蘇教版與加州版小學數學教材中乘除法實際問題的比較

馮剛

[摘 要]選取蘇教版與加州版小學數學教材，從類型、呈現順序、呈現方式、情境四個維度比較乘除法實際問題的相關單元。從乘除法實際問題的類型看，等組問題在兩版教材中均占比最高，蘇教版教材未出現參照量未知問題，加州版教材未出現關系量未知問題。從乘除法實際問題的呈現順序看，蘇教版教材先呈現份數未知問題，再呈現每份數未知問題，加州版教材與之相反;蘇教版教材先呈現關系量未知問題，加州版教材先呈現比較量未知問題。從乘除法實際問題的呈現方式看，蘇教版教材中圖文題與表格題占比較高，加州版教材純語言文字題及圖文題占比較高。從乘除法實際問題的情境看，個人生活情境在蘇教版教材中占比最高，公共常識情境在加州版教材中占比最高，關于科學情境的實際問題，兩個版本都較少涉及。

[關鍵詞]乘除法;實際問題;蘇教版教材;加州版教材;比較

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2021）11-0023-03

教材是落實課程目標、實施課堂教學的藍本，在教學中發揮著舉足輕重的作用。本文選用時下在中美兩國使用較廣泛的一種教材，即中國蘇教版小學數學教材（以下簡稱“蘇教版教材”）和美國加州小學數學教材（以下簡稱“加州版教材”），就其中乘除法實際問題的編寫特點進行比較，發現兩國教材編寫的差異，尋找兩種教材提供的不同“機會”，以期為我國教材的編寫、課程資源的開發及教學實踐提供參考。

一、研究方法

本研究從四個維度，即類型、呈現順序、呈現方式和情境，對蘇教版和加州版兩種教材中的乘除法實際問題進行比較。所研究的乘除法實際問題主要是“1～10的乘法實際問題”和“被除數在100以內的除法實際問題”。所有的實際問題均是一步計算的整數實際問題，不包括分數和小數，也不包括有余數的乘除法實際問題。

（一）乘除法實際問題的類型

乘除法實際問題主要分為等組問題和乘除法比較題。等組問題描述了等組的數量，根據未知數的位置，分為三種變式：積未知（如：5個小朋友折千紙鶴，每人折了3只，一共折了多少只？）;每份數未知（如：一共有15只千紙鶴，平均分給5個小朋友，每人分得多少只？）;份數未知（如：一共有15只千紙鶴，每人分3只，可以分給幾個人？）。乘除法比較題是對一個量（比較量）與另一個量（參照量）的比較，進而描述一個量是另一個量的幾倍或幾分之幾（關系量）。根據未知量的位置，乘除法比較題分為三種變式：比較量未知（如：小明有3本故事書，小芳的故事書數量是小明的6倍，小芳有多少本故事書？）;參照量未知（如：小明有18本故事書，是小芳的故事書數量的6倍，小芳有多少本故事書？）;關系量未知（如：小明有18本故事書，小芳有3本故事書，小明的故事書數量是小芳的多少倍？）。

簡言之，乘除法實際問題按類型分有兩種，即等組問題和乘除法比較題。其中，等組問題根據未知數的位置分為積未知、每份數未知和份數未知三種類型;乘除法比較題按未知量的位置分，又有比較量未知、參照量未知和關系量未知三種類型。本文主要研究每種類型的乘除法實際問題出現的次數和頻率，從而探究不同教材為學生提供的“學習機會”的差異。

（二）乘除法實際問題的呈現順序

從乘除法實際問題的類型出發，分別研究兩種教材中的等組問題和乘除法比較題出現的先后順序，發現兩種教材乘除法實際問題類型出現順序上的差異。

（三）乘除法實際問題的呈現方式

呈現方式主要分為純文字題、圖文題、表格題和其他類型四種。其中圖文題是指包含圖形與文字的實際問題，也包括有插圖的文字實際問題;其他類型是指無法囊括在前三種類型里的實際問題。研究兩種教材的乘除法實際問題在不同呈現方式上的頻率，探究哪種呈現方式運用最廣泛。

（四）乘除法實際問題的情境

鮑建生將數學問題“背景”分為四個層次：最低層次是“無背景”，即無任何實際應用背景;第二層次是“個人生活”，指與學生個人生活相關的背景;第三層次是“公共常識”，屬于某個職業領域，或社會公共常識背景;最高層次是“科學情景”，包含科學實驗的過程及一定的科學知識。本文參考鮑建生的分類，將實際問題情境分為個人生活情境、公共常識情境和科學情境三種，探究這三種情境在兩種教材中的運用情況。

