高中生數學幾何常見錯誤分析

盧繼春

摘要：數學是高中的基礎課程，而幾何作為高中數學重要的組成部分，對學生的各項思維均提出了嚴格考驗，也成了學生心目中的最大難關。如何提升學生的幾何解題能力，是每一名高中數學教師都要思考的問題。本文從高中生幾何題目中常見的錯誤入手，首先簡要指出了現今高中數學幾何常見錯誤的類型，接下來基于作者的教學經驗和課堂實踐，針對這些錯誤，進行了分析與探討，希望能為廣大高中數學教師提供參考和幫助。

關鍵詞：高中數學;高中幾何;數學教學

引言

在高中數學中，幾何課程的占比逐年增加，在高考題目中也得到了很好的印證。幾何對學生的思維能力、理解能力、空間想象能力均提出了很大的考驗，在全國深入推進新課改，強調綜合能力培養的今天具有很強的現實意義。但是學生在幾何題目中，仍然出現了各種錯誤。如果從這些錯誤入手，進行針對性改良，可以使學生的各項能力得到有效提升。

一、現今高中數學幾何常見錯誤的類型

在高中數學教學中對于幾何題目，錯誤通常有如下幾個方面：

1、概念定義理解錯誤

數學的本質就是借助一連串的概念、原理和判斷，進行推理證明，最后得出結論的過程。因此，概念和定義是數學學習的基礎。在幾何中，雖然概念具有直觀性，通常幾何概念均有與之對應的實體模型，例如正方體，長方體、橢圓、雙曲線等，但學生中仍會出現概念、定義理解錯誤的情況，主要表現為兩個方面：

（1）無法匹配概念

很多高中幾何題中，題干的幾何形狀通常為幾個常見幾何形體的分割拼合，也會出現平面幾何及立體幾何混雜的題目。一些學生無法匹配到相應概念，產生了錯誤。

（2）忽視了概念的限制條件

在一部分幾何題目，尤其是強調數形結合的題目中，很多時候題目中包含著隱藏的限制條件。很多學生遇到這類問題時，常常因忘記對應概念的取值范圍而導致解題結果錯誤的出現。

2、定理性質理解錯誤

在幾何學習過程中，定理和性質是進行邏輯推理時的基礎。學生在定理和性質的運用時，也常會出現一些錯誤，造成了推理論證結果的失誤。主要存在以下幾種錯誤：

（1）定理使用條件理解不完善

從基礎定理、定義，再到推理出的普遍結論，高中幾何中接觸的定理和性質五花八門。但是其中很大一部分定理性質都具有限制條件，很多學生對其理解不完善，忽略了這些限制條件，在不當的地方使用了這些定理，造成了結論的錯誤。

（2）定理理解不透徹

在實際答題中，很多學生經常在數學符號等一些細節失分。有些學生認為這些細節無傷大雅，忽視了這些錯誤，實際上這些錯誤直接反映出了學生對定理理解的不透徹，應當引起重視。

3、公式運用及計算錯誤

公式是解決實際問題的工具。在高中幾何中，常見的求幾何體的體積、表面積或異面直線所成的角大小，直線與平面所成角的大小等等問題均離不開公式的使用和計算的過程。很多學生因為粗心大意，或是公式使用錯誤，造成了錯誤的產生。

4、抽象思維能力缺失導致的錯誤

除了計算的細心認真，高中幾何對學生的思維能力同樣提出了極大的考驗。在舊有觀念下的教學中，很多學生都有不同程度抽象思維能力的缺失，在幾何上集中表現在了有關幾何體的旋轉、折疊，畫直觀圖等題目的錯誤中。

二、高中生數學幾何常見錯誤的原因

1、題目本身因素的影響

隨著新課改“綜合素養”理念的提出，高中數學題目越強調全面的思考能力，在幾何題目上，很多題目均僅以文字描述呈現。科學研究表明，高中生理解形式簡潔，內容豐富的符號較難，再把它轉化為圖形與文字語言就更難。筆者選取了一道立體幾何問題，改寫為以文字語言呈現及符號語言呈現兩種形式，將自己擔任的學生平均分為兩組，進行了試驗。試驗結果清晰表明，學生在解題時，對符號語言的理解比對文字語言的理解更好，其中的錯誤率差距高達18%。此外，心理學表明，人們對記憶的再認知表現優于對記憶的重現，在幾何學習方面，學生選擇題的錯誤率普遍低于填空和解答題，同樣反映出了這一點。

2、學生自身因素的影響

（1）學生思維能力欠缺

根據信息加工理論，感知是信息加工的開端，是學習的起點，學生要學習，首先要對信息進行感知。但是科學證明，人的感知有強弱之分，同時強感知容易掩蓋弱感知的作用。在高中幾何學習中，作圖、識圖等都可以看作邏輯上的敘述，仍需要學生對其形成感知，并對其進行進一步加工。但不可否認的是，一部分學生缺乏相應的思維能力，雖然具有初中平面幾何的基礎，但是仍然不能很好地判讀高中的立體幾何等部分的知識，從而出現錯誤。

（2）學生知識認知不全面

在高中幾何中，立體幾何、圓錐曲線、向量幾何等知識涌來，如果學生對于這些知識認知不全面，很容易造成理解的失誤。例如，針對空間中線面平行的判定定理，很多學生在解題中就容易忽視“已知直線在平面外”這個關鍵的條件。此外，科學研究表明，在新知識的學習過程中，人們會受到之前學過知識的影響。例如筆者班級在一次測驗后，近半數學生均以l表示直線l在平面α內，筆者百思不得其解。詢問原因后，發現不少學生認為直線在平面內，就是直線時平面的一部分，因此應當使用表示元素在集合內的∈符號。這顯然是受到了之前知識的影響。

3、學生學習態度的影響

“態度決定一切”，學生的學習態度對于題目錯誤率也帶來了顯著的影響。筆者擔任的班級中，存在著一些認為學習只要能及格，拿到學分就可以的想法，于是遇到計算或思維稍微復雜一點的題目就不愿意做，隨便寫個答案。這樣的學習態度同樣體現在學習中不求甚解，僅僅關注定理公式等大的方面，忽視了細節，成為了導致部分學生在幾何中解題錯誤的一個原因。

三、總結

綜上所述，想要學好高中幾何，實現學生的全面提升卻是一個長期且緩慢的過程。這就需要教師結合實際，細心觀察，深入挖掘學生在日常教學中和測驗中出現的錯誤，有效地針對學生的個性特點，制定科學合理的教學策略。激發學生對數學學習的熱情。最后，還需要充分發揮引導作用，啟發學生自發主動地總結反思，為他們將來的綜合全面發展打下良好根基，也能實現教學效率和質量的提升。

參考文獻

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[2]李浩生. 數形結合思想方法在高中數學教學中的應用分析[C]. 教育部基礎教育課程改革研究中心.2020年“區域優質教育資源的整合研究”研討會論文集.教育部基礎教育課程改革研究中心：教育部基礎教育課程改革研究中心，2020：1458-1459.

（江西省都昌縣教體局教育教學研究室 江西 都昌 332600）