構(gòu)造函數(shù)在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

覃志濤

【摘要】構(gòu)造函數(shù)是解決中學(xué)數(shù)學(xué)的重要思想，在中學(xué)數(shù)學(xué)中，學(xué)生需要分析問題的能力。為了讓學(xué)生掌握設(shè)計(jì)者的思想和方法，提高他們解決數(shù)學(xué)練習(xí)的靈活性，有必要對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)練習(xí)進(jìn)行篩選，并對(duì)課堂學(xué)生問題的解決過程進(jìn)行分析，以提高設(shè)計(jì)者的應(yīng)用意識(shí)和解決數(shù)學(xué)問題的能力。

【關(guān)鍵詞】構(gòu)造函數(shù);高中數(shù)學(xué);解題應(yīng)用;

引言

函數(shù)是高中的重要內(nèi)容，也是學(xué)生學(xué)習(xí)的一個(gè)難點(diǎn)，它貫穿于整個(gè)高中學(xué)習(xí)過程，數(shù)學(xué)中的構(gòu)造函數(shù)是指基于對(duì)數(shù)學(xué)問題的合理抽象、深入理解，以及對(duì)初高中所學(xué)過的基本初等函數(shù)的認(rèn)識(shí)，運(yùn)用一個(gè)新的函數(shù)對(duì)原函數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，以達(dá)到順利求解問題的一種方法。構(gòu)造函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)與難點(diǎn)，對(duì)于學(xué)生的分析問題和解決問題的能力要求比較高，許多學(xué)生對(duì)題目理解困難，找不到破題之處，為使學(xué)生更好的掌握這一方法，既要做好相關(guān)理論知識(shí)的講解，提高學(xué)生運(yùn)用構(gòu)造函數(shù)解題的意識(shí)，又要注重為學(xué)生展示其在解題中的具體應(yīng)用過程，使學(xué)生更好的把握相關(guān)的應(yīng)用細(xì)節(jié)與應(yīng)用技巧，在這個(gè)過程中需要滲透構(gòu)造的數(shù)學(xué)思維，并且需提升學(xué)生的運(yùn)算能力。

一、高中構(gòu)造函數(shù)的使用意義

我們知道高中教數(shù)學(xué)的難度比小學(xué)數(shù)學(xué)高得多，在大規(guī)模高考環(huán)境下，數(shù)學(xué)成為決定高考分?jǐn)?shù)的主要課程之一。為了更好地選擇人才，高考中的一般問題更加靈活，高中生必須使用適當(dāng)?shù)母拍詈涂茖W(xué)敏捷的解題方法來分析這一點(diǎn)。構(gòu)成是指通過仔細(xì)分析數(shù)學(xué)問題的特定條件，以實(shí)現(xiàn)減少問題解決復(fù)雜性的目標(biāo)，抽象復(fù)雜的分析過程以圖形或函數(shù)的形式表示。構(gòu)造函數(shù)法是用一些基本函數(shù)來表示數(shù)學(xué)問題的條件和結(jié)果之間的關(guān)系，然后根據(jù)問題的含義分析和分析函數(shù)，根據(jù)函數(shù)得到數(shù)學(xué)問題的答案。這種方法可以有效地降低教育的復(fù)雜性。但是，保證正確分析速度的條件是，要仔細(xì)分析樹干上所有條件之間的關(guān)系，然后概括這些數(shù)學(xué)條件之間的邏輯。最后，根據(jù)條件的特點(diǎn)和分析的最簡單要求，重新組合莖的條件，得到功能的正確結(jié)構(gòu)，然后根據(jù)功能和莖的邏輯完成分析，最后得到正確的結(jié)論。

二、構(gòu)造函數(shù)在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

（一）構(gòu)造函數(shù)法之高次函數(shù)構(gòu)造

使用構(gòu)造函數(shù)求解高階函數(shù)問題時(shí)，可以分析高階函數(shù)中的問題，并逐一求解小問題，以正確求解高階函數(shù)中的問題。例如，在解決相關(guān)的解決方案任務(wù)的過程中，我們可以構(gòu)造一個(gè)高階函數(shù)，這樣我們就可以有效地利用主題指定的已知條件。

問題如果當(dāng)sin3θ-cos3θ>cos5θ-sin5θ，θ∈（0，2π）的不等式關(guān)系存在時(shí)，題目中角θ的范圍值是多少？

解根據(jù)題目sin3θ-cos3θ>cos5θ-sin5θ，θ∈（0，2π）能夠知道sin3θ+sin5θ>cos3θ+cos5θ。此時(shí)，假設(shè)f（x）=x3+x5，不等式能夠成立，并且函數(shù)f（x）=x3+x5在（-∞，+∞）范圍中，屬于增函數(shù)，那么，能夠得到不等式f（sinθ）>f（cosθ）之間的關(guān)系，因此，根據(jù)上述分析能夠確定sinθ>cosθ。與此同時(shí)，由于θ∈（0，2π），所以能夠得到結(jié)果。

解決上述操作后，您會(huì)發(fā)現(xiàn)使用了構(gòu)成更高階f （x） = x3 + x5的函數(shù)的模式。在此基礎(chǔ)上，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)，對(duì)不等式進(jìn)行了轉(zhuǎn)換，以便準(zhǔn)確計(jì)算角度θ的范圍。

