高中生數學思維能力的培養策略

董裕華

【摘要】數學與思維緊密相連，數學在人的理性思維形成過程中具有不可替代的作用。數學思維帶給人數學的表達方式，是數學素養的靈魂。培養數學思維能力，既需要教師發揮主導作用，通過開放式提問、刨根式備課、關聯式變題、落地式命題等方式給學生提供可能;也需要學生自身的努力，通過主動“說數學”、巧畫結構圖、認真做反思、自主出考卷等方式主動提升。

【關鍵詞】數學思維能力;價值定位;培養策略;高中數學

【中圖分類號】G633.6 【文獻標志碼】A 【文章編號】1005-6009（2021）03-0032-06

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱“2017年版課標”）指出，數學教育“引導學生會用數學眼光觀察世界，會用數學思維思考世界，會用數學語言表達世界”。這“三會”是數學核心素養的外在表現，其核心是“數學思維”。離開了數學思維，就無法用數學的眼光觀察世界，也不可能用數學的語言表達世界。數學思維是數學能力之“核”，是數學教學的重要任務。

一、培養數學思維能力的價值定位

中小學為什么要學數學？學習數學有什么用？學生應當學什么樣的數學？這些問題都曾引發全國上下的熱議。那些反對將數學列入高考的人們，他們不見得是認為數學不重要，只是覺得數學教學的內容、方法需要改進。也有一部分人則是過于追求數學的“實用”價值、追求學習的功利價值。適度追求數學的工具價值可以促進數學水平的提升和數學事業的發展，它與發展數學思維并不矛盾。

相比其他學科，數學在啟迪、培養和發展人思維的深度、廣度、系統性等方面具有獨特的優勢。2017年版課標指出：“數學在形成人的理性思維、科學精神和促進個人智力發展的過程中發揮著不可替代的作用。”數學教學就是要讓數學學習者的思維方式具有“數學味”。

數學教學必須教會學生數學的思維，教會學生數學的思想觀念。否則，學得再多、考得再好，數學素養也不見得高，數學思維能力也不見得強。同時，也要防止另外一種傾向，把知識、技能、能力、素養等分級，輕視知識，弱化知識教育，這種思想和行為是危險的，也是違反規律的。因為思維需要載體，數學思維、數學素養以數學知識和數學技能為基礎，沒有基本知識、基本技能，數學思維和數學素養就成了無源之水、無本之木。能力、素養的提升反過來又促進知識、技能的掌握。知識、技能與能力、素養都很重要，沒有明確的先后與層次之分，幾個方面相輔相成、相互促進、相得益彰，是一個不可分割的整體。好的數學教學一定是在數學知識和技能的習得過程中培養和發展學生的數學思維;又通過數學思維的發展和提升，為數學知識和技能的獲取提供更好的保障，促進數學知識、技能、能力、素養的平衡協調發展。數學思維能力的培養應當貫穿于知識、技能、能力、素養習得的全過程。

二、教師在培養數學思維能力中的主導作用

1.開放式提問。

開放式問題的答案不唯一，解決的方法也不唯一，學生可以從不同角度觀察和思考問題，可以用多種方法解決同一個問題，也可以根據自己的能力得到不同的結論。這對數學教師具有較大的挑戰性，因為數學的大多數問題具有結果確定性。只有教師巧妙設計，開放式提問才可能實現。教師還可以通過追問幫助學生暴露思維過程，發現薄弱環節，優化思維習慣。另外，學生主動提問題也是開放式提問的補充，學生主動提問就意味著他在積極地思考。教師經常發出“你還發現了什么問題？”“你能否給出類似的問題？”等信號，讓學生產生認知的不平衡，促使他們不斷地思考、反省和提升。

2.刨根式備課。

很多教師在下課前都會問上一句：“大家還有問題嗎？”聽到學生異口同聲地說“沒有！”的時候，特別有成就感。實質上，“沒問題”只是假象，真正的問題被掩蓋了。教師在課堂上不能做“睜眼瞎”，要根據教學情況隨時做好調整，但同時更需注重備課，盡可能地把問題考慮得更細致周到，避免課堂上的“手忙腳亂”。