二、研究結果

（一）乘除法實際問題的類型

筆者統計了蘇教版教材和加州版教材中，六種實際問題出現的次數和頻率，如表1。

1.等組問題

在蘇教版教材中，等組問題占總數的84.2%，其中積未知問題最多，占總數的39.4%，每份數未知和份數未知問題的出現頻率無明顯差距。而在加州版教材中，等組問題占總數的98.0%，明顯高于蘇教版教材，其中積未知問題占總數的62.6%，比蘇教版教材高了23.2%，另兩種類型則是比蘇教版教材略少一些，差異都在5%左右。就兩種教材的等組問題的出現次數來看，加州版教材有459道，蘇教版教材只有186道，遠遠少于加州版教材的數量。

2.乘除法比較題

對于乘除法比較題，蘇教版教材中比較量未知題和關系量未知題頻率相近，而參照量未知題沒有出現，整個乘除法比較題在蘇教版教材中占比為15.8%。在加州版教材中，乘除法比較題只占了1.9%，明顯低于蘇教版教材。此外，加州版教材的幾個章節中沒有出現關系量未知的題目，比較量未知和參照量未知的題目也極少出現。相較而言，蘇教版教材的乘除法比較題多于加州版教材的，但蘇教版教材中沒有出現參照量未知的題目。

3.等組與乘除法比較題

對兩種教材兩大類型的問題出現次數、頻率進行比較，可以發現：在這兩個版本的教材中，等組問題無論是次數還是頻率都遠遠大于乘除法比較題。其中加州版教材中等組問題的占比為98.0%，蘇教版教材中等組問題的占比為84.2%，都占據了總數的絕大部分;而乘除法比較題很少出現，對于加州版教材來說，幾乎是沒有出現。

（二）乘除法實際問題的呈現順序

進一步分析兩種教材中六種實際問題呈現順序的差異，如表2。

從上表可以看出，蘇教版教材和加州版教材在六種類型的實際問題呈現順序上存在著巨大差異。對于等組問題，盡管兩種教材都先呈現了積未知問題，但蘇教版教材是先呈現份數未知問題，再呈現每份數未知問題;而加州版教材則完全相反，先呈現每份數未知問題，再呈現份數未知問題。

對于乘除法比較題，兩者也存在差異。蘇教版教材先呈現關系量未知問題，也就是求“倍數”問題;而加州版教材先呈現的是比較量未知問題，也就是已知標準量和倍數，求比較量的問題，形式類似于積未知問題。

（三）乘除法實際問題的呈現方式

就蘇教版教材的221道和加州版教材的468道乘除法實際問題的呈現方式進行分類統計，得到蘇教版教材和加州版教材四種問題類型的頻率分布情況，如表3。

由上表可以看出，蘇教版教材的乘除法實際問題以圖文題為主，占了總數的73.8%，處于絕對優勢。加州版教材最多的卻是純文字題，占了總數的46.6%。在蘇教版教材中，排第二的是表格題，純文字題與其他類型題目并列第三位，所占的比例都比較小，只有8.1%，這與加州版教材形成了鮮明對比。可以說，在加州教材中出現頻率最高的題型，到了蘇教版教材中，卻成了出現頻率最低的題型。不過，加州版教材中的表格題倒是與蘇教版教材出現的頻率相近，僅相差0.6%。而蘇教版教材中出現最多的圖文題，在加州版教材中僅占總數的40.0%，這一點也體現了兩種教材的差異性。

（四）乘除法實際問題的情境

本文對實際問題的三種情境做了定量研究與統計，具體的研究結果如表4。

分析比較后不難得出：個人生活情境在蘇教版教材中出現得最多，占60.2%，而此項在加州版教材中僅占44.4%;公共常識情境在加州版教材中占52.4%，在蘇教版教材中僅占38.9%;科學情境的實際問題，蘇教版教材很少涉及，只有0.9%，加州版教材相對來說關注得多一些，占了3.2%。

三、研究結論與啟示

（一）乘除法實際問題的類型

兩種教材的等組問題的比例都遠超乘除法比較題的比例。加州版教材中幾乎沒有乘除法比較題，僅有的幾道也是零散的，甚至可以將其全部歸為等組問題。由于乘除法比較題的難度大于等組問題，因而在小學特別是低年級階段，等組問題占據絕對數量。

