基于網(wǎng)絡(luò)畫板應(yīng)用的雙曲線的簡單幾何性質(zhì)教學(xué)設(shè)計

彭艷梅　侯小華

摘? 要 網(wǎng)絡(luò)畫板功能完善，操作便捷，可以為學(xué)生提供直觀的感知，解決許多數(shù)學(xué)教學(xué)中的難題，有利于學(xué)生的學(xué)習(xí)。利用網(wǎng)絡(luò)畫板進(jìn)行“雙曲線的簡單幾何性質(zhì)”的教學(xué)，可以使得教學(xué)更加直觀，幫助學(xué)生更好地理解和掌握有關(guān)知識內(nèi)容。

關(guān)鍵詞 網(wǎng)絡(luò)畫板;高中數(shù)學(xué);雙曲線的簡單幾何性質(zhì)

中圖分類號：G633.6? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：B

文章編號：1671-489X（2020）15-0040-03

1 前言

網(wǎng)絡(luò)畫板是由張景中院士和其團(tuán)隊在超級畫板的基礎(chǔ)上開發(fā)的國內(nèi)第一款互聯(lián)網(wǎng)環(huán)境下的理科教學(xué)工具。網(wǎng)絡(luò)畫板具有支持多終端、跨平臺、操作方便、儲存安全等特點，其智能畫筆作圖方便快捷，功能也更加完善，可以進(jìn)行動態(tài)演示、計算和任意移動等[1]。網(wǎng)絡(luò)畫板可以讓抽象的知識變得更加直觀，計算更加準(zhǔn)確，有效確保數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性。因此，網(wǎng)絡(luò)畫板受到越來越多數(shù)學(xué)教師的喜愛，在中學(xué)教學(xué)中應(yīng)用日趨廣泛。

“雙曲線的簡單幾何性質(zhì)”從幾何和代數(shù)兩方面研究雙曲線的范圍、對稱性、離心率等內(nèi)容。有的內(nèi)容比較抽象，學(xué)生難以直觀感知，容易與橢圓的簡單幾何性質(zhì)混淆。在教學(xué)過程中利用網(wǎng)絡(luò)畫板，一方面，教師可以讓學(xué)生直觀地理解知識的產(chǎn)生過程;另一方面，學(xué)生通過動手演示或者觀察教師的演示，可以對知識產(chǎn)生深刻印象，從而能夠很好地理解和掌握“雙曲線的簡單幾何性質(zhì)”。

2 教學(xué)過程

回顧舊知? 讓學(xué)生簡單回顧雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和橢圓的簡單幾何性質(zhì)后，引出本節(jié)課的課題——“雙曲線的簡單幾何性質(zhì)”。

探究雙曲線的范圍? 問題：觀察雙曲線，我們可以知道它的范圍，同學(xué)們能否從代數(shù)的角度出發(fā)，得到雙曲線的范圍？學(xué)生通過將雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程化為，知，即x2≥a2，所以，雙曲線變量x的取值范圍是x≥a或x≤-a。隨后，教師借助網(wǎng)絡(luò)畫板做動態(tài)演示，將a作為變量，取值從1～6，讓學(xué)生觀察當(dāng)a變化時，雙曲線的范圍也隨a變化。

探究雙曲線的對稱性? 問題：我們從雙曲線的圖像可以知道它是個對稱圖形，同學(xué)們能否試著類比研究橢圓對稱性的方式，得到雙曲線的對稱性？學(xué)生討論后得到：雙曲線是關(guān)于x軸、y軸和原點對稱的。以關(guān)于x軸為例，在雙曲線上任取一點A（x，y），那么關(guān)于x軸的對稱點為A′（x，-y），也滿足雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，因此，雙曲線關(guān)于x軸對稱。用同樣的方法可以證明雙曲線關(guān)于y軸和關(guān)于原點對稱。

