能發現既可以從算式分析，也可以從結果分析，以及從算式與結果之間的聯系分析，同時既可以從運算的角度分析，也可以從項的角度分析。通過學生可以多層次，多角度的分析等式的結構特征，自然地培養了學生的概括能力和分析問題的能力。

二、深入化——把握問題本質，培養深度思維

課堂教學設計起點低、落點高往往能吸引學生注意，層層深入的問題設置，自然地引導學生進行深層次思考，通過問題的解決撥開層層迷霧直擊數學本質，抓住最根本的數學原理和方法，因此教師設置具有反思性的問題有效引導學生深入思考至關重要。

（一）理清條件，分解基本圖形

問題1：根據條件，我們能找到哪些基本圖形，得到哪些結論？

追問：CP⊥AB的條件可以如何運用？E是CD的中點的條件可以如何運用？

問題2：求銳角三角函數值的方法是什么？

追問：∠CPE不在直角三角形中怎么辦？

設計意圖：問題1引導學生構建出兩個垂徑定理基本圖形（如圖1～3）。

（二）重組圖形，形成解題思路

思路：特殊位置法——當C滑動至特殊位置，即CD∥AB時，∠CPE在Rt△CEP中，易得CO=PE，故∠CPE=∠COE，正弦值可得。

問題3：特殊位置的結論是否能夠代表全體位置？

追問：如何說明在滑動中角不變？

設計意圖：反思性問題引導學生深入思考，并發現變化中的不變性.

思路：轉化角度法。具體方法：∠CPE轉化到∠COE。

問題4：利用圖1的基本圖形，通過幾何畫板猜想——度量驗證，接下來大家能否用邏輯推理的辦法證明∠CPE=∠COE？

解析：通過猜想∠CPE=∠COE，而∠COE不變，只要能夠證明所有位置∠CPE=∠COE都成立即可。由∠CPO+∠CEO=180°可得，四邊形CPOE內接于圓，故∠CPE=∠COE.

設計意圖：根據由特殊到一般的研究路徑，讓探究變得自然明確，學生經歷和感受幾何問題猜想—驗證—證明的過程。

問題5：利用圖2的基本圖形，大家又有哪些求解方案？

解析：構造整圓，如圖7根據垂徑定理可得PE是△CCD的中位線，故PE∥CD，所以∠CPE=∠C，易證問題3的追問。由于∠C是圓周角，可通過構造直徑構造半徑的方法來構造直角三角形，進而求三角函數值。

設計意圖：突破學生原有思維模式從半圓拓展至整圓，思路更拓展，思維更深入。

（三）探究本質，內化提升

問題6：由以上解題思路可得，解決三角函數問題的一般方法是什么？

設計意圖：引導學生回顧總結解決三角函數求值問題基本方法：1.構造直角三角形求解;2.轉化角至直角三角形中求解。

問題7：如圖，弦CD在一個以AB為直徑的半圓上滑動，E是CD的中點，CP⊥AB，垂足為點P，若CD=? ? ? ? ，AB=4.你還能推導出哪些結論？

設計意圖：設計開放性的問題以激發學生進一步的思考。

思考：講解此題用了七個問題進行引導，每一個問題都在激發學生深入思考，總結歸納，包括求解三角函數的方法、說明和一個固定角相等來說明角不變、從特殊到一般的研究路徑、轉化的數學思想等。讓學生在解決此題的過程中自然地收獲了更多數學的本質以及解決數學問題的思想方法，這是數學教學真正的意義，也是數學學習的有趣之處。

三、差異化——設置梯度問題，發展不同思維

《義務教育數學課程標準（2011年）》指出：“人人學有價值的數學，人人都能獲得必需的數學，不同的人，在數學上得到不同的發展。”課堂教學注重分層，關注中間兼顧兩端。教師要根據學生的不同層次設計不同思維程度的問題;引導學生主動思考，以點帶面，共同提高。在課堂教學中，努力嘗試就一個內容設計一系列適合不同層次學生的問題串，讓各層次的學生都有思維提升的空間，在解決問題的過程中讓各層次學生都有機會以“問題”為載體進行交流，激發思維，提高課堂效率。

追問：除了用函數圖像的方法，還有其他方法能夠解決問題嗎？

思考：問題 1從草圖出發，起點低，全體學生都可參與其中。問題2滲透數形結合思想，可用幾何代數兩個維度解題，能激發學生思維的火花，讓不同層次的學生表達相應的思考和結果，互相之間形成課堂資源共享。問題3中的第（1）小題和第（2）小題是一個問題的兩個方面。抓住問題的不變性是解決問題的關鍵。數和形之間的內在聯系，對形而言是顯性的、直觀的，對數而言是內隱的、抽象的，只有經歷這種對比，才能積累認知的經驗。問題3對于學生的綜合應用能力提出了較高的要求，落點高，能夠給學優生發展提供思維空間，當他們表達自己思考時對其他學生也是一種學習。

四、綜合化——設置創造性問題，培養高階思維

正如贊科夫所言：“兒童的智力、情感、意志也像肌肉一樣，如果不加鍛煉和給予正常負擔，它們反而會衰退，不僅得不到應有的改進，有時還會變得遲鈍起來。”因此在教學過程中，教師應努力創設分析問題的條件，通過設置綜合性問題，為學生提供分析問題、建立策略、實施策略、解決問題的機會，整個過程學生思維得到不斷提升，通過內化感悟、外化表達的交替，形成和發展學生的數學思維能力。

思考：從兩個問題的表達方式看，問法1指向單一，操作簡單，都是相似三角形判定和性質的直接應用，屬于低階思維訓練，學生缺失思考問題的方法和策略，思維的延伸性和碰撞力就弱;問法2需要學生分析問題，比如將“F離A點最遠”轉化為求AF的最大值，建立解決問題的策略（模型），從而精準地找到解決問題的方法，再應用知識達到問題解決的目標，屬于分析、抽象、建模等高階思維的訓練。因此問法2對于學生高階思維的培養更具有價值。

“四化”問題設置法在實際教學中的應用可以非常豐富，四種類型的問題設置可以獨立存在也可以多種形式呈現，但是對每位一線教師的教學意識和能力水平提出了更高的要求，除了機械地傳授知識以外，引導學生思考，激發和培養學生思維，讓學生學會思考和質疑，培養學習能力是通過“四化”問題設置想要達到的目標。學生思維能力的培養需要老師改進教學理念、提升數學理解、重視問題設置，用針對性的問題去引導學生思考，學會用數學的眼光看待問題、用數學的思想去思考問題，從而提升數學素養。 因此一線教師需要在平時的教學中實踐反思再實踐再反思，不斷提升自己的教學能力和科研能力，培養學生思考問題和解決問題的能力，教學相長共同進步。

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（責任編輯：奚春皓）