經歷由零散到理性實現由個別到一般

孫艷君

【摘要】 本文以學生原有的長方形和正方形的知識經驗和生活經驗作為基礎，避免重復教學，將學生頭腦中比較含糊不清的概念作為其教學的重點，將概念清晰化、明確化.學生由“直觀認識長方形和正方形”到“用自己的語言描述圖形的特征”，最后上升到“運用數學語言表達長方形和正方形的特征”，實現從最初的零散認識到理性的一般結論認識的飛躍，并基于操作、遷移與類比，形成由個別到一般的不完全歸納思維.

【關鍵詞】 長方形;正方形;教學設計

一、設計亮點

于偉校長認為，“有過程的歸納教學”是強調學生通過不斷經歷合情合理的推測、探究、體驗等操作，不斷經歷知識產生的過程，經歷多種形式對話的過程，經歷多種思維沉淀的過程，從而歸納概括出一般結論的教學.

本文以學生原有的長方形和正方形的知識經驗和生活經驗為基礎，避免重復教學，將學生頭腦中含糊不清的概念作為教學的重點，將概念清晰化、明確化.學生由“直觀認識長方形和正方形”到“用自己的語言描述圖形的特征”，最后上升到“運用數學語言表達長方形和正方形的特征”，實現從原初的零散認識到理性的一般結論認識的飛躍，并基于操作、遷移與類比，形成由個別到一般的不完全歸納思維.

二、內容分析

“長方形與正方形”是小學數學北師大版第4冊第七單元“認識圖形”的第2課時，屬于“空間與圖形”領域.之前，學生對長方形和正方形已經有了初步認識，能夠正確區分銳角、直角、鈍角，本節課在此基礎上，通過量、折、比等一系列學習活動，加深學生對長方形和正方形特征的認識，使其了解長方形與正方形之間的聯系.本節課的教學為學生今后學習長方形和正方形的周長與面積及認識長方體和正方體的特征奠定了基礎，也是后續學生認識其他平面圖形的基礎，所以本課有著承上啟下的作用，是小學階段圖形與幾何領域的一個重要內容.

因此，學生對長方形和正方形的認識要跳出簡單的直觀感知層面，通過猜測與驗證的探究過程，經歷知識產生的過程，經歷多種思維沉淀的過程，從而歸納、概括出長方形和正方形的本質屬性，為后續學習其他平面圖形積累一定的方法與思維經驗.

三、學情分析

在歸納教學中，教師在設計教學時要了解學生在上課之前持有怎樣的生活概念，然后以學生這些零散的生活概念為根基，在此基礎上改造學生的生活概念和經驗，從而使學生低級的生活概念發展思考為高級的科學概念.

1.從學生真實的認知起點出發，確定知識的生長點

課前，教師通過口頭的方式提出問題：“你認識長方形和正方形嗎？你知道長方形和正方形有什么特點嗎？”調查發現，雖然大部分學生對長方形和正方形的直觀表象有一定的認識，但對于長方形和正方形的具體特點并不知道如何去描述，也不知道從什么角度去描述，所以，引導學生從 圖形的邊和角的角度去描述圖形的特點是本節課的第一個知識生長點.

2.緊扣學生年齡特點，確定新知的學習方式

本節課中，教師摸準二年級學生好動、好奇、傾向直觀感知的學習心理，引導學生采用拼一拼、猜一猜等方式提出對長方形邊和角的特點的猜想，再用量一量、折一折等方式驗證自己提出的猜想.學生在驗證長方形邊和角的特點時，其價值內涵應該體現在以下兩個方面：第一，量邊和角順應了學生的原有經驗，因為學生在研究邊的長短和角的大小的問題時，量是最先能想到的方法;第二，因為測量有誤差，可以引導學生對原有的認知產生質疑，促使學生產生進一步探究的欲望，為引出更簡潔的折一折的方法提供可能.

四、教學目標

結合內容分析及學情分析，本節課重在使學生理解和掌握知識目標的同時，對學生進行能力目標的培養和情感目標的落實.

1.通過操作、比較、歸納，能夠用自己的語言描述長方形、正方形的特征，能夠按要求在方格紙或點子圖上畫長方形和正方形.

2. 通過量一量、折一折、拉一拉等活動，獲得研究圖形的經驗，體驗到長方形與正方形的特征和二者之間的聯系.