教師再用網(wǎng)絡(luò)畫板進(jìn)行驗證：任取雙曲線上的一點，將A作為雙曲線上的半自由點，以x軸為對稱軸，以A為對稱中心，讓A在雙曲線上運(yùn)動，可以看到A的對稱點A′也在雙曲線上。用同樣的方式可以驗證雙曲線關(guān)于y軸和原點對稱（圖1）。

探究雙曲線的頂點? 問題：以焦點在x軸為例，類比橢圓探究頂點的方式，同學(xué)們能否從代數(shù)角度求得雙曲線的頂點？學(xué)生通過計算得到：令y=0，得x=±a，因此，雙曲線與x軸有兩個交點A1（-a，0），A2（a，0）。但是，令x=0，得y2=-b2，這個方程沒有實數(shù)根，說明雙曲線和y軸沒有交點。

探究雙曲線的漸近線

問題1：在作的圖像時，同學(xué)們遇到了什么問題？學(xué)生列表描點后發(fā)現(xiàn)：頂點和附近的點能夠準(zhǔn)確地畫出來，但是當(dāng)雙曲線向遠(yuǎn)處延伸時，就不能準(zhǔn)確地畫出。

問題2：同學(xué)們能通過對進(jìn)行變形得到它的漸近線嗎？通過教師引導(dǎo)得到：以第一象限為例，變形得到，即，也就是說雙曲線的圖像恒在直線的下方，且永不相交。根據(jù)雙曲線的對稱性，得到雙曲線與直線無限接近，也就是說是雙曲線的漸近線。

此時，教師利用網(wǎng)絡(luò)畫板驗證：作出雙曲線1和的圖像;在第一象限內(nèi)取雙曲線的一點A，過A做直線的垂線，垂足為B;連接線段AB，計算線段AB的長度;讓A在第一象限運(yùn)動，發(fā)現(xiàn)當(dāng)A向右上方運(yùn)動時，線段AB無限接近于0，但永遠(yuǎn)不等于0（圖2）。

問題3：同學(xué)們能得到雙曲線的漸近線是什么嗎？教師引導(dǎo)學(xué)生觀察漸近線與a，b的關(guān)系，得到雙曲線的漸近線是直線。并且，教師可以將a、b作為變量，利用網(wǎng)絡(luò)畫板進(jìn)行動態(tài)驗證。

問題4：同學(xué)們能試著證明雙曲線的漸近線是嗎？學(xué)生討論后，得到：以第一象限為例，設(shè)D（x，y）是雙曲線第一象限內(nèi)的點，那么D到直線的距離。當(dāng)x逐漸增大時，就逐漸減少并且無限接近于零，也就是點D無限接近于直線[2]。同理，其他象限內(nèi)也可得到結(jié)論：直線是雙曲線的漸近線。

探究雙曲線的離心率

問題1：觀察雙曲線，，的圖像，這三個圖像在形狀上有什么不同？教師通過網(wǎng)絡(luò)畫板作出相應(yīng)的圖像，學(xué)生通過對比得到：圖像越來越扁。

問題2：那么雙曲線的圖像受什么影響呢？教師利用網(wǎng)絡(luò)畫板引導(dǎo)學(xué)生探究：首先，固定b=2，將a作為變量，取值范圍為1～6，作出雙曲線圖像，同時改變a的大小，讓學(xué)生觀察雙曲線的形狀隨a的變化情況;其次，固定a=3，將b作為變量，取值范圍為1～6，作出雙曲線圖像，同時改變b的大小，讓學(xué)生觀察雙曲線的形狀隨b的改變情況（分別如圖3、圖4所示）。學(xué)生通過觀察得到：當(dāng)a變大時，雙曲線越來越扁;當(dāng)b變大時，雙曲線越來越寬。

問題3：a、b都能影響雙曲線的形狀，那么能否統(tǒng)一用同一個式子表示呢？教師引導(dǎo)學(xué)生類比探究橢圓離心率的表示方式，得到：可以用b/a的比值來表示。教師利用網(wǎng)絡(luò)畫板給學(xué)生直觀感知：將a、b作為變量，取值范圍都為1～6，計算b/a的值，觀察b/a的值對雙曲線形狀的影響。

