凸顯建模思想　開展有效教學

王紅美

【摘 要】數學建模是中學數學教學的一條主線，本文列舉大量案例，從建模問題精選、抽象本質、建模滲透、變換應用幾個方面進行分析研究，以幫助學生明確建模在初中數學學習中的重要意義，學會從實際問題中獲取信息，正確建立數學模型。在初中數學課堂中引入數學建模思想，能夠提高課堂教學效率，提升課堂教學的有效性。

【關鍵詞】初中數學;建模思想;滲透方法

【中圖分類號】G633.6? 【文獻標識碼】A? 【文章編號】1671-8437（2021）34-0094-03

初中生身心已發展到一定水平，初中教學的根本目標是讓學生把已學的知識應用于解決生活中的實際問題。而遇到實際問題時，學生往往會束手無策。數學建模思想具有思路清晰、邏輯推理嚴格、簡潔規范、化難為易等特點，在初中數學教學實踐中凸顯建模思想，既能克服傳統教學過分地把知識“純粹”化，還可以幫助學生解決實際問題[1]。本文列舉大量案例，從四個方面分析研究，以讓學生領會建模思想，培養學生的數學思維和應用意識，從而提升學生的核心素養。

1? ?數學建模的意義

數學建模以學生為中心，以問題為主線，以培養能力為宗旨來組織教學工作。數學教學強調的是培養學生獲取新知識的能力，強調創造一個良好的環境激發學生學習的欲望，培養他們的自學能力和創新能力。建模與教學既交叉滲透又連環互動，相互促進，相輔相成[2]。模型的建立流程如圖1所示。

2? ?初中數學教學中滲透建模思想的方法

2.1? 精選問題——形成建模的土壤

問題選取十分重要，既要能激發學生對數學的學習興趣，又要具有代表性和典型性。

2.1.1? 模型選取，提供現實原型

提供具有現實原型的模型，能夠讓學生進一步加深對模型的認識，從而深化對數學問題的理解。

【課例1】①在學習數軸的概念時，選取生活中的溫度計作為引入。②引入軸對稱圖形時，展示京劇臉譜、漂亮的蝴蝶等圖片，并且進行翻折操作。在引入旋轉對稱圖形時，可以展示五角星、電風扇、螺旋槳、太極圖案等圖片，并進行旋轉;在引入中心對稱圖形時，可以繼續展示太極圖案，并進行旋轉。

在上述兩個案例中，通過學習數軸、軸對稱圖形引導學生分析日常生活中常見的事例，能夠使得學生在充分理解問題的基礎上聯想到相關概念，從而形成良好的建模土壤。

2.1.2? 案例引入，選取日常事例

初中數學強調的是基礎，只要平時打好基礎，學生的數學成績就不會差。

【課例2】“有理數的加法教學”。具體教學過程是：利用數軸給出結果→分析法則的特點→應用結果→學生練習→歸納小結。

教師可選取日常生活中的事例，幫助學生理解該知識點。如可以象棋比賽為例，贏的記為“+”，輸的記為“?”，讓學生列出小王上午輸贏的各種可能、小王下午輸贏的各種可能、小王一天輸贏的可能等。

利用學生身邊熟悉的生活事例創設情境，能夠激發學生的興趣，激活學生的思維，學生自然能夠牢固地建立加法法則這個數學模型。

2.1.3? 有效推導，經歷問題情境

數學建模思想的滲透要讓學生自己經歷問題情境。教師在教學中應讓學生自行推導、自行驗證、自行經歷建模的過程。

【課例3】2018年下學期八年級期末復習，“一次函數”中給出兩個變量以及一組數據，要求學生建立變量之間的函數關系，讓學生親身經歷描點、連線，大概知道一次函數圖象的形狀，描點觀察圖象特征以判定函數的類型。如表1，生物學家測得7條成熟的雄性鯨的全長 y和吻尖到噴水孔的長度x的數據，能否用一次函數表達這兩個變量x與y的關系？如果能，請求出這個函數解析式。

該課例遵循了研究數學知識的一般思路，將生活中遇到的問題抽象成數學問題，通過建立基本的數學模型解決生活問題。

2.2? 抽象本質——形成建模的關鍵

教師要引導學生從不同的層次認識概念，以此把握概念本質，幫助學生建構完整的概念域。教師可以大量感知材料，抽象出問題共性，從而引出本質特征。

2.2.1? 多維揭示，挖掘概念深度

【課例4】絕對值概念。

層次1：|a|表示數軸上a到原點的距離。

層次2：當a>0，|a|=a;當a=0，|a|=0;當a<0，|a|=?a。

層次3：|a?b|表示數軸上a到b的距離。

層次4：當a?b>0，|a?b|=a?b;當a?b=0，|a?b|=0;當a?b<0，|a?b|=b?a。

層次1緊緊抓住絕對值概念;層次2從代數的角度對絕對值的符號進行了確定;層次3、4進一步對概念進行了延伸;層次5把絕對值看成了算術數，學有余力的學生可以對其進行理解掌握。

2.2.2? 多重變式，發散學生思維

從一個知識點切入進行變式題組訓練，能幫助學生舉一反三，觸類旁通。相關的題目放在一起，可以發散學生思維，同時增強學生的數學敏感性。

【課例5】如圖2，在Rt?ABC中，∠C=90°，若AB=13，BC=12。

（1）請求出∠A的正弦、余弦和正切的值。

（2）請求出∠B的正弦、余弦和正切的值。

（3）觀察前兩問中的計算結果，你發現了什么？

已知兩邊可求出第三邊，通過三角函數的概念得出它們的值，意在讓學生熟悉概念。若將已知邊長的條件改為兩邊之比，或已知一個三角函數，是否也可以求出其余的三角函數呢？通過同類型的一系列變式，能使學生真正理解三角函數的概念。

