提高初中數學解題質量的有效策略分析

李佳彬

【摘要】在新課程標準背景下，培養學生學科思維以及核心素養已經成為教育者們的普遍共識.數學是義務教育階段的基礎性學科，也是學生們學習高階數學知識的前提.教師在培養學生數學應用能力的過程中，探索提高數學解題質量的方法極具重要意義.下文將重點介紹轉化思想、逆向思維類比思想、函數方程思想在初中數學解題中的應用，以提升初中數學教學質量，以供參考.

【關鍵詞】初中數學;解題策略;實施路徑

一、轉化思想在初中數學解題中的應用

（一）轉化思想在數形轉化之間的應用，讓抽象試題直觀化

數與形一直都是初中數學學習的重要內容，初中階段的學習為后續進行高階學習奠定基礎.數形轉化思想能讓抽象思維與形象思維無縫結合，利用“以數解形”以及“以形助數”的方式讓抽象問題直觀化，為學生掌握數學本質奠定基礎，同時也能夠幫助學生厘清解題思路，提高解題的針對性以及準確性[1].

例1如果a的絕對值為3，那么a的值為多少？

解析按照數形轉化思想，該題可以通過數軸解決.結合數軸，學生對絕對值的概念會更加清晰.隨后教師進一步引導學生按照此邏輯解下面例題：在坐標（x，4）中，如果x的取值分別為0、1、2、3、4、-4、-3、-2、-1，那么其對應的點都在同一直線上嗎？所得直線和x軸存在怎樣關系？此題乍看較為抽象，但是我們依照題意將對應的點標在坐標系中，這一抽象問題也迎刃而解了.

（二）轉化思想在函數和方程之間的應用，化繁為簡

新課程標準明確指出：學生應該具備解答簡單函數以及方程式的能力.由于方程以及函數性質較為復雜，學生在解此類題目時往往會出現明顯錯誤.所以教師在引導學生解此類題目時，應該運用轉化思想，將函數和方程相互轉化，增強學生應用轉化思想的能力.

例2已知一次函數y=-x+2與反比例函數y=-8x相交于A、B兩點，求A、B兩點的坐標.

解析根據題設條件，可做如下轉化：

由于兩個函數圖像相交于A、B兩點，這意味著相交點A、B同時位于兩個函數上，因此可以聯立方程組，最終求解得到兩個相交點的坐標.這個過程意味著可以將函數轉化成為解方程組，即y=-x+2和y=-8x，通過解二元一次方程組得到對應的坐標.

二、逆向思維在初中解題中的應用

逆向思維又被稱作反向思維，其核心在于做傳統方式相反的思考.逆向思維的明顯特點為新穎性、普遍性以及批判性，這一數學思維方式廣泛存在于日常生活以及初中教學之中.在實踐工作中如果慣性思維無法解決實際問題，我們就可以利用逆向思維拓展解題思路，此方法可幫助學生提高數學學習效率[2].

（一）利用逆向思維，讓解題過程更加便捷化

在初中階段，數學知識間的關聯性逐步加深，這使得習題的難度明顯提高.如果學生在解題時使用常規解題思路受挫，就可以利用逆向思維嘗試尋找解決問題的有效方法.

例3請計算1+2+22+23+…+2n的和.

解析很明顯，如果學生按照傳統方式依次計算，在短時間并不會得出結果，此時可以借助逆向思維假設S=1+2+22+23+…+2n，如果等式兩邊同時乘一個相同數，那么原等式保持不變.所以，等式兩邊都乘以2，那么有2S=2+22+23+…+2n+2n+1，再將S=1+2+22+23+…+2n代入上式中即可快速求解.

（二）借助逆向思維推導結論

在處理幾何問題的過程中，學生會發現往往并不能通過已知條件得出結論，導致解題極為困難.在這種情況下，教師可以先引導學生借助逆向思維化解正面無法推進的情形，再從結論回推逐步分析與研究，最終證明結論.

例4如下圖，在△ABC中，E和D分別是AC邊上的點，已知AD=AB，∠DBC=∠DBE，證明：AD2=AC·AE.