問題4：c/a和c/b的值對雙曲線的形狀有怎樣的影響呢？教師通過網(wǎng)絡(luò)畫板演示：首先，將a，c作為變量，a的取值為1～6，c的取值為2～8，計算c/a值，在改變a，c值的時候要保證c>a，讓學(xué)生觀察c/a的值對雙曲線形狀的影響;其次，將b，c作為變量，b的取值為1～6，c的取值為2～8，計算c/b的值，在改變b，c值的時候要保證c>b，讓學(xué)生觀察c/b的值對雙曲線形狀的影響（圖5）。

學(xué)生通過觀察得到：c/a越大，雙曲線越寬;c/a越小，雙曲線越扁;c/b越大，雙曲線越扁;c/b越小，雙曲線越寬。

問題5：既然這些比值都可以決定雙曲線的扁平程度，為什么用c/a來表示離心率呢？教師啟發(fā)學(xué)生得到：因為a、c是初始量，而且c/a可以形象地理解為焦點離開中心的程度，所以把c/a叫作離心率;并且通過雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可知，雙曲線的離心率c/a>1，而橢圓的離心率c/a<1，這是這兩個圓錐曲線的不同點之一。

3 教學(xué)反思

“雙曲線的簡單幾何性質(zhì)”是高中圓錐曲線內(nèi)容的重難點，與“橢圓的簡單幾何性質(zhì)”有許多相似之處，很多學(xué)生容易對這兩部分內(nèi)容產(chǎn)生混淆。因此，在教學(xué)中充分講清楚每個知識點是十分關(guān)鍵的。數(shù)形結(jié)合是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方法，在學(xué)習(xí)“雙曲線的簡單幾何性質(zhì)”時，借助網(wǎng)絡(luò)畫板利用數(shù)形結(jié)合的方法可以很好地給予學(xué)生直觀感知，有利于學(xué)生的理解。

在“雙曲線的簡單幾何性質(zhì)”教學(xué)中，利用網(wǎng)絡(luò)畫板對學(xué)生得到的猜想或者結(jié)論進(jìn)行驗證，從代數(shù)方面培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力，從幾何方面給學(xué)生直觀的感知，加深學(xué)生的理解。例如，雖然學(xué)生能夠從代數(shù)的角度證明雙曲線的對稱性，得到雙曲線的漸近線，但是利用網(wǎng)絡(luò)畫板的動態(tài)功能能夠給學(xué)生直觀的感知，對他們的理解、記憶能起到很好的促進(jìn)作用。

在“雙曲線的簡單幾何性質(zhì)”教學(xué)中，利用網(wǎng)絡(luò)畫板引導(dǎo)學(xué)生探究，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律。離心率這部分內(nèi)容是學(xué)生學(xué)習(xí)的一個重難點，容易與橢圓的離心率混淆。在教學(xué)過程中以網(wǎng)絡(luò)畫板作為幫助學(xué)生探討雙曲線形狀的工具，能夠讓學(xué)生直觀地感知a、b、c以及它們的比值對雙曲線形狀的影響，有助于學(xué)生的理解。

參考文獻(xiàn)

[1]馬夢榮，雍進(jìn)軍，張加林，等.網(wǎng)絡(luò)畫板在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[J].貴州師范學(xué)院學(xué)報，2018（12）：80-84.

[2]陳榮桂，王建鵬.體現(xiàn)高中數(shù)學(xué)教育價值的《雙曲線的漸近線探究》教學(xué)設(shè)計[J].數(shù)學(xué)教育研究，2015（5）：35-38.

*基金項目：山東省研究生導(dǎo)師指導(dǎo)能力提升項目（課題編號SDYY18139）。

作者：彭艷梅，魯東大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計科學(xué)學(xué)院學(xué)科教學(xué)（數(shù)學(xué)）專業(yè)，在讀教育碩士;侯小華，魯東大學(xué)教師教育學(xué)院，副教授，研究方向為數(shù)學(xué)教育信息技術(shù)（264025）。