淺談高等數學與高中數學的區別和如何有效學習高等數學

皮曉瑞

摘 要：高中數學與高等數學之間，有著銜接困難的問題。問題主要存在于高考結束后，高中生踏入大學校園生活，尤其是文科類學生在學習高等數學有吃力的感覺。針對高中數學的學習方法，能否適用于高等數學還有如何改變學習習慣，提出個人的建議和做法。并且在學習高等數學的過程中，微積分的計算屬于基本要求掌握且重要的章節，是高等數學金字塔體系中的重要一環。所以當我們理解透徹微積分的計算后，便能更加有效地學習好高等數學。

關鍵詞：高中數學; 高等數學; 文科生; 微積分

中圖分類號：G644.5? ? ? ? ? ?文獻標識碼：A? ? ? ?文章編號：1006-3315（2021）3-118-002

2019年高考結束，我們進入大學開始新的學習。通過一個學期的學習，再去掉軍訓的時間差不多只有三個月的學習時間。大一上學期我們只是基本了解到高數的基本內容是函數。到了大一下學期的時候，由于疫情的影響，我們只能通過上網課的方式來學習高數，并且在大二下學期中主要重點學習不定積分和定積分的章節。

在高中我們學習數學的時候，涉及的內容非常廣泛，總共有五本必修和三本選修書。在函數這一塊，高中數學學習的是初等函數，包括常數函數、冪函數、指數函數、對數函數、三角函數和經過有限次四則運算和復合運算得來的。而高等數學，我們學習的內容主要就是函數，所以高中數學函數內容學好了，就是大學高等數學學好的基礎。很多同學覺得高數不是很容易學進去，實際上這個門檻就在于高中數學關于初等函數的基礎沒有打扎實，對初等函數的性質沒有很熟悉，因此在一開始學習和做題目就感到困難。

在此我們再次熟悉高中數學關于初等函數對于大學高數函數銜接的相關定義。對于冪函數，形如y=xa（a為有理數）的函數，在高等數學中，其a除了有理數還可以是任意實數或復數。對于指數函數，形如y=ax（a[>0]，a[≠1]）的函數，應用到e值時，為y=ex，這里的e是數學常數，近似等于2.718281828。對于對數函數，它的形式為y=logaX（a[>0]，且a[≠1]），與指數函數是互為反函數的關系。那么何為反函數呢？其定義是反函數X=f-1（y）的定義域、值域，分別是函數y=f（x）的值域、定義域。簡單來說，就是兩函數的值域和定義域互換，有不同的表達函數，具有可逆性。同時，我們所知的三角函數與反三角函數也是反函數的關系。對于三角函數，有正弦函數y=sinx、余弦函數y=cosx，正切函數y=tanx這三種常用三角函數，而到了大學，我們還需要學習正切函數y=tanx，余切函數y=cotx，正割函數y=secx和余割函數y=cscx。還有反三角函數的反正弦函數y=arcsinx、反余弦函數y=arccox（-1[≤x≤1]，0[≤y≤Π]）、反正切函數y=arctanx、反余切函數arccotx（-[∞≤x≤+∞]，0[≤y≤Π]）反正割函數y=arcsecx、反余割y=arccscx。這些函數在高中階段并沒有要求我們掌握，而大學高數課堂上老師也會因為這是高中內容而不去講述。因此產生了知識空白，需要我們自己去自主補充學習，如果不去掌握，學習高數就開始變得困難。而在高數課本同濟7版中，附屬頁面有詳細說明其性質，我們可以由此掌握。

在學習上，高中數學和高等數學是有很大的不同。高中數學主要講究的是對各類題型的掌握和熟練，需要我們去“刷題”來“積累套路”，并且高中數學知識的概念是比較簡單的，大多數都是淺嘗輒止。因為本人是文科生，高中學的是文科數學，在內容上比理科數學少了一些，相對來說難度也低了一些。所以在學習方法上就是，通過記憶力記住公式，然后學會套用運用解題。簡單來說就是“題海戰術”。通過大量做題來達到熟練題型的目的，思維十分單一，這是應試考試的學法。

