核心素養視域下高中數學教學中學生逆向思維的培養策略

摘 要：逆向思維是重要的數學思維方式之一，其直接關系到學生數學素養的形成與發展，且對改善學生數學解題能力、知識內化質量均具有積極作用.但是，一些高中數學教師忽視了對學生數學思維能力、逆向思維意識與能力的培養與訓練，進而導致學生在解題時采用正向思維方式而增加了解題難度，且對學生數學思維、數學素養的形成造成了不利影響.因此，本文就基于核心素養視域下培養高中學生數學逆向思維意識與能力的方法進行系統詳述.

關鍵詞：逆向思維;核心素養;高中數學;培養策略

中圖分類號：G632????? 文獻標識碼：A????? 文章編號：1008-0333（2021）36-0002-02

高中階段是學生思維發展的關鍵時期.數學知識之間往往存在著一定的邏輯性，且具有高度的抽象性，這對學生對數學知識體系的理解帶來了較多的阻礙.高中學生必須要具備較高水平的邏輯思維能力以及逆向思維應用意識與能力，進而才能幫助學生在數學學習活動中不斷完善自身的數學思維能力，并借助逆向思維的應用來提高解決問題的能力.因此，高中數學教師必須重視學生逆向思維能力的培養，為改善其數學思維、促進數學素養的形成提供保障.

一、基于數學概念教學，培養學生逆向思維意識

高中數學教師在概念教學時多以講授方式為主，此類傳統式的教學既會降低學生對數學概念、數學理念知識理解效率，還會影響到學生數學思維、數學素養的形成.同時，學生數學學習時，其會在長期的數學知識學習、理解以及解決數學問題過程中逐步形成自己的定勢思維方式，一旦某些條件、概念發生變化時，學生仍會采用原有的定勢思維方式來解決數學問題，這既會影響學生概念理解質量、解題能力與效率，還會阻礙學生數學素養的形成.若學生具備了良好的逆向思維能力則會有效改善、提升學生解決問題能力.因此，數學教師應在教學中有意識、有針對性地培養學生的逆向思維能力，使學生具備良好的逆向思維意識與能力，進而達到提高其數學“學”、“踐”能力，并對促進學生數學素養的形成與發展奠定基礎.

在高中數學概念中存在著大量的“相反性”的數學概念，而在此類概念教學中，教師則可以引導學生基于“正向性”的數學概念采用逆向思維方式進行思考與學習，使學生能夠進行逆向思考與分析，以培養學生能夠從不同角度、逆向進行深度學習，以提高學生對“相反性”數學概念的理解.如在《反函數》概念教學時，教師可以引導學生基于“函數”概念的基礎上進行逆向思維，在逆向思維的過程中將“正、反函數”的圖像、概念進行對比，找出兩者不同點，這對加速、加深學生對‘反函數概念的理解具有積極的作用，同時，也達到了培養學生逆向思維的目的.再如，教師在《映射》概念教學時，教師也可以開展逆向思維訓練.教師可以將“A→B”概念作為“集合A→集合B”的映射，并鼓勵學生甄別、找出集合A、集合B中各個元素間存在著哪些對應關系.當學生完成自主思考后，教師可利用逆向思維訓練法引導學生進行逆向思考：假設集合A中不存在其他剩余元素，且各個元素均與集合B中的元素對應，且有唯一的象，此時，集合B中剩余元素沒有在集合A中發現相對應的原像，進而得出：一對一、多對一的結論.此類逆向思維的教學與訓練，既可以強化學生對“映射”概念的理解，還可以培養學生逆向思維的應用意識與能力，同時，也能夠提升學生解決數學問題的靈活性，為改善學生思維方式、解決問題能力奠定基礎.

二、基于公式活用教學，培養逆向思維應用能力

數學公式是解決數學問題的重要基礎.因此，學生必須要熟悉、理解相應的數學公式，并能夠靈活運用數學公式，進而才能提高學生解題能力與效率.由于數學公式具有極高的抽象性，學生在數學公式的應用時必須要具備正向理解與應用公式的能力，還要掌握逆向應用公式的能力，進而才能促使學生在解題過程中能夠通過逆向思維來靈活運用公式，促使學生在活用公式的過程中潛移默化地提高了自己的逆向思維應用能力，為促進其數學思維、數學素養的形成提供保障.