3.體驗知識產生和形成的過程，同時培養學生熱愛祖國的情操和學習數學的興趣.

教學重點：猜測與驗證長方形、正方形的特征.

教學難點：理解長方形與正方形的聯系與區別，并用折一折的方法驗證邊與角的特點.

五、教學設計

教師準備：木條、大長方形紙2張、大正方形紙2張.

學生準備：直尺、三角尺、小長方形紙和小正方形紙若干.

六、率性教學的展開過程

（一）基于事實、經驗，實現從原初的零散認識上升到理性的一般認識

在知識的形成過程中，所有的概念都是從具體的事例中抽象出來的.學生在進入課堂之前，已經通過經驗構成了一定領域的某種前概念，并持有一定的生活概念.以學生的這些零散的生活概念為根基，在此基礎上改造學生的生活概念、生活經驗，可使學生的前概念發展為高級的科學概念.

1.學生由“直觀認識長方形和正方形”到“用自己的語言描述圖形的特征”

長方形和正方形在學生的日常生活中隨處可見，學生對長方形和正方形有著非常好的生活經驗，因此，直觀地判斷一個圖形是長方形還是正方形，對于二年級的學生來說非常簡單，而用自己的語言去描述長方形和正方形的特征，對于學生的思維水平來說是又上了一個臺階，實現了從圖形表征到語言表征.

師：這節課我們要來學習長方形和正方形，有誰已經認識長方形和正方形了？你在生活中見過哪些長方形或者正方形？其實我們的校園、生活的房間，包括手里玩的、用的，好多東西的表面都有長方形和正方形，你對它們是再熟悉不過了.

師：你能用學具拼出長方形嗎？別著急，你要選幾根木條？為什么選4根？（板書：有4條邊）現在請你從學具中選4根你認為合適的木條進行擺拼.

師：拼好的同學舉起來看看，來分享一下你成功的經驗，選什么樣的4根木條才能拼成長方形呢？2根長的、2根短的就一定能拼成嗎？

2.學生由“用自己的語言描述圖形的特征”上升到“運用數學語言表達長方形和正方形的特征”

對于長方形特征的語言表述，我們發現學生能用上下、左右一樣長，角尖尖的這種形象化的語言進行表征，但是對“對邊”“長”和“寬”這樣的概念是陌生的.學生對正方形的語言表述情況相對較好，他們會說四條邊一樣長、四個角都是直角等，顯然學生對正方形特征有一定的了解.因此，教師需要引導學生運用數學的語言表示長方形和正方形邊及角的特征，由生活化的語言表征上升到數學化的語言表征.

師：兩根長度相等的長木條和兩根長度相等的短木條在擺放的位置上有什么要求？

師：這兩根長木條互相看著對方，這在數學里我們叫作相對，相對著的兩條邊叫對邊，現在這兩條對邊的長度是相等的，我們就說對邊相等.（板書：對邊相等）

師：長方形還有什么特點呢？4個角都是直角.（板書：都是直角）眼睛看著是直角，是不是就一定是呢？

（二）基于操作、遷移與類比，形成由個別到一般的不完全歸納思維

1.通過眼見不一定為實，培養學生理性實證研究圖形的思維方式

我們發現學生沒有主觀驗證圖形特征的意識，一方面是因為學生覺得眼睛看看就已經能判斷圖形是不是長方形或者正方形，沒有必要再去進行嚴謹的數學驗證;另一方面是學生犯了一個邏輯錯誤，我們明明是要通過測量來驗證長方形的特征是否成立，可學生直接運用猜想來解決問題，學生測量得到一條邊的長度后就直接寫出了對邊的長度，這時候驗證特征就變成了特征的應用.因此，我們要告知學生眼見不一定為實，需要進行折一折、量一量去驗證猜測是否成立，培養學生理性實證研究圖形的思維方式.

師：我們用木條擺出來的長方形具有這些特點，那是不是所有的長方形都具有這些特點呢？（板書：？？）如果不確定，我們就得逐個驗證才能行.老師有兩點提示，在你驗證長方形邊的特點時，你可能用到什么工具呢？請把你用直尺量得的數據記錄在相應的邊上.如果你不想量，想直接折，請把折痕保留好.在你驗證角的特點時，不能只用眼睛看，眼睛是不可靠的，那要用什么工具？

（1）邊的特點

師：都誰用量的方法來驗證長方形對邊相等？跟他量的不是同一個長方形的同學舉手.這些大大小小、有扁有長的長方形，它們一致的地方是什么？

師：誰是用折的方法得到結論的？上下對折能說明什么呢？左右對折呢？只需要對折就可以看對邊是否完全重合，完全重合就說明相等.

