教學轉型背景下一元二次不等式及其解法探析

嚴曉春

【摘要】隨著新課改的逐步推進，在教學轉型背景下，教師 “怎么教”和學生“怎么學”的問題成為我國教育改革所提出的重要問題之一.筆者結合自己長期的教學實踐，以一元二次不等式及其解法的教學為例，引導學生進行探究，促進學生可持續學習能力的提升.

【關鍵詞】一元二次不等式;教學引導;解法教學;高中數學

一、前言

“不憤不啟”，是指在教育學生時，不到學生苦思冥想也想不清楚時，教師不要去啟發他;“不悱不發”，是指不到學生想說卻難以言表時，教師不要去開導他.這是我國古代最偉大的教育家孔子總結的、發人深省的、成功的教育經驗，在他的教學過程中，一方面，學生是自主地、探究地學習，是在學習過程中遇到疑惑和困難得到老師點撥的學習，自始至終是教學的主體;另一方面，教師是循循善誘、啟發學生學習，是不斷地引導學生歸納、總結知識，不斷地挖掘學生的分析和探究潛能，自始至終是教學的主導.教學方式的轉變在學生獲得新知識的過程中起著極其重要的作用.筆者結合自己長期的教學實踐淺析一下一元二次不等式及其解法的教學.

二、預備知識

1.一元二次方程：形如ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數）叫一元二次方程.常用因式分解法和公式法求方程的根.沒有實根的情況只有Δ<0.這里的根對應二次函數的零點，也對應一元二次不等式解集的“邊界”.

2.二次函數：形如y=ax2+bx+c（a≠0，a，b，c為常數）的函數是二次函數，圖像是對稱軸為直線x=-b2a，頂點為-b2a，4ac-b24a的一條拋物線，其開口方向：a>0時向上，a<0時向下.畫圖像時應關注圖像的對稱軸、與坐標軸的交點及頂點，這就是常說的“一對、二交、三頂”六字訣.由于這個圖像是用來寫對應不等式的解集的，因此畫簡圖時，只需體現拋物線的開口方向、對應方程的根的情況及兩根的大小，無須畫y軸及其他.

三、一元二次不等式及其解法教學

1.探究一元二次不等式的解法

首先，一元二次不等式ax2+bx+c≥0（a≠0）（Ⅰ）是對應方程ax2+bx+c=0（Ⅱ）變化而來.試問：

（1）滿足不等式的未知數的值叫不等式的解，那么，其解的個數是變多了，還是少了？

（2）如果把不等式的解代入不等式的左邊ax2+bx+c，其結果為m，那么m一定是什么數？——非負數，即m=ax2+bx+c（m≥0），對此，你們想到了什么？

引導學生改寫字母m為y，就是函數y=ax2+bx+c（y≥0）（Ⅲ）.學生通過分析發現：不等式Ⅰ的解集恰好是函數Ⅲ的定義域，既而把不等式的問題轉化為對應函數的問題[1].

這是二次函數嗎？當然不是，它是在條件y≥0下的“二次函數”.如何找到二次函數中的y≥0呢？此時，可以呈現一個已知二次函數，例如y=x2-5x，其簡圖如圖1所示.

（3）引導學生探究三個“二次”的關系.

①你們找到了y≥0時圖像的分布了嗎？對應的x的取值呢？

在坐標系中，引導學生找到圖像上縱坐標為正數或零即非負數的點，即x軸及其上方的圖像，是向上向左、向上向右無限延伸的兩段曲線，與之對應的x的集合為{x|x≤0或x≥5}，即不等式的解集是（-∞，0]∪[5，+∞）.

②觀察圖像，怎樣寫出x2-5x<0的解集呢？

學生很快發現，只需找到對應函數圖像分布在x軸下方的部分，即含有頂點的一段曲線，與之對應的x的集合是零點之間的實數構成的集合，即所求不等式的解集為（0，5）.

教師通過引導學生觀察圖像，由“圖像”寫不等式的解集，發現規律：方程的根是對應不等式解集的“邊界”.如果不等式中的不等號含有等號，那么不等式的解集含有“邊界”，否則，不含“邊界”.到此，讓學生分組討論并總結一元二次不等式的解法：

1）求對應方程ax2+bx+c=0的根;

2）畫對應函數y=ax2+bx+c的圖像，觀察其開口方向和零點（方程的根）;

3）寫出對應不等式的解集（關注不等號的方向及是否含等號）.

教師再次引導學生提煉解一元二次不等式的步驟的精華——“定邊界、畫草圖、寫解集”九字訣，并且及時應用于解題中.

2.舉例分析

當然，上面總結的步驟也可以解含參數的形如ax2+（a+1）x+1≥0的不等式，這可以訓練學生的分類思想和邏輯推理能力.另外，在教學中，教師要讓學生能走出去，還要“摸”得回來，即培養學生的發散思維和逆向思維能力[2].比如下面的例題.

例1 已知關于x的不等式ax2+bx+c>0的解集為（3，5），解不等式cx2+bx+a>0.

簡析 提問學生：形如“關于x的不等式ax2+bx+c>0”一定是一元二次不等式嗎？為什么a≠0？為什么a<0？

由“九字訣”及“解集”知：

①3和5是方程ax2+bx+c=0的根，從而有

3+5=-ba，3×5=ca，即b=-8a，c=15a.

②把b=-8a和c=15a代入所求不等式，同時注意條件a<0，便可順利求解不等式.

例2 解不等式x-2x+3>0.

簡析 ①先指出：能直接去分母嗎？為什么？然后讓學生分組討論，再總結回答：若能確定分母是正數或負數，可以直接去分母，否則不可以.

②指出這是標準的分式不等式（不等號的左邊為一個分式，右邊為0），學生可能會根據兩個實數的除法運算符號法則解兩個一次不等式組，再求并集.除此之外，教師應及時引導學生思考：還有別的方法嗎？教師可以引導學生將除法轉化為乘法（根據幾個非零數的商的符號與它們積的符號相同），于是，原不等式可化為（x-2）（x+3）>0，再求解即可.教師還可以直接把x-2x+3>0 改成x-2x+3≥0或x-2x+3≥1讓學生求解.