解析按常規思路并結合題干條件，較難找到AD、AC以及AE之間的關系，所以我們可嘗試利用逆向思維進行突破.從求證的結論AD2=AC·AE出發，將其轉變成比例關系ACAD=ADAE，從題設條件AD=AB可得ACAB=ABAE.由此可見，只要證明△ABC與△AEB為相似三角形即可，而根據題設條件，△ABC與△AEB相似的證明條件較為充分，所以最終可以證明AD2=AC·AE.

（三）如果正面解題困難，也可以利用反例加以解決

根據傳統的解題流程，學生在審題過程中通常會應用常規、固有的思維模式，然而這一思維方式在解答部分題型時無從下手，所以在正面解題困難重重的情況下，我們可以利用舉反例的方式來改變解題流程.

三、類比思想在初中數學解題中的應用

類比思想主要指的是學生在學習新知識的過程中，調用在特征或性質上具有一定相似度的已學知識，將相似點作為學習新知識的切入點，進而加深對新知識的理解.在學習和應用新知識的過程中，學生往往無法快速解決新題型或者題目變形，不能做到觸類旁通，所以教師引導學生利用類比推理的方式將復雜的、全新的問題轉變為已學知識點，提升學生的解題效率.

例如，類比推理法在初中數學折疊問題中的應用.教師可以借助問題鏈的方式，引導學生圍繞問題及題型進行類比分析，從根本上把握解決此類問題的規律和方法.

例5如圖3，四邊形ABCD為長方形，E是CD上的一點，連接AE，并把長方形沿著AE對折，其頂點D恰好落在BC上的F點，其中AB、CE的長度分別為8和3，請計算△ABF的面積.

例6在長方形ABCD中，CD和BC的長度分別為1和3，將此長方形沿著對角線BD對折，頂點C恰好落在C′處，請計算△BED的面積.

解析教師需引導學生認真研究以上兩道例題，并讓其找出其中的相似之處.教師可向學生提出以下問題，幫助其思考和對比：

（1）在求三角形面積過程中，運用到了哪些定理和方法？

（2）結合求解過程中，你能總結出哪些規律？

（3）根據上述總結和分析，你能解決下面的例題嗎？

例7四邊形ABCD為矩形，其中AB、BC長度分別為6和8，現在把ABCD沿著CE對折，對折后矩形頂點D落在AC上的F點.請計算EF的長度以及梯形ABCE的面積.

學生帶著問題，利用類比思想以及歸納法可知，解決例5、例6，主要應用了方程、軸對稱、相似三角形以及勾股定理等知識點，其解題邏輯為借助勾股定理建立方程.學生吸收這一邏輯后，通過類比方法就可以較為快速地解決例7的問題.所以利用類比思想歸納解題邏輯對于提升學生解題效率具有明顯幫助.

四、函數方程思想在初中數學解題中的應用

函數思想與方程思想在初中數學學習中占有較大比重，學生掌握并運用函數和方程思想有助于進一步提高解題效率，并且也是學習高中數學的前提.函數思想體現了自然界中數量之間的內在聯系，最終形成數學模型[3].初中階段函數模型類型包括一次函數、反比例函數、二次函數以及銳角三角函數等.而方程思想則是將題干信息轉變為對應的數學語言，最終形成數學模型，例如方程、不等式或者混合式等，初中階段，設立未知數以及列方程都體現了方程思想.

五、結束語

綜上所述，在培養數學核心素養的大背景下，教師必須注重對學生數學思維的培養.初中數學知識關聯性較強，學生解題存在一定難度，影響解題效率.因此需要教師在教學中有針對性地滲透和應用函數方程思想、類比思想、轉化思想以及逆向思維，只有這樣才能提升學生數學思維品質，增強學生的數學解題能力[4].

【參考文獻】

[1]謝娟.淺談如何在解題教學中培養學生的審題能力[J].科學咨詢（教育科研），2020（07）：262.

[2]李惠娟.初中數學解題中隱含條件及應用分析[J].課程教育研究，2020（19）：143-144.

[3]章青欽.分析函數思維在初中數學解題中的應用路徑[J].數學學習與研究，2020（09）：140.

[4]范小建.初中數學解題思路與方法應用探討[J].才智，2020（13）：193.