從出現次數來看，加州版教材的積未知問題占據了絕對主導地位，其他類型的問題相對較少。從類型的均勻程度看，加州版教材實際問題的類型分布不如蘇教版教材。因而從這個角度來說，蘇教版教材給學生提供了更多的“機會”，使他們更容易接觸到不同類型的實際問題，進而進行知識的理解與遷移。

（二）乘除法實際問題的呈現順序

蘇教版教材先呈現份數未知問題，而加州版教材先呈現每份數未知問題。蘇教版教材先教學“平均分”——每份分得同樣多，由此自然而然地引出份數未知問題。而加州版教材是把除法當作一種分配手段，認為除法是兩個數之間的一種運算，一個數告訴你有多少東西，另一個數告訴你構成每個相同組需要多少東西。根據這個理念， 加州版教材先呈現每份數未知問題，再呈現份數未知問題。這就很好地揭示了兩種教材在等組問題呈現順序出現差異的主要原因：對除法概念的理解不同。

可以發現，蘇教版教材的呈現順序更好一些。加州版教材將除法看作兩個數之間的一種運算，對除法定義的理解過于抽象。蘇教版教材先引出份數未知問題，抓住平均分這一學生已有的知識經驗，強調“每份分得一樣多”，基于此繼續學習每份數未知問題，符合學生的認知規律。

（三）乘除法實際問題的呈現方式

兩種教材呈現方式差異最顯著的是純文字題和圖文題。在加州版教材中，純文字題占據最大的比例，但在蘇教版教材中，這一題型卻是出現最少的，兩者的差異達到了38.5%。蘇教版教材中的圖文題數量占了整個實際問題數量的73.8%，以絕對優勢超過了加州版教材的40.0%。也就是說，加州版教材的圖文題比例大約僅是蘇教版教材的一半。

加州版教材實際問題的總數遠遠超過了蘇教版教材，而教材的篇幅畢竟有限，圖文題過多，也容易導致教學內容偏少，華而不實，因此相應的純文字題就較多。而蘇教版教材大多數為圖文題，應該是教材編寫者考慮到低年級學生的抽象邏輯思維尚未發展，解決實際問題仍需要通過大量的具象圖來協助，故而在教材的大部分實際問題中都配了插圖，以幫助學生更好地理解實際問題表達的含義，從直觀的角度利用乘除法運算解決實際問題。

再從不同呈現方式的特點來看，純文字題相較于其他類型的題過于抽象，而圖文題利用圖片將抽象的文字信息轉化為生動的圖像，有助于學生更好地理解題意。因此，蘇教版教材配備了大量的圖文題，特別適合低年級學生;表格題形式簡單，讓人對要解決的問題一目了然。綜合這幾個方面，蘇教版教材的呈現方式更適合學生進行數學學習。

（四）乘除法實際問題的情境

在本文對實際問題情境的分類統計研究中，加州版教材較蘇教版教材更關注社會公共常識，加州版教材占52.4%，蘇教版教材僅占38.9%，加州版教材為學生的社會化提供了更好的“機會”。加州版教材中個人生活情境相對較少，占44.4%，而蘇教版教材更注重聯系生活，個人生活情境占據60.2%。根據兩國的課程標準要求和文化背景可以推斷出現這種現象的原因：加州版教材傾向于將數學學習與社會生活相聯系，教材中常常出現一些社會專職工作，如樂隊、醫生等，這與美國注重培養公民的科學探究精神和責任意識有關;蘇教版教材更注重將數學學習與生活相聯系，提出的問題大多是買文具一類的實際生活問題，這與新課程標準提出的“將數學寓于生活，在生活中學數學”有關。另外，兩種教材對科學情境的涉及都比較少的情況與本研究調查的是小學數學教材有一定關系。

從以上三種情境的作用來看，個人生活情境有利于學生將數學學習與已有的知識經驗相聯系，公共常識情境有利于提高學生的社會交往和社會適應能力。就這兩點而言，蘇教版教材和加州版教材各有千秋，二者可以相互借鑒。

[ 參 考 文 獻 ]

忻燕蘋，郭兆明，劉佳.乘除法關系課程單元的跨文化比較[C]//北京師范大學.首屆華人數學教育會議論文集.北京：北京師范大學基礎教育課程研究中心，2014.

（責編 吳美玲）