比如，蘇教版高中數學選修2-2“導數的概念”中“平均變化率”的例題3：

已知函數f（x）=x²，分別計算函數f（x）在區間[1，3]，[1，2]，[1，1.1]，[1，1.001]上的平均變化率。

課本給出的解答如下：

學生解題時，前兩小題的完成速度很快，而完成后兩小題的速度卻越來越慢。為什么呢？

因為前兩小題中的數據為整數3和2，平方的時候比較順當;后兩小題的數據不再是整數，依然套用前兩題的方法，直接進行1.1，1.001的平方運算，速度自然慢了下來。

但從結果看，在[1，1.1]，[1，1.001]上的平均變化率分別為2.1，2.001，后者恰好是區間端點值之和，這是偶然還是必然？

也就是說，猜想是正確的，課本上省略了平方差公式應用的詳細過程，而這又恰恰是思維的重要節點。沒有教師的深挖，很多學生會糊里糊涂。如果教師再畫出輔助圖，就能幫助學生發現平均變化率就是經過兩個端點的直線的斜率，也就是拋物線割線的斜率，當割線的兩個端點越來越近的時候，割線就趨近于切線。盡管這個內容不是本節課的重點，但教師必須清楚題目的命制意圖。教師恰當的引導可以豐富學生的思維內容，點燃思維火花，讓學生不斷發現新問題，增強求知欲，產生繼續學習的動力。

3.關聯式變題。

變式是通過變更問題的情境或改變思維的角度，變換問題的條件和結論，變換問題的形式，在保持其本質特征不變的情況下，使事物發生變化。變式教學是在教學過程中，通過變更知識的非本質特征，引導學生從“變”的現象中發現“不變”的本質，理解知識的發生、發展過程;從“不變”的本質中探究“變”的規律，理解數學問題的演變過程，幫助學生多角度理解學習內容的本質屬性。

變式教學，既是提高課堂教學效率的有效途徑，也是改善學生思維品質的有效手段，為眾多教師所青睞。變式教學主要有三種方式：一是一題多解，對同一道題，從不同的角度、不同的思路出發，采用不同的方法和不同的運算過程去分析求解的練習活動;二是多題一解，對涉及的數學思想方法大致相同或相似的問題進行歸類，吃透一道題，就可以掌握一類題的解法;三是一題多變，通過增加問題背景，增大發散程度，對某個問題進行引申、發展和拓寬，引導學生在變化比較中提升思維能力。一題多解，拓寬了解題思路，引導學生全面觀察、思考問題，提升發散性思維能力;多題一解，側重于尋求一類問題的“通性通法”，突出聚合思維，幫助學生進行方法歸納，主動悟出不同問題的共性解法，減少不必要的學業負擔;一題多變，通過不同的思考角度、不同的解題策略，發展學生觀察、想象、探索能力，提升思維的靈活性。

例如，2014年中法中學生數學交流活動試卷第6題：

如圖1，四邊形ABCD四個頂點的坐標分別為A（-4，2），B（2，-6），C（3，6），D（1，2）。請在圖中畫出這個平面直角坐標系，并敘述你的作法。

本題打破了常規設計的束縛。命題者沒有采用常規的在坐標系中找點的坐標的方法，也不允許學生只憑自己的意愿建立坐標系，改變了學生的思維習慣，對學生數形結合的能力也是一次很好的檢驗。

真正好的題目，一定可以“借題發揮”，可以借助一題多解、多題一解、一題多變，來多層次、廣視角、全方位地做認識和研究。但在實際操作中，要注意三個問題。

一是變式不能偏離教學目標，不能為“變”而“變”。變式教學要充分發揮教師的引導、指導作用，要將變式控制在學生知識、能力和思維基礎許可的范圍內。對預設外生成的問題，要及時作出價值判斷，不能“信馬由韁”，防止影響教學的綜合效果。

二是變式的選擇要具有典型性。變式的選題要精挑細選，既要有利于學生打開思路，展開聯想，又要有利于舉一反三、觸類旁通，幫助學生透過現象看本質，達到“以少勝多”的目的。

三是總結提升要及時。通過總結，提煉出一般性的結論和帶有普遍意義的方法。學生思維的改善不可能一蹴而就，需要不斷地進行比較學習和關聯思考，在對立統一中同質疊加、異質互補，拓展思維的深度和廣度，提升思維的品質。

4.落地式命題。

目前，國內數學試題與實際生活聯系不夠緊密、問題情境不接地氣的現象還相當普遍，這也是很多人感到“數學沒用”的重要原因。2017年版課標把基本活動經驗與基礎知識、基本技能、基本思想并稱為數學的“四基”。數學基本活動經驗是學生直接或間接經歷數學活動過程而獲得的經驗，它既能讓學生感受到數學學習的價值和樂趣，又能培養他們主動運用數學知識的意識和能力，激發他們數學高階思維，在實踐中豐富數學思維的形成和發展過程。