如在“升冪公式”、“余弦變正弦公式”等基礎公式的應用中，教師可以鼓勵、引導學生對上述公式逆向推導，并得出“降冪公式”、“正弦變余弦公式”，此類公式的逆向推導，既可以強化學生對上述公式的理解與應用能力，還可以達到對學生逆向思維應用意識與能力的鍛煉目的.另外，教師也要結合相應的數學公式開展逆向思維的應用訓練，以培養、改善學生逆向思維應用意識.再如，教師可以借助習題來培養、訓練學生公式逆用的能力與技巧，如題：cosθ=3/4，那么sin4θ+cos4θ的值是多少？”該習題，可以采用正向思維方式進行解答，即將所求條件進行公式變化得出：（sin2θ+cos2θ）2-2sin2θcos2θ=1-2sin2θcos2θ=1-1/2sin22θ，并算出結果.同時，教師可以鼓勵學生利用逆向思維進行思考，即利用二倍角公式進行轉換，并利用sin4θ+cos4θ=（sin2θ+cos2θ）2-2sin2θcos2θ公式計算出最終結果.該方法的應用，則是通過關注已知條件的轉換及相關公式后，再代入數值即可.學生在上述逆向思維的學習與鍛煉過程中不斷改善、提升自身逆向思維在解題應用中的能力與靈活性，最終為提高解題能力提供了保障.

三、基于解題訓練教學，提升逆向思維應用技巧

通常情況下，學生在解題時多會采用定勢思維方式，并運用正向解題方法進行解題.因此，數學教師在課堂教學（或是習題解析）中培養學生逆向思維時，不要停留在課堂的講授活動中，而是要通過各類數學解題實踐來改善、培養、提升學生逆向思維運用意識與技巧，使之能夠逐步形成“正難則反”意識，在具體的解題時進行正、逆思維的靈活應用，這對發展學生數學思維與核心素養、培養其逆向思維能力等均具促進作用.

如方程（b+2）x2-8x+b=0中，b為何值時，該方程的根至少有一個是正實數.學生在解題時，若運用正向思維則解題過程復雜，也易導致學生出現一些不必要的錯誤;若學生運用逆向思維解題時，教師只需引導學生考慮：“在何種情況下，a會存在兩個負根的可能性”，以此來降低該習題的難度，使學生能夠順利得出正確的結果.另外，教師還可以借助反證法來培養學生逆向思維能力、提升其利用逆向思維解決問題的技巧.反證法就是要引導學生假設想要證明的結論是錯誤的、不成立的，并運用數學邏輯思維、既有數學知識推導出相反的結論.教師在指導學生利用反證法進行解題時，要針將原命題提出的問題改為逆否命題，將其作為自己的解題思路，利用相應的公式、定理進行推理，得出該命題是否具有正確的邏輯性，并判斷出該命題是否成立.反證法的應用，既可以有效改善、提升學生逆向思維能力，還會在學生解題實踐中逐步養成逆向思維的良好習慣，并在各種解題、習題糾錯或是習題解析活動中不斷進行自我反思，為提升自身逆向思維應用技巧奠定基礎.如題：“已知一個整數的平方是偶數，求證該整數也是一個偶數.”在解題時，教師可讓學生嘗試利用正向思維解題，當學生遇到困難或是無法解決該題時，則可引導其利用反證法進行解決.首先，可“假設整數為奇數”，即設定該整數為“2k+1，且k∈Z”，學生則會得出解題思路：（2k+1）2=4k2+4k=1.此時，學生可以準確判斷該結果是非偶數，得出該假設不成立的正確結果.再如習題：a+b+c>0，ab+bc+ac>0，abc>0，求證a>0、b>0、c>0.解題時，教師仍可以先讓學生嘗試運用正向思維法進行解題，學生在正向解題時往往無法找到解題的切入口，且出現思維混亂、無序等問題.因此，教師可以鼓勵學生利用反證法進行解題，即假設該結論的反向是對的，并基于現有的已知條件、相關定理完成相應的推理工作.此時，學生會得到一個與事實相違的結論.這就說明：“原結論的假設不成立”反而言之，原結論是正確的、成立的，進而提高了學生解題效率.此類利用解題教學培養逆向思維的策略，既可以達到培養學生逆向思維的目的，還可以有效改善、提高學生解決問題能力.

高中數學教師在教學實踐中必須要重視學生逆向思維的重要性及其在數學學習與實踐的應用價值，同時還要幫助學生認識到逆向思維與正向思維整合應用的重要性.因此，教師在概念教學、公式教學、解題練習或是錯題糾錯等教學活動中均應合理地融入相應的逆向思維訓練內容，幫助學生能夠在數學學習、解題或是其他實踐應用活動中不斷進行逆向思維的鍛煉，使學生能夠在數學“學”、“踐”過程中不斷提高自身逆向思維的應用意識與能力，為改善、提升其數學素養提供保障.

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[責任編輯：李 璟]

收稿日期：2021-09-25

作者簡介：趙秀芹（1982.1-），女，江蘇省沭陽人，本科，中學一級教師，

從事高中數學教學研究.