師：現在通過量和折兩種方法確定長方形的兩組對邊確實都是相等的.（擦掉一個“？”）

（2）角的特點

師：都誰是逐個量角的？有沒有少量幾次也能確定4個角都是直角的？折完之后再量量看呢？

師：對折一次之后4個角兩兩重合到了一起，只需要量2次就可以了.我就想量一次可以嗎？再對折一次，使4個角完全重合到了一起，這樣只量一次就可以了.（擦掉另一個“？”）

2.通過遷移與類比，由繁到簡理清知識脈絡

長方形和正方形是一組有關系的圖形.由于學生前面已經積累了研究長方形圖形特征的經驗，因此對于正方形特征的研究會相對比較容易.因此，學生沒有必要像剛才研究長方形特征那樣從頭至尾重新經歷一遍，我們直接通過 研究方法的遷移和知識的類比，由繁到簡理清長方形和正方形知識脈絡即可.

師：現在我們終于認識長方形了，來和圖形家族的小朋友們玩個游戲放松一下.游戲規則如下：給出多種圖形，再給出各種條件，誰不符合條件誰出局.有4條邊，誰出局？對邊相等，誰出局？4個角都是直角，誰出局？這3個條件其實是誰的特點？正方形怎么還在這呢？你們的意思是說正方形符合長方形的所有特征，為什么還另起個名叫正方形呢？（板書：4條邊都相等）

師：用4根完全一樣的木條確實可以拼出正方形，那是不是所有的正方形都具有這些特點呢？（板書：？）看學習要求，研究思路和長方形基本一致，怎么能省時高效地完成任務呢？

師：通過測量確實可以得到結論.誰用了折的方法？上下對折，然后左右對折，就能證明4條邊都相等嗎？ 只能證明什么？能不能通過折把相鄰的邊也重合在一起呢？

師：對于4個角，怎么省時、高效地量呢？現在老師明白為什么正方形不出局了，因為它不僅具備了長方形的所有特征，而且比長方形更特殊，4條邊都相等.

師：我們今天研究的長方形和正方形早在古代的一本數學著作《周髀算經》中就有記載：圓出于方，方出于矩.這里面的“方”指的是什么？“矩”呢？這句話的意思是圓源于正方形，正方形源于長方形.正方形源于長方形是什么意思呢？當長方形的長越來越短，短到什么時候就是正方形了呢？對了，短到和寬一樣長的時候.反之，當長方形的寬越來越長，一直長到什么時候就是正方形了呢？

3.以一推多，滲透由個別到一般的不完全歸納思維

由于班級人數的限制，學生研究的圖形個數是有限的，那如何以一推多？這對于二年級的孩子來說是非常困難的.筆者嘗試以介紹的方式向學生呈現歸納推理的思想，向學生滲透由個別到一般的不完全歸納的思維方式.

師：說說我們到目前為止得到的研究結論吧.不對呀，我們才研究不到四十個圖形，怎么能直接說長方形和正方形都具備這樣的特點呢？需不需要把世界上所有的長方形和正方形都拿來一一研究呢？

師：我們由多個長方形和正方形的特點推出了一般長方形和正方形的特點，這個過程在數學上被稱為歸納推理，這是我們在數學學習中經常用到的方法.

師：通過這節課的學習，我們對長方形和正方形已經不僅僅是認識，而是從圖形的組成部分、從邊和角的角度去描述這個圖形的特征.以后我們還會進一步認識其他圖形，那時也可以像今天這樣先憑著生活經驗或者數學直覺去猜測圖形有什么特征，然后想辦法驗證.這是我們研究創造的重要方法，你們一定要記住它.（板書：猜想、驗證）

【參考文獻】

[1]于偉.教育哲學[M].北京：北京師范大學出版社，2015.

[2]于偉.與兒童的對話：兒童哲學研究的田野筆記[M].長春：長春出版社，2017.

[3]于偉.率性教育的理論與實踐探索[M].北京：教育科學出版社，2018.

[4]方巧娟.從“眼見為實”走向理性實證：《長方形和正方形的認識》整體教學的思考與實踐[J].小學教學設計，2021（23）：19-22.