高中數學的學習習慣對我們在大學學習高數也有影響。在高三階段時，文科生背誦方面的能力較好，在學習數學的時候，有部分同學是有通過背題來掌握題類的習慣。這種方式在基礎題方面有效，是因為基礎題的變通性較弱，并且題型比較固定，因此在背誦后，可以通過步驟拿分掌握相關類型的題目。而在高等數學的學習中，基礎題似乎只存于能直接使用相關公式解出的題，這種背誦題目的習慣在面對高數需要技巧性強或者思考難度較高的題目，就不適用了。通常來說文科生的邏輯思維比理科生差，對公式的掌握和熟悉顯然是理科背景的同學更加老到，因此文科生在高數的學習中就比較受阻了。在此，我根據自己的學習經驗，提出學習高數的方法供同為文科生的同學參考。我們在學習的時候，看書、做題和思考是通用法則。而在看書這方面，不必苛求理解，可以利用我們背書的天賦，先熟悉公式，在心中對公式定理有個大概的印象。最后再去看公式是如何推導出來，了解公式的產生和證明，有益于我們做題時對公式能夠靈活的運用。有句老話說，“書讀百遍，其義自見”在此也適用。所以文科生的學法相對枯燥無味，但堅持也是我們的韌性所在。

而到了大學階段，高等數學最主要也是最為核心的就是極限思想。如果我們沒有理解好極限思想，后面的學習也很難繼續展開。所以要求我們改變死記硬背的習慣，要多思考為什么，學會提出問題，我們才能更好的解決問題。因為高等數學對函數的學習是不斷深入和拓展的，而極限則是基本要求。并且知識概念都很抽象化，還有許多我們不熟悉的符號，很難去形象表達，需要我們去認真思考和讀懂這些概念。最后，高等數學的知識體系就像一座金字塔，最下面是極限，然后環環相扣，后一章的內容一般都會用到前一章的內容。同時每一章的公式也是特別的多，定義定理等也是十分之多，需要我們記憶的內容也就更多了。

我們在學習高等數學的時候，對一個知識點的掌握，一般可以通過去弄通經典例題，來深刻體會和掌握知識點。我在學習不定積分和定積分時，是先去讀通了它的概念表達了什么，首先是它們的關系是什么：定積分是一個數，而不定積分是一個表達式，它們不過是在數學邏輯上存在一個計算關系。不定積分其實就是一個函數的導數的形式，然后它只給你這個導數的表達式子，我們需要通過這個式子，去求出原來的這個函數，因為有許多函數求導之后可能是相同的式子，比如3x+1和3x，他們求導后都是3，所以這個求導后的式子就是不定的，因為他們之間差了常數，如果我們確定了這個常數，那么我們就可以確定了這個式子，那么這個式子就是定積分了。

我們在做題的時候也要掌握好面對不定積分和定積分的方法。對于不定積分來說，方法有直接積分法、第一換元積分法、第二換元積分法和分部積分法。直接積分法需要我們對積分表掌握熟悉才能使用。對于后面的方法，在這我舉例幾個例題來演示下如何運用。

直接積分法的使用：舉個例題：[（1-1x2）][xxdx]，首先我們需要看這個式子能否直接運用，不過我們看到沒有公式可以直接套用，這個時候我們就需要進行簡單的恒等變換，把式子變形成[（x34-x-54）dx]，最后直接通過公式得出答案[47x74+4x14+c]。這個方法主要需要我們對式子的細心觀察和對公式要足夠熟悉。不然我們這個方法使用起來也是挺困難的。

第一換元積分法：其實這個方法就是湊微分法。如[f（x）dx]，我們要先湊成[g[φ（x）]φ'（x）dx]，然后令[φ（x）=u]，我們就可以得到[g（u）du]，然后求出G（u）+c，最后還原回來，就得到G[[φ（x）]]+C。舉個例子：[tanxcosxdx]。我們把tanx拆開得到[sinxcosxcosxdx]，然后變成[-dcosxcosxcosx]，得到-[（cosx）-32dcosx]，最后求出答案是[2cosx+C]。我們做題的關鍵就是把例題本來的元素x，換成了元素cosx，這樣方便我們更迅速地去做題。湊成了cosx的微分，讓我們計算變得更加簡便和輕松。

第二換元積分法的核心就是：設一個代換的元素，然后這個元素是可以單調可導的，并且這個元素的導數不能等于0.這個做法的關鍵就是我們要如何去選擇代換的元素，讓我們去吧無理式的積分化成有理式的積分，通常我們是用于消去根號，然后使得我們的計算更簡便。

