高中數學導數解題方法探究

馬自強

摘 要?導數作為高中數學的重要部分，是新加入的必修內容，其和函數知識、實際問題解決等高中階段需要掌握的知識之間存在緊密聯系。導數和各種數學知識點的結合，誕生了諸多題型，該類題型大多新穎且巧妙，因此成為了考試的常見題，但也讓學生在解題的時候頗為苦惱。在教學過程中，教師引導學生理解吃透導數概念并將其應用在解題中，能夠顯著提升數學解題的效率，并促進學生數學知識的深化融合。本文基于此先闡述導數概述，然后分析高中數學導數解題方法，供相關工作者參考。

關鍵詞?高中數學;導數;導數解題

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2020）32-0113-02

隨著新課改的推進，高中數學教學不再單單注重學生解題能力的培養，而是更關注學生的創新意識和思維開拓。高考的命題方式多變，但導數解題的相關方法知識點一直是重點之一，其時常和函數、方程、數列等內容相結合，然后變換出新穎的題型，考驗學生的導數解題能力。導數問題往往巧妙而精細，學生在解題的時候不能籠統地分析，而需要充分思考，發散思維，以足夠的耐心去分析得出答案。在這一過程中，學生的自主思考和獨立解題能力都能得到鍛煉。

一、高中導數概述

高中數學教材上有提到，導數體現著函數的變化趨勢，在學習簡單的初等函數的時候，就可以用到函數求導，讓一些看似復雜的問題簡單化，從而輕松地解答出來。高中的導數教學，主要是培養學生用導數解決數學問題的習慣思維。這些年，高考中導數問題和題型越發常見，這也變成學生需要跨過的阻礙難關，學生要就問題來思考是否有求導的必要，尋找突破點，運用導數解題方法來得到答案。

二、高中數學導數解題的方法策略

（一）導數解題應用于函數單調性

函數單調性求解一直是高考中的常見題型，其就是函數在某一區間內遞增或遞減的變化趨勢。如果學生沒有學過導數來解題，往往需要畫圖或者求出相鄰兩點的差，這些方法復雜且浪費時間，而且一不小心就容易出錯。而導數的學習掌握，則給學生提供了函數問題解答的另一條路徑。運用導數，學生只用針對特定函數求導，特定區間內導數數值<0，則函數為單調遞減，相反則是單調遞增。對比導數和其他解題方法，很簡單能看出導數解題更簡潔明了，有助于學生快速解題。

例如，教師給學生一道題目y=x+Inx，函數的單調遞增區間為（）

A（0，+∞）;B（-∞，-1），（1，+∞）;C（-1，0）;D（-1，1）

教師引導學生采用導數方法來解題，解析：函數y=x+Inx的定義域為（0，+∞），令，得x>0，所以，學生就可以求出答案是選A。

（二）導數解題應用于不等式問題

高考的另一熱點問題就是不等式，和函數一樣，其解題方法也是多種多樣，但導數仍是其中最簡單清晰的解題方法。因此，在遇到不等式題目的時候，教師主要引導學生應用導數來解答。而運用導數解決不等式題目的原理就是把不等式問題轉化成函數問題，再以導數轉化成函數單調性研究。這樣，只要判斷函數值和是否滿足條件就能判斷不等式成立與否。

例如，若函數y=f（x）在R上可導且滿足不等式xf（x）>-f（x）恒成立，且常數a，b滿足a>b，求證af（a）>bf（b）。

教師引導學生用導數解題，已知，構造函數，則，從而F（x）在R上為增函數。因為a>b，所以F（a）>F（b），即af（a）>bf（b）。解題的時候教師引導學生由條件移項后，可想到是一個積的導數，從而構造函數F（x）=xf（x），求導就能完成證明。

（三）導數解題應用于函數最值問題

高中函數問題中，最值是最常見也最重要的學習和考點內容。導數解題方法應用于函數最值問題，能給學生解題提供一條更為簡單的途徑。而各種題型中，最典型的是二次函數的最值問題，相比于數形結合解題，導數解題要更加快捷且不易出錯。

例如，教師給學生一道題目：函數的最小值是多少？

A.2 B.0 C. D.6

這類題是較為簡單的，不需要對參數的變化范圍分類討論，只要依照導數判斷函數在此區間上的單調性，就能夠求得二次函數最小值。學生解題的時候，令，則，，，因而在區間上為減函數，當t=1時，函數y最小值是。這道題目解答的時候載體為三角函數，先換元，把三角問題轉為二次函數在區間上的最小值問題。

（四）導數解題應用于實際問題解決

除了函數和不等式問題之外，導數解題還可應用于實際問題的解決。數學學習過程中，學生時常會遇到生活相關的問題，這些實際相關的問題可實現函數或等式問題的轉化，然后應用導數來簡化題目，從而清晰直觀地求出答案。

例如，教師給學生一道問題是已知某廠生產x件產品的總成本是元。求：要使生產x件產品的平均成本最低，應當生產多少件產品？

學生在解答這道題目的時候，設生產x件產品的平均成本為y元，則，，令y=0，得到x₁=1000，x₂=-1000（舍去）。當時，y取的極小值。因為函數只有一極值點，因此函數在這點取得最小值。所以，要使平均成本最低，需生產1000件產品。在解這道題目的時候，思路主要是依照題目給出的條件來列出目標函數，然后以導數來最值求解。

三、結語

總而言之，導數在函數單調性、不等式、函數最值等問題解決方面得到普遍應用，能夠幫助學生梳理清晰解題思路，快速地解題獲得答案。在日常作業和測試中，教師積極引導學生熟練掌握導數解題方法，強化導數知識應用，能夠大大節省解題時間，簡化步驟，提高解題效率和準確度，并達到全面提升學生數學知識能力的效果。

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