考察數學基本活動經驗，PISA的理念值得我們借鑒。PISA數學測試非常重視學生在實際生活中的數學能力，期望激活學生自身的數學知識和數學能力去解決現實問題，并做出有理有據的數學判斷和決策，其背后支撐的還是數學思維。

例如：下面這道PISA測試樣題就考察了學生對國防預算數據的解讀能力。

某個國家1980年的國防預算為3000萬美元，該年度預算總額為5億美元。第二年的國防預算為3500萬美元，預算總額為6.05億美元，并且知道這一財政年度的通貨膨脹率為10%。

（1）如果你被邀請為一個和平協會作報告，你將怎樣解釋國防預算下降了？

（2）如果你被邀請為一個軍事學會作報告，你將怎樣解釋國防預算增加了？

本題不僅要求解數據結果，還要主動進行不同角色的轉換，從不同立場選擇不同角度，進行數據的解讀。這樣的思維已經不是數學認知的要求，但以數學思維為基礎，理解和解釋社會現象，對增強學生辯證思維能力、形成健全人格還是非常有益的。

用數學眼光觀察世界、用數學思維思考世界、用數學語言表達世界，這些理念在PISA試題中得到充分體現。PISA試題適當還原生活的本來面貌，既讓學生感受到數學“有用”，增強數學學習的成就感，又讓他們提升自主篩選信息的意識和能力，這種能力就是數學核心素養中的“數據分析”，幫助學生“增強基于數據表達現實問題的意識，形成通過數據認識事物的思維品質，積累依托數據探索事物本質、關聯和規律的活動經驗”。

三、學生在培養數學思維能力中的主體地位

1.主動“說數學”。

自我解釋是一種積極主動的認知建構活動。學生在學習過程中對所學內容做出解釋，以此來理解新的信息。數學中的自我解釋以數學交流的方式進行，也就是通常所說的“說數學”，即學生用自己理解的數學語言來闡述對所學數學知識、數學問題、數學方法的認識、選擇與理解。

“說數學”的過程，就是展示思維的過程，需要言說者梳理思路、組織語言、恰當表達。自己的思路不流暢，想把別人講懂并非易事，“說數學”的過程，也是暴露自身薄弱環節的過程，無論是知識點，能力點，還是思維轉接點，都可能存在問題，只有發現問題，才能有針對性地查漏補缺。“說數學”的過程，還是合作交流的過程。師生之間、同學之間的討論交流、各抒己見，可以相互啟發、相互補充，取長補短;可以突破原有思維的束縛，糾正錯誤偏差，拓展思維空間。

美國學者布朗（S.Brown）與瓦爾特（M.Walter）提出了問題解決的“否定假設法”，即“What-if-not（如果不是這樣的話，那又可能是什么）”策略，讓學生回到原問題，自己想，自己說，通過發散思維發現和衍生出更多新問題，說開了就是變式練習，只是由教師主導變成由學生自主“開發”。它的好處是更好地激發了學習興趣，培養了發現問題的能力，讓學生的數學思維朝著靈活、開放、創新的方向發展。但學生提出的問題良莠不齊，有的比較膚淺甚至存在錯誤，這就需要教師敏捷的思維能力、扎實的專業功底和較強的協調能力，否則課堂容易失控，教學任務也難以完成。

2.畫結構圖。

學生經常有兩個困惑：一是有些問題在初中時沒有弄明白，到了高中，突然開竅了;二是有些問題平時會做，到了期中、期末考試時卻突然想不起來了。其實，這兩個問題的答案都非常簡單。之所以學生到了高中就覺得初中數學容易，是因為在高中學習的很多內容里，不知不覺地又將初中的許多數學知識重復了一遍，學生把過去沒有搞清楚的知識點弄通了，也就達到了“學會”的要求。有些問題平時會做，是因為每天完成的作業與課堂講授的內容相配套，即使沒有聽課，看看課本例題也能明白七八分。同樣的學習任務，有的學生掌握了原理和方法，有的主要靠機械模仿。平時看不出差距，考試時要在自己的知識倉庫里搜尋到對應的方法和策略差距就很明顯，不知所措、無從下手的大有人在。

