弄清等號的意義，讓學(xué)生的代數(shù)思維更成熟

王小云

[摘 要]學(xué)生初學(xué)等號，了解它是用來連接兩個等值的數(shù)，表示相等關(guān)系。在后續(xù)學(xué)習(xí)算術(shù)時，等號功能發(fā)生轉(zhuǎn)變，作用變成標(biāo)記計算結(jié)果。教學(xué)時要遵循學(xué)生認(rèn)知的發(fā)展演變規(guī)律，選擇時機來引導(dǎo)學(xué)生理解等號表示大小相等關(guān)系的功能。這樣有利于學(xué)生理解代數(shù)關(guān)系式。

[關(guān)鍵詞]代數(shù)關(guān)系式;加法;啟蒙 ;數(shù)形結(jié)合

[中圖分類號] G623.5[文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A[文章編號] 1007-9068（2021）08-0022-02

義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)知識的連貫性越來越強，小學(xué)算術(shù)與初中代數(shù)之間的“代溝”幾乎彌合。新版小學(xué)教材中，一些帶有“代數(shù)啟蒙隱喻”的題目開始出現(xiàn)，如蘇教版教材第一冊第71頁第9題（如圖1）。

某位教師講解這個問題時指導(dǎo)學(xué)生利用代數(shù)關(guān)系式“a+b=（a+1）+（b-1）”來解答第一個算式，但學(xué)生自主完成其他算式時狀況頻發(fā)：有的學(xué)生在填寫第二個算式時想到6+1=7，于是在左端方框填入1，右端方框則隨意填寫;有的學(xué)生覺得一個等式中等號兩邊的方框里應(yīng)填同一個數(shù)，左式是6+3，右式則是7+3;有的學(xué)生做對了，但他們是先自定左式的得數(shù)，再去推算右式中應(yīng)填入什么數(shù)才得到這個得數(shù)。按照教師教授的方法做題且做對的學(xué)生僅有2名。

從上述情況來看，問題有二：其一，學(xué)生對等號意義的理解不透徹;其二，學(xué)生不理解代數(shù)關(guān)系式“a+b=（a+1）+（b-1）”。如何讓學(xué)生在接觸這道題前做好思想準(zhǔn)備和知識鋪墊？

一、多維度建構(gòu)，理解等號的意義

在學(xué)生學(xué)習(xí)了“等號表示大小相等關(guān)系”之后進(jìn)行鞏固練習(xí)，讓學(xué)生加深對等號這一功能的理解。如教學(xué)蘇教版教材第一冊第51頁第5題（如圖2）：

師（出示圖3）：每個桃子一樣重，要使天平平衡，右端可以放哪兩盤中的桃子？

生1：1個桃子和4個桃子這兩盤。

師：為什么？

生1：天平左端有5個桃子，右端也應(yīng)放5個，天平左右兩端桃子質(zhì)量相等，才能平衡。

師：左端放有5個桃子用“5”表示，右端放4個桃子和1個桃子，怎么用數(shù)學(xué)算式表示？

生2：用“4+1”或者“1+4”表示。

師：此時，天平兩端桃子的個數(shù)都是5，天平平衡，怎么用數(shù)學(xué)算式表示這種平衡關(guān)系？

生3：有兩個算式可供參考，5=4+1或5=1+4。

師：真聰明！還有別的擺法嗎？你們能夠邊擺桃子邊解說嗎？（學(xué)生上臺演示并寫出算式：5=2+3;5=3+2;5=5+0;5=0+5）

師：這些算式和以往學(xué)的算式有什么區(qū)別？

生4：以往學(xué)的算式，加法運算在左邊，得數(shù)在右邊，現(xiàn)在剛好顛倒過來。

師：你發(fā)現(xiàn)等號兩邊的算式和得數(shù)互換位置了。

生5：如果換回來還是和原來一樣。

生6：就像天平兩端的重物交換位置，天平仍然保持平衡。

師：聯(lián)想到天平兩端的重物交換位置，真棒。

（教師板書算式）

師：比較上面兩組算式，它們有什么共同點？

生7：加法運算的計算結(jié)果都是5。

生8：中間都是用等號連接的。

生9：左邊這組算式，數(shù)字5在左端，算式在右端，兩邊的值相等;右邊這組算式，算式在左端，數(shù)字5在右端，兩邊的值相等。

師：以往我們習(xí)慣把算式寫在等號左端，得數(shù)寫在等號右端，現(xiàn)在算式和得數(shù)剛好調(diào)換位置，但是兩邊始終相等，所以中間一直用等號連接。

上述教學(xué)過程中，教師利用天平的平衡原理來類比等式的相等關(guān)系，并概括出等式，讓學(xué)生把抽象的“等號的關(guān)系性質(zhì)”融入具體的天平平衡中。在新舊算式的對比中，學(xué)生自覺應(yīng)用“等式性質(zhì)”改變原有對算式的狹隘認(rèn)知，通過調(diào)換位置，把等號的功能從“表示計算結(jié)果”轉(zhuǎn)向“表示相等關(guān)系”，加深對等號“表示相等關(guān)系”的理解。