分部積分法：這個方法的公式是[uv'dx=uv-u'vdx]。舉個例子：[x3exdx]。我們先變形成[x3dex]，再利用公式得出[x3ex-3x2dex]，然后再對后者用一次公式等到[x3ex-3x2ex+6xdex]，最后得到答案是[x3ex-3x2ex+6xex-6ex+C]。這個方法就是如何確定u和v'，當我們確定好了v'是[ex]，就可以更加方便地得出答案，因為[ex]的導數就是它本身，對于我們計算更加簡單，所以選取它。我們計算定積分的時候，首先我們需要明白牛頓-萊布尼茲公式，是告訴我們一個連續函數在區間ab上的定積分，是等于它任意一個原函數在區間上的增量。公式為[abf（x）dx=F（b）-F（a）=F（x）ab]。在此舉個例題，[0Π2（2cosx+sinx-1）dx]，通過積分表可以得到2[sinxΠ2][0-cosx][Π2][0-xΠ2][0]，再根據其公式的意思，分別把上下限的數值代入相應的函數相減，再把三個函數結果值相加，得到3-[Π2]。這就是公式的基本思想和應用。不過定積分也是經常用到換元積分法和分部積分法，對于換元積分法，首先要理解定積分的換元公式要滿足的條件，需要f（x）函數在區間ab內可連續，換元后的函數在區間αβ上是單值的和有連續的導數，所以公式為[ba（x）dx=αβf[φ（t）]φ'（t）dt]。在此舉個例題，[0Π2cos5xsinxdx]，首先我們觀察例題發現，cosx是高次，因為我們需要更換cosx，減少復合函數的運算量，所以有令t=cosx，那么dt=-sinxdx，又由定積分的上下限分別推出x=[Π2][?]t=0，x=0[?]t=1。那么原式=-[10t5dt=t6610=16]，這里由于前面有個負號，因此積分上下限調換過來抵消掉。在此我們需要注意到一個容易錯漏的地方，在換成新自變量t的時候，我們需要把積分的上下限也相應的做出改變。同時，定積分不需要像不定積分一樣變換為原來自變量x的函數，只用在新變量下，帶入原來表示t的函數的式子進行積分上下限的相減就行了。定積分的分部積分法則和不定積分一樣計算。公式為[abudv=[uv]ba-abvdu]。舉個簡單的例題，[012arcsinxdx]。令u=arcsinx，則du=[dx1-x2];dv=x，則v=x。依照公式得出式子[[xarcsinx]12][0-012xdx1-x2]對于后一個式子變形得到[01211-x2d（1-x2）]。最后上下限代入整個式子運算得到答案為[Π2+32-1]。我們要學會運用這兩種方法來解決這兩種積分，這可以幫助我們更有效積累做題的經驗。不定積分和定積分是我們攀登高數山峰途中遇到的第一道門檻，只要我們在跨過這道門檻后，我們就會擁有信心，迎接接下來章節的挑戰，而在這其中學習到的方法，會使我們后續章節學起來也會游刃有余。

最后對于我們在大學如何更好的學習高等數學，從我的經驗看來，其實上課這個時間段必須利用好，不能覺得老師講的太簡單就不用心聽課，然后下來自己突擊一兩章也能考好，這會是個留有后患的問題——你需要培養自己盡快適應不同老師講課的能力，不能沉浸在之前高中時候數學老師督促我們學習的狀態。我們在疫情期間一天的大多數時間都是上網課，好好利用起來上課的時間，不管能聽懂多少都要盡量跟下來，不能覺得自己只要下課補回課堂知識就行了。然后就是老師上課讓做的例題，要去仔細思考和做題，老師讓我們去做的題目都是這個知識點的經典運用，我們想學習一個新東西和要想掌握新東西，最好的方法就是去用它。所以老師當堂布置的題一定要抓住機會去練，最后嘗試用自己的語言去翻譯它，我們的知識點就會更加掌握。可以找機會教別人，教別人做題也是在鞏固自身所學的知識。只有打好基礎，我們學習高數才會比較輕松和有效。也可以為以后考研打下基礎。其實如果我們現在有同學沒有認真聽課的話，想追上來，就會是一個苦功夫了。所以有效學習高數應該做好的心理準備是，不蛻一層皮是學不好的。但是日積月累的作用是令人震撼的。只有靜心去學習高數和向別人求助，堅持和努力我們才能有效學習好高數。

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