2.2.3? 一題多解，抓住例題核心

教學過程中，教師要引導學生明白，從不同的角度思考一個問題，就會有不同的解決方法，會呈現出不同的思維方式。

【課例6】直線y=kx+b（k≠0）經過定點A（?4，3），與x軸負半軸交于點C，與y軸正半軸交于點B，求SABOC的最小值。

此題是課本習題的改編，解題方法有面積法、截距法、三角函數、構造相似、翻折、旋轉、不等式等多種方法。這一題可以使學生理解圖象過定點的意義，理解含參函數的特征，真正體會一題多解的價值，從而有效建模。

2.3? 思想滲透——形成建模的靈魂

教師在教學過程中應注重對學生數學思維的訓練，既要讓學生理解題目的本質，還要突出一題多解，一題多變，從而提升學生的建模能力。

2.3.1? 直接運用，直指數學本質

一題多解是有效提升學生學習興趣的方法，能夠拓寬學生的視野，對學生學習信心的培養和數學素養的提升都有積極意義。

【課例7】已知?ABC中（如圖3）P點是∠ABC和∠ACB的角平分線交點。若∠ABC=50°，∠ACB=70°，則∠BPC=________ 。

角平分線是比較抽象的一條線，也是三角形中重要的一條線。直接運用角平分線的關系能夠深入挖掘出幾何圖形的特征，找尋其內在關系。

2.3.2? 適當改編，蘊含認知沖突

一題多變，可以增強學生思維的靈活性。以上題為例，學生基本掌握角平分線的性質之后，教師可根據學生的認知規律，引導學生找出這類題證明方法的共同點和不同點，從而幫助學生理解知識點間的關聯性，使學生的思維完成從低階到高階的轉化，進而構建相關的數學模型。

改編1：已知?ABC中（如圖3）P點是∠ABC和∠ACB的角平分線交點。若∠A=60°，則∠P=_____。

改編2：已知?ABC中（如圖3）P點是∠ABC和∠ACB的角平分線交點。若∠A=α，則∠P=________。

改編3：已知?ABC中（如圖4）P點是∠ABC和∠ACB的外角角平分線的交點。若∠A=α，則∠P=__________。

改編4：已知?ABC中（如圖5）P點是外角∠CBF和∠BCE的角平分線交點。若∠A=α，則∠P=__________。

改編5：已知BC=3（如圖6），∠ABC和∠ACB的角平分線交點為O，OE∥AB，OF∥AC，求?OEF的周長。

通過上述變式，能夠調動學生進行思考，而且讓學生總結出角平分線（兩內、兩外、一內一外）與頂角的關系，改編5還跟平行線建立了一定的聯系，其中改編3還可以拓展成一個規律題。這些改編題可鞏固并深化學生的知識系統，拓展學生思維的深刻性，促進學生有效建模。

2.4? 變換應用——形成建模的延展

引導學生將建模思想應用到實際問題中，旨在加深其對建模內涵的理解。

2.4.1? 分塊落實，搭建綜合體系

【課例8】如圖7，在Rt?ABC中∠ACB=90°，點D是邊AB上的一點，以BD為直徑作⊙O與AC相切于點E，連結DE，并延長DE交BC的延長線于點F。

（1）求證：BD=BF。

（2）若CF=2，cosB=3/5，求⊙O的半徑。

這個題目的解法就是構造直角三角形，有4種構圖法，如圖8。如果這個題目是一棵樹，那圓是主干，解直角三角形是一個樹杈，直線與圓的位置關系相切是一個樹杈，垂徑定理是一個樹杈，直徑所對的圓周角是一個樹杈。教師要引導學生對這一題型建立完善的數學模型。

2.4.2? 問題重構，挖掘內在聯系

教師要構建知識之間的內在聯系，完善學生的數學概念體系，對問題內涵和外延進行拓展，引導學生建立概念的網絡體系。

【課例9】三角函數概念課。由于特殊角30度、45度、60度的對邊與斜邊的比值學生已掌握，根據類比此比值，還可以得出其余的邊之比，因而得出三類三角函數，如圖9所示。

3? ?初中數學建模思想滲透的建議

3.1? 給學生足夠的思考時間

建立模型是滲透模型和運用模型的核心環節，構建模型的能力也因人而異。教師要引導學生通過觀察、分析、思考更為一般的模式表達，給予學生足夠的思考空間，讓學生交流討論，形成建立模型的基本思路[3]。

3.2? 讓學生多閱讀

抽象出問題的本質，不僅需要培養學生的建模思想和建模意識，而且還要培養學生從問題中把數學信息抽象出來的能力，引導學生理順各種數據間的關系（可通過畫圖或者列表格等方式）。

3.3? 引導學生分解難點

教師要引導學生將問題轉化為模型，將問題簡單化，同時讓學生了解問題的類型，建立問題的所屬模型，以此培養學生的建模意識。

數學建模思想的滲透是一個長期的過程，還有待更多的課堂實踐驗證，有待更加客觀的統計手段來說明其有效性。在后續研究中，還需要進一步說明調查樣本的全面性、樣本因素的顯著性，從而使調查結果更有普遍性。

【參考文獻】

[1]王新.初中數學函數教學中滲透模型思想的研究[D].桂林：廣西師范大學，2017.

[2]侯揚揚，侯亞林.探析數學建模在中學數學教學中的應用[J].企業導報，2011（22）.

[3]李靜宇.高中生數學應用意識調查研究[D].長春：東北師范大學，2011.

【作者簡介】

王紅美（1983～），女，漢族，浙江紹興人，本科，中學一級教師。研究方向：初中數學教學。