高中數(shù)學(xué)中雙變量函數(shù)問題的探究

王勇 張秋果

摘 要：近幾年，雙變量函數(shù)問題在高考數(shù)學(xué)試卷中出現(xiàn)的頻率越來越高，所占的比重也越來越高。可以說，學(xué)生對(duì)雙變量函數(shù)的掌握程度直接影響到了他們最終的高考數(shù)學(xué)成績。因此，作為一名高中數(shù)學(xué)教師，對(duì)雙變量函數(shù)問題進(jìn)行深入的研究和細(xì)致的講解已經(jīng)變得尤為重要了。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);雙變量;函數(shù)問題

在高中數(shù)學(xué)新課程中明確要求，學(xué)生除了要具備最基本的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能之外，還要有較強(qiáng)的整體數(shù)學(xué)思維和邏輯意識(shí)。而雙變量函數(shù)問題有著較強(qiáng)的綜合性，它既是對(duì)導(dǎo)數(shù)相關(guān)內(nèi)容的應(yīng)用，又是對(duì)不等式內(nèi)容的探討。因此，雙變量函數(shù)問題對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和數(shù)學(xué)思維有著較高的要求。筆者在本文通過結(jié)合自身的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)對(duì)雙變量函數(shù)問題進(jìn)行了深入的分析，并且對(duì)雙變量函數(shù)習(xí)題進(jìn)行了解析，希望能夠?qū)鉀Q這類數(shù)學(xué)習(xí)題提供一些有價(jià)值的幫助。

雙變量函數(shù)問題，是指某一函數(shù)的表達(dá)式在其定義域的范圍之內(nèi)除了有一個(gè)自變量以外，還含有一個(gè)未知的常數(shù)，求出該函數(shù)在其定義域范圍之內(nèi)的單調(diào)性，并且證明在某一個(gè)特殊點(diǎn)（極值點(diǎn)或者是零點(diǎn)等）恒成立的問題。

雙變量函數(shù)問題常常會(huì)以壓軸大題的形式出現(xiàn)在學(xué)生眼前，他們由于本身的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)不夠扎實(shí)，數(shù)學(xué)解題經(jīng)驗(yàn)不夠豐富，而對(duì)這類型的函數(shù)習(xí)題產(chǎn)生了無從下手的感覺，甚至是產(chǎn)生出了放棄的想法。但是它所占的分值較大，對(duì)學(xué)生的整體高考數(shù)學(xué)成績有著不可忽視的影響。因此，高中數(shù)學(xué)教師在實(shí)際的教學(xué)過程中可以對(duì)雙變量函數(shù)問題的解題思路進(jìn)行有條理的總結(jié)，并且對(duì)學(xué)生加強(qiáng)鍛煉，以此促使學(xué)生可以輕松拿下該類型的數(shù)學(xué)習(xí)題。

雙變量函數(shù)問題的解題思路可以分為兩個(gè)部分進(jìn)行總結(jié)：

第一部分，就是第一小問，往往都是討論某一函數(shù)的單調(diào)性。先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，并且將所求出的導(dǎo)函數(shù)進(jìn)行化簡和整理，使其轉(zhuǎn)變成多項(xiàng)式乘積的形式。然后再令剛剛化簡的導(dǎo)函數(shù)表達(dá)式等于零，求出其中未知數(shù)的值。最后，再在不同的區(qū)間對(duì)進(jìn)行分類討論，經(jīng)過分類討論之后，最終得到第一小問的最終答案。

第二部分，也就是第二小問。先利用函數(shù)在特殊點(diǎn)（極值點(diǎn)或者零點(diǎn)等）處的特殊數(shù)量關(guān)系，并且結(jié)合習(xí)題所給出的等式或者結(jié)論進(jìn)行判斷之后，得到和之間的數(shù)量關(guān)系，接著，再用所得出的結(jié)果，或者是用換元法替換得出另一個(gè)新的函數(shù)。然后，再對(duì)新得到的函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，并且討論得出該函數(shù)的單調(diào)性，得到關(guān)于和這兩者之間的不等式關(guān)系，即得到第二小問的最終答案。