二、動手操作，初步感知

學(xué)生在解決圖1中的問題時，要用到“a+b=（a+1）+（b-1）”這個代數(shù)關(guān)系式，所以必須深入理解它。在“代數(shù)思想啟蒙”階段，并不需要學(xué)生將題目中隱含的代數(shù)關(guān)系提煉出來，但是學(xué)生要對這個代數(shù)關(guān)系有一個初步感知、大致理解和簡單應(yīng)用的過程，能夠用自己的方式來理解和運用它，形成代數(shù)關(guān)系的意識，這樣才有可能運用上述的代數(shù)關(guān)系式來解題。

動手操作是學(xué)生理解運算符號意義的最佳手段，同時也是理解算式數(shù)量關(guān)系的最佳途徑，學(xué)生對于“a+b=（a+1）+（b-1）”這個代數(shù)關(guān)系式的理解也應(yīng)從動手操作開始。如教學(xué)蘇教版教材第一冊第13頁第2題（如圖4）：

（讓學(xué)生先根據(jù)指定的數(shù)目給圓圈著色，然后觀察結(jié)果，說說自己的發(fā)現(xiàn)）

生1：涂色圓圈的個數(shù)依次是2、3、4，空白圓圈的個數(shù)就是3、2、1。

生2：涂色圓圈每次增加1個。

生3：空白圓圈一個個減少。

生4：涂色圓圈每次增加1個，空白圓圈每次減少1個。

師：這是為什么？

生5：總共5個圓圈，涂色圓圈每增加1個，空白圓圈的數(shù)量自然就會相應(yīng)減少1個。

師：沒錯。5個圓圈總數(shù)不變，涂色圓圈每增加1個，空白圓圈就會減少1個。

上述教學(xué)過程中，在涂色之后交流研究，學(xué)生的注意力從按照指定數(shù)量涂色，轉(zhuǎn)移到涂色圓圈與剩下的空白圓圈之間的數(shù)量對應(yīng)關(guān)系上，學(xué)生根據(jù)操作中的現(xiàn)象來描述這種數(shù)量變化關(guān)系，形成對“a+b=（a+1）+（b-1）”這個代數(shù)關(guān)系式的初步感知和印象。

三、數(shù)形結(jié)合，多元表征

在前面的學(xué)習(xí)中，學(xué)生對“a+b=（a+1）+（b-1）”這個代數(shù)關(guān)系式的認(rèn)識和了解，是建立在動手操作和對數(shù)的分合上的。在后續(xù)學(xué)習(xí)中，學(xué)生還要通過對結(jié)果相等的加法算式的有序整理，歸納出算式形式與結(jié)果的變化規(guī)律，重新在加法運算意義上構(gòu)建對原代數(shù)式的認(rèn)知。如教學(xué)蘇教版教材第一冊第53頁第6題（如圖5）時，教師讓學(xué)生在操作之后，依序呈現(xiàn)所有可能的情況（如圖6），并且與得數(shù)是6的加法算式進(jìn)行對應(yīng)。

師：觀察以上算式，大家有什么有趣的發(fā)現(xiàn)？

生1：它們的結(jié)果都是6。

生2：蜜蜂方陣被劃分成兩個三角形陣型，左邊的三角形陣型從上到下不斷增加，右邊的三角形陣型從上到下不斷減少。

生3：從上往下看這一列算式，被加數(shù)逐次加1，加數(shù)逐次減1，得數(shù)不變。

師：好眼力，你是從上往下看的。思考一下，得數(shù)不變，為什么前面加了1，后面剛好就減1呢？

生4：答案就在圖中，總共有6只蜜蜂，分成兩組，左邊多了1只，右邊自然就減少1只。

生5：如果從下往上看，左邊每次減少1只蜜蜂，右邊每次增加1只蜜蜂，總數(shù)不變。

師：其實不管沿著哪個方向看，它們的變化規(guī)律是恒定的。

生6：在一個加法算式里，一個加數(shù)增加1，另一個加數(shù)減少1，和不變。

師：想一想，以前見過這種現(xiàn)象嗎？

生7：和圓圈涂色是一個道理，圓圈總數(shù)不變，涂色圓圈每增加1個，空白圓圈的個數(shù)就減少1。

生8：數(shù)的拆分與組合中也存在類似現(xiàn)象，總數(shù)不變，左端增加1，右端就減少1。

師：沒錯，這種算式的運算關(guān)系和涂色游戲、數(shù)字拆分游戲有著異曲同工之妙。

上述教學(xué)過程中，教師把操作的結(jié)果與算式對照展示，通過數(shù)形結(jié)合，讓學(xué)生深入理解“a+b=（a+1）+（b-1）”這個代數(shù)關(guān)系式。教師通過讓學(xué)生回想以往所學(xué)的相關(guān)知識，將對上述代數(shù)關(guān)系式的理解從運算意義、數(shù)的分與合這兩個角度合二為一，加深理解，形成多元表征。

在小學(xué)“代數(shù)思想啟蒙”階段，教師務(wù)必要做到尊重學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律。一方面，教師要把握住每一個問題背后隱含的代數(shù)關(guān)系式，了解學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，并補充完善;另一方面，在遇到可以用代數(shù)思維解決的問題時，允許部分學(xué)生先用算術(shù)方法解決，后期逐步優(yōu)化。

（責(zé)編 吳美玲）