（二）利用構(gòu)造函數(shù)法，解決方程問題

對(duì)高中生來說，方程式并不陌生。從小學(xué)到初中和高中，等式是重要的知識(shí)內(nèi)容，也是學(xué)生學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容。高中數(shù)學(xué)方程知識(shí)較難，問題類型復(fù)雜多變，解決問題難度增大。同時(shí)，方程問題是高考必不可少的問題。我們必須重視方程數(shù)學(xué)問題的分析，提高學(xué)生解題效率，正確解答方程問題。方程的一些問題很復(fù)雜，很難獨(dú)立解決。因此，通過構(gòu)造函數(shù)法，方程問題可以轉(zhuǎn)換，求解方程問題的難度可以減小，方程問題可以得到有效解決。

例解方程：3x+4x+5x=6x。分析這個(gè)題目時(shí)，方程的形狀是特殊的，不能組合或分解。對(duì)于這類問題，根據(jù)方程和函數(shù)之間的關(guān)系構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)，明確解決問題的思路，完成方程的求解。

解原方程可以轉(zhuǎn)化成3x+4x+5x-6x=0，兩邊同時(shí)除以6x，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化成，設(shè)函數(shù)

則有f（1）=1，f（2）<1，f（3）=0，那么原方程有一個(gè)根是x=3。因?yàn)樵赗上都是嚴(yán)格減函數(shù)，所以得出函數(shù)f（x）

在R上是嚴(yán)格減函數(shù)。當(dāng)x<3時(shí)，f（x）>f（3）=0;當(dāng)x>3時(shí)，f（x）

（三）一次函數(shù)構(gòu)造的運(yùn)用

在分析需要與圖像相結(jié)合的一些基本不平等或問題時(shí)，可以先分析問題的條件邏輯，然后根據(jù)方便性的原則構(gòu)建功能，再根據(jù)功能圖像的特點(diǎn)，利用數(shù)字和圖片相結(jié)合的思想直觀地解決數(shù)學(xué)問題。這種將基本功能與圖像相結(jié)合的方法不僅可以將考慮的條件與工作執(zhí)行方式相聯(lián)系，還可以直觀地分析過程，并從圖像中導(dǎo)出，從而有助于對(duì)相關(guān)數(shù)學(xué)概念和高中生的科學(xué)和數(shù)學(xué)思想的深刻理解。為了解決數(shù)學(xué)問題，必須能夠完成數(shù)字和形狀相結(jié)合的想法的滲透形成。例如，在不等式（x2-1） n <2x-1和n < 2的基礎(chǔ)上證明了x值的范圍，首先需要將上述不等式轉(zhuǎn)換為n （x2-1）-（2x-1）< 0，然后基于這個(gè)簡化的不等式構(gòu)建線性函數(shù)，得到F。這里的應(yīng)用程序充分反映了在數(shù)學(xué)問題分析中構(gòu)造函數(shù)和使用圖形的好處，這些函數(shù)可以使用直觀的圖像來表達(dá)數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，并轉(zhuǎn)換抽象函數(shù)。從圖像的更邏輯分析看數(shù)學(xué)不等式。制作者可以有效地減少學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的困難，提高解決問題的效率，同時(shí)指導(dǎo)學(xué)生的推理，鼓勵(lì)他們定期寫簡歷，提高綜合數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

（四）利用構(gòu)造函數(shù)分析極值點(diǎn)

極值點(diǎn)問題是高中數(shù)學(xué)函數(shù)部分的常見問題.運(yùn)用構(gòu)造函數(shù)分析極值點(diǎn)問題時(shí)需要明確原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)之間的關(guān)系，通過求導(dǎo)進(jìn)行合理的轉(zhuǎn)化，眾所周知，一些原函數(shù)通過求導(dǎo)往往可轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)，而二次函數(shù)的根與函數(shù)的極值點(diǎn)相對(duì)應(yīng)，認(rèn)識(shí)到這一點(diǎn)也就不難分析出原函數(shù)極值點(diǎn)個(gè)數(shù)、極值點(diǎn)分布以及相關(guān)參數(shù)的范圍。

結(jié)束語

高中數(shù)學(xué)構(gòu)造函數(shù)思路靈活多變，難度較大，在構(gòu)建函數(shù)過程中，需要對(duì)問題仔細(xì)的分析，對(duì)函數(shù)的表達(dá)式認(rèn)真的觀察，明確解題的思路和方向，從而有效的解決數(shù)學(xué)問題。構(gòu)造函數(shù)法是高中數(shù)學(xué)解題中的一種重要方式，教師教學(xué)中既要注重不同構(gòu)造思路的講解，也要在平時(shí)的教學(xué)過程中讓學(xué)生親身體會(huì)構(gòu)造函數(shù)的具體應(yīng)用過程。同時(shí)，鼓勵(lì)學(xué)生做好解題的總結(jié)與反思，使其在訓(xùn)練中吸取經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)，不斷的提高構(gòu)造函數(shù)的應(yīng)用水平，使學(xué)生在提高解題能力的同時(shí)，發(fā)展其數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，從而實(shí)現(xiàn)綜合能力的提升。

參考文獻(xiàn)

[1]章君.解析構(gòu)造函數(shù)在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用[J].中學(xué)課程輔導(dǎo)（教師通訊），2020（24）：76-77.

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