需要注意的是，教師要向?qū)W生特別強(qiáng)調(diào)一點(diǎn)，雙變量函數(shù)問題并不是一成不變的，所以學(xué)生在采取以上解題思路時(shí)，應(yīng)該根據(jù)實(shí)際的習(xí)題將其進(jìn)行靈活的改變，最終得到正確的答案。同時(shí)，教師也要注意為學(xué)生選擇不同類型的雙變量函數(shù)問題，有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生形成更加靈活的雙變量函數(shù)思維，這樣可以有效避免學(xué)生形成思維定勢，讓學(xué)生在面對(duì)不同類型的雙變量函數(shù)問題時(shí)，依然可以做到輕松自如。

例如，教師可以為學(xué)生選擇歷年的高考數(shù)學(xué)題：已知函數(shù)。①討論的單調(diào)性;②若函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，證明。

①解：先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，即，。接下來就需要分類討論：當(dāng)，函數(shù)單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí)，函數(shù)在和時(shí)遞減，在時(shí)單調(diào)遞增。

②根據(jù)①可以得出，且。那么，將該式整理和變形之后就可以得到。所以題目中的式子就可以變成，。若是想要證明出，將其進(jìn)行變形得到，那么就變成了只需要證明。假設(shè)，再次變形，我們就只需要證明出。而又因?yàn)椋钥梢曰啚椤Ａ睢８鶕?jù)①可知，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以可以得出，所以成立，所以是成立的。

分析：這道高考數(shù)學(xué)題中的這兩者之間存在的數(shù)量關(guān)系，所以可以通過換元法消掉其中的一個(gè)未知變量，使其變成一個(gè)一元的函數(shù)問題。而經(jīng)過這樣的轉(zhuǎn)換之后，該問題的解決難度就會(huì)得到相應(yīng)的降低，也就變得迎刃而解了。該類型的雙變量函數(shù)問題最近經(jīng)常出現(xiàn)，它不但考查了學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握程度，而且還考查了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用。總體來說，雙變量函數(shù)問題的解題難度較大，對(duì)學(xué)生的整體有著較高的要求。

雙變量函數(shù)問題最鮮明的一個(gè)特點(diǎn)就是有兩個(gè)變量，而當(dāng)這兩個(gè)變量都發(fā)生改變的時(shí)候，學(xué)生往往不知道該將其中的哪一個(gè)變量看作是函數(shù)的自變量，這也就導(dǎo)致他們無法進(jìn)行下一步的分析和思考。因此，高中數(shù)學(xué)教師要注意為學(xué)生總結(jié)更多的雙變量函數(shù)問題解題思想，像改變“主變量”思想、指定“主變量”思想、化歸為值域或者最值思想、整體代換思想等等。同時(shí)也要注意為學(xué)生選擇相應(yīng)的高考習(xí)題，讓學(xué)生熟練應(yīng)用雙變量函數(shù)問題解題思想的同時(shí)，還能讓學(xué)生提前接觸和了解高考數(shù)學(xué)題。

綜上所述，有效提高學(xué)生解決雙變量函數(shù)問題的能力并不是一蹴而就的，而是一個(gè)漫長而又艱難的過程。因此，高中數(shù)學(xué)教師在實(shí)際的教學(xué)過程中要注意向?qū)W生講解更多的解題思路，并且加強(qiáng)對(duì)他們的訓(xùn)練，使他們可以自主歸納和總結(jié)雙變量函數(shù)問題的解題經(jīng)驗(yàn)，以此促使學(xué)生的高考數(shù)學(xué)成績可以得到更好的保證。

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（河南省駐馬店市西平縣高級(jí)中學(xué)）