基于問題導向的極大線性無關組教學設計研究

【摘要】以線性代數(shù)中的極大線性無關組教學為例，通過實際生活中的例子引入，從提出問題、分析問題到解決問題的全過程，展示了對極大線性無關組的概念、性質(zhì)和求法的問題導向型教學設計案例，讓學生充分體會到線性代數(shù)在實際生活中的應用.

【關鍵詞】線性代數(shù);極大線性無關組;教學設計;問題導向

1 引 言

問題導向型教學設計是最直接有效的一種教學設計模型，在現(xiàn)實的教學操作中也廣為教學設計者們喜愛，它清楚明白地展示了如何運用知識解決實際問題，對于像線性代數(shù)這種抽象的理論十分適用且效果顯著.本節(jié)教學設計以培養(yǎng)學生的核心素養(yǎng)為總目標和指導思想，激發(fā)和培養(yǎng)學生的數(shù)學素養(yǎng)，以情境式教學和探究式教學為主要形式，注重與學生的生活實際相結(jié)合.以當下熱門的社會現(xiàn)象為課前引入，激發(fā)學生的興趣，使他們積極探討問題背后的數(shù)學知識，最終解決實際問題.從生活中來作開頭，到生活中去作結(jié)尾，讓學生充分體會線性代數(shù)在實際生活中的應用.

2 極大線性無關組的教學背景

2.1 教材分析

教育部高等學校大學數(shù)學課程教學指導委員會頒布的《大學數(shù)學課程教學基本要求》對本節(jié)內(nèi)容的要求為：了解向量組的極大線性無關組的概念，會求向量組的極大線性無關組.

本節(jié)內(nèi)容位于線性方程組這一章中，向量組的秩這一小節(jié).向量是線性代數(shù)的重要內(nèi)容，對研究線性代數(shù)的中心內(nèi)容——線性方程組起到了至關重要的作用，而充分理解向量組的極大線性無關組這一概念，才能理解向量組的本質(zhì)和內(nèi)部關系，同時為后面理解線性方程組解的結(jié)構(gòu)和掌握線性方程組的求解方法打下基礎.另外，極大線性無關組的常用求法是利用第二章矩陣的初等變換，因此，本節(jié)內(nèi)容對于線性代數(shù)前后知識的關聯(lián)、融合十分重要，學好本節(jié)知識有利于學生將全部線性代數(shù)內(nèi)容形成一個體系.

2.2 學情分析

學生在學習本節(jié)知識之前，已經(jīng)學習了向量組的線性相關性和矩陣的初等變換，在線性無關的基礎上，本節(jié)內(nèi)容的關鍵就是理解“極大”這兩個字的含義，另外，極大線性無關組的不唯一性是一個難點，這對理解極大線性無關組的本質(zhì)和作用將是一個障礙.這一障礙是通過引入具體的向量組例子和導入環(huán)節(jié)中導入現(xiàn)實生活中實際的例子來解決的，從而幫助學生理解不唯一性這一難點.

2.3 教學目標

1.知識與技能：理解極大線性無關組的概念，了解極大線性無關組的性質(zhì)和作用;掌握利用矩陣的初等變換求向量組極大線性無關組的方法.

2.過程與方法：通過觀看圖片和視頻，讓學生增強從生活中發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的意識;通過現(xiàn)實生活中的例子和極大線性無關組的數(shù)學概念，使學生學會理論聯(lián)系實際的方法;通過拋棄“多余”向量，讓學生體驗數(shù)學中化繁為簡的思想方法;通過問題從引入到分析再到解決的全過程，教會學生從實際問題中建立數(shù)學模型，并應用數(shù)學理論知識解決問題的本領.

3.情感、態(tài)度與價值觀：通過參與發(fā)現(xiàn)問題到最終解決問題的全過程，讓學生充分領略數(shù)學的魅力和價值;通過引導學生對極大線性無關組概念的理解和性質(zhì)的推導，培養(yǎng)學生主動思考、積極探究、不怕困難的精神和態(tài)度;通過對熱門的社會現(xiàn)象的思考，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識和綜合素養(yǎng).

以上三種目標不是獨立存在的，是在教學過程的每一步中有機地統(tǒng)一在一起，相輔相成的.

2.4 教學重、難點

教學重點：用初等變換求極大線性無關組.

教學難點：對極大線性無關組不唯一性的理解，對極大線性無關組的性質(zhì)和作用的理解.

2.5 教學策略

本課程通過對社會現(xiàn)象的討論引入實際案例，為解決問題而開啟數(shù)學理論知識的學習.課程在設計中注重：1.從學生的生活體驗出發(fā).學生是體驗的主體，生活是體驗的情境.2.以問題為中心，帶著問題走進教材，靠著解決問題走進生活.以情境式和探究式為主要的學習方式貫串始終.