美國學者大衛·珀金斯把這種知識掌握不到位的情況稱為“脆弱知識綜合征”。要擺脫“脆弱知識綜合征”，真正理解知識，靈活運用知識，提升數學學習的品質和效率，就必須抓住核心概念，理清概念的相互關系，把相關知識附著到概念網絡上，形成思維導圖。思維導圖可以把隱性知識顯性化，直觀、有效地呈現知識間的關聯;也可以把抽象思維形象化，展示學生的思維過程，給思維訓練提供有效方法。思維導圖不要“為做而做”，畫“知識樹”的方法可能更適合于平時的過程學習，學生可以隨時添加整理，對學習起點的要求也不高，只要自己能看懂就行。“知識樹”有三種：一是以知識點為生長點，厘清知識點之間的關聯;二是以題目為連接點，本質上是變式練習;三是知識點與相應題目穿插。

3.認真做反思。

反思是對自身思維過程、思維結果進行再認識和檢驗的過程，是一種積極的思維活動和探索行為。數學家波利亞把解題過程分為弄清問題、擬定計劃、實現計劃和解題回顧四個步驟，回顧已完成的解答是數學學習中一個重要且有啟發性的階段。每道經典題解完以后，都可以對自己提出許多有用的問題：關鍵在哪里？主要的困難是什么？什么地方我可以完成得更好些？我為什么沒有察覺到這一點？要看出這一點我必須具備哪些知識，應該從什么角度去考慮？這里有沒有值得學習的訣竅可供下次遇到類似問題時應用？這些問題都是重要的思維源。對“回顧”而言，無須專門時間，在每個學習任務完成以后都可以進行。成功之處需要總結，通過多角度觀察和聯想，找出更多的思維通道，找出更多的關聯問題，達到“由一題會一片通一類”的目的;失敗之處更要總結，出現思維障礙不可怕，可怕的是對思維障礙聽之任之，滿足于聽懂了，而沒有真正找到思維障礙的根源和解決問題的辦法。

筆者曾提出“漁網理論”：如果把每次練習看成是一次捕魚，那么每次總結反思就如同一次“修補漁網”。發現漏洞不修補，下次捕魚時魚照樣會從漏洞里逃跑;發現漏洞及時修補，通過三年努力，漁網一定會非常結實。這張漁網既是知識網，也是能力網、思維網，思維把知識點連接起來。不少學生對基礎知識不求甚解，對基本訓練嗤之以鼻，對總結反思不當回事，期望通過刷題、刷難題獲得進步，把大量時間耗費在題海里卻勞而無功，就是因為沒有及時修補漁網。

所以，反思的過程承載著多重使命，既要整理學習思路，又要調整思維結構、優化思維方法，還要提升思維品質。總結反思可以讓學生的思維從經驗層面上升到理性認識，通過提煉、概括、感悟，進入思維的更高階段。

4.自主出考卷。

學生在教師指導下自主命制試卷，也是發展學生數學思維的有效路徑。

每學期期末考試前一個月，我們都布置學生出一份模擬卷，告訴他們所涉及的各個知識點的分值占比、難度要求，讓學生結合自己對所學知識的理解，回憶平時教師強調的重點，兼顧自己平時的易錯點，可以參照現成資料，也鼓勵自編原創，要求試卷中既有課外題，又有課本題，還要有平時的作業題、練習題;既有難題，又有容易題，盡可能把自己平時沒有解決的問題放進去，并且按難度順序排列;既考慮知識的覆蓋面，又突出重點，還要給出評分細則。

試題命制完成以后，送請同桌“校對”。校對者除了對知識點分布和文字表達進行審核，防止出現科學性錯誤以外，還要審查試卷有無明顯的偏題、怪題，評分細則是否合理。

接下來，全班學生“推磨”答題，命題者為試卷評分。解答者還要根據自己的答題體驗對整份試卷的命制質量，包括命題范圍、知識點覆蓋面、難度、容量等方面進行評估。最終，結合期末考試情況一并考核評比，解答者評價較高、解答者的期末考試得分與命題者評分差距較小的試卷評為優秀試卷，出現與期末試卷關聯度較大的題目評為優秀試題。優秀試卷和試題的得主會獲得假期的書面作業減免一半的獎勵。

實踐證明，這些舉措既調動了學生學習的積極性，又培養了學生的數學思維能力。命題周期長，給學生相對充足的醞釀時間，也給他們自我整理、消化、復習的時間。命題過程中，學生的工作量很大，既要吃透命題要求，又要翻閱作業資料，篩選適合題目，還要制訂評分細則，每個方面都彰顯著數學思維。學生自主鉆研的熱情很高，主人翁責任感很強，盡管允許使用現成試題，但絕大多數學生還是以模仿、改編、變式的方式來命題，每個人都爭取表現得最好，數學思維能力特別是高階思維能力得到很好的訓練，達到教育無痕的效果。