2.6 教學手段

在引入問題環(huán)節(jié)，教師通過展示圖片和視頻增加直觀性和趣味性;再通過提問引發(fā)學生思考;通過PPT來展示定義和例題;通過板書的形式來展示性質(zhì)的推導和具體計算，這樣一步步的推導體現(xiàn)了數(shù)學的嚴謹性.

3 極大線性無關組的具體教學過程

完整的教學過程可簡單地用流程圖表示如下：

教學過程具體可分為如下的步驟：

1.導入環(huán)節(jié)

描述現(xiàn)象——首先觀看一段網(wǎng)絡熱門搞笑視頻：生活中，商家的促銷手段可謂五花八門，令人眼花繚亂，尤其是近些年來電商的蓬勃發(fā)展，你一定也經(jīng)歷過各種購物狂歡節(jié)中煩冗復雜的規(guī)則和套路，有網(wǎng)友吐槽“領到了購物津貼你就領到了數(shù)學試卷”.

提出問題——面對“精明”的商家，我們怎樣才能不被套進去，做一個“精明”的消費者？

建立模型——某商家打算用5種成分來制造多種谷物營養(yǎng)餐，下表列出了6種營養(yǎng)餐A，B，C，D，E，F(xiàn)每份所需各成分的量（以每10克為單位）.

顧客要想得到全部的營養(yǎng)，當然購買全部的6種營養(yǎng)餐即可，然而是否可以少花些錢，只買其中的一部分，就能搭配出全部的營養(yǎng)餐呢？為了獲得全部的營養(yǎng)，需要購買最少的營養(yǎng)餐種類是哪幾個？

引出主題——向量組的極大線性無關組.

2.講授環(huán)節(jié)

（1）為解決問題，給出線性代數(shù)中極大線性無關組的定義，并對定義進行分析.

（2）對于極大線性無關組，我們要研究的問題分為四部分：存在性、唯一性、性質(zhì)和作用，如何求？對這四部分一一展開討論.具體來說，按照定義通過對向量組α1=1

0線性相關性的探討，得出結(jié)論——非零向量組的極大線性無關組一定存在，若整個向量組線性相關，則極大線性無關組不唯一，這同時解決了存在性和唯一性兩個問題.通過對定義的分析，可以推導出極大線性無關組的性質(zhì)和作用——與原向量組等價，因而在討論時可以代替原向量組，不必考慮多余的向量，使問題簡化.通過向量與矩陣的聯(lián)系，啟發(fā)和引導學生發(fā)現(xiàn)極大線性無關組的常用求法——轉(zhuǎn)化為矩陣問題，利用矩陣的初等變換解決問題.

3.鞏固環(huán)節(jié)

利用剛得到的極大線性無關組的求法，對導入環(huán)節(jié)中的案例進行推導計算，6種營養(yǎng)餐可看作6個向量，求出這6個向量組成的向量組的極大線性無關組，它可以表示所有的向量，因而可以配出全部的營養(yǎng)餐，滿足全部的營養(yǎng)成分，問題得到解決.

4.小結(jié)環(huán)節(jié)

在社會現(xiàn)象中思考，經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題的過程，最終利用數(shù)學知識解決問題.

相關的知識點有：極大線性無關組的定義、存在性、唯一性、性質(zhì)、作用、求法.其中的重點是極大線性無關組的求法.難點是對極大線性無關組不唯一的理解及對性質(zhì)和作用的理解.

4 教學反思

線性代數(shù)中高維的向量是純理論的概念，沒有幾何表示，因而極具抽象性.本節(jié)教學設計通過實際生活中大家都會遇到的典型例子，讓學生對線性代數(shù)這一抽象的概念有一個具體的認識.網(wǎng)絡上熱門的搞笑視頻在課程一開始就抓住了學生的眼球，增強了課堂的趣味性，也容易讓學生產(chǎn)生共鳴，從而使學生自然而然地提出問題，引發(fā)思考.

極大線性無關組是向量的重要概念，相關的計算也是關于向量的重要運算.矩陣的初等變換貫串整個線性代數(shù)的始終，更是極其重要的，也是學生必須要熟練掌握的一種計算方法，在教學中要通過實例重點講解和練習它.對于極大線性無關組的不唯一性這一難點，通過三維向量的簡單實例予以解釋說明.

從生活中來到生活中去的完整過程，展現(xiàn)了數(shù)學建模的思想和發(fā)現(xiàn)問題、分析問題到解決問題的全過程，有助于培養(yǎng)學生的自主思考意識，提高學生的核心素養(yǎng).

【參考文獻】

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