一節(jié)課，一道題，一次高三數(shù)學(xué)試卷講評(píng)調(diào)研

祝霞

[摘? 要] 試卷講評(píng)課是高三數(shù)學(xué)后期教學(xué)的一種重要課型，教師需要遵循其備課四原則，設(shè)計(jì)出行之有效的教學(xué)方式和策略，打造高效的教學(xué)課堂，實(shí)現(xiàn)提升學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)的能力，以及促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)展的目的.

[關(guān)鍵詞] 試卷講評(píng)課;高效課堂;師生互動(dòng);核心素養(yǎng)

測(cè)試是檢測(cè)學(xué)生知識(shí)掌握程度的一種非常有效的途徑.通過(guò)分析學(xué)生的答卷情況，可以及時(shí)了解到學(xué)生目前的學(xué)習(xí)狀況以及已有的學(xué)習(xí)能力，鎖定學(xué)生的問(wèn)題所在，測(cè)試以后要針對(duì)學(xué)生暴露出的問(wèn)題進(jìn)行及時(shí)講評(píng). 試卷講評(píng)課具有目標(biāo)定向的激勵(lì)功能、概念糾錯(cuò)的診斷功能、方法提煉的示范功能和知識(shí)拓展的補(bǔ)償功能[1]. 通過(guò)講評(píng)試卷能夠幫助學(xué)生彌補(bǔ)弱點(diǎn)，突破難點(diǎn)，熟練技能，拓寬思路，進(jìn)一步提升綜合運(yùn)用知識(shí)的能力，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的全面發(fā)展.一般情形下，教師準(zhǔn)備好一節(jié)試卷講評(píng)課需要遵循其備課的四原則 ——及時(shí)性原則、針對(duì)性原則、試卷量化分析原則和延伸拓展性原則[2].

在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的最后階段，試卷講評(píng)課是教學(xué)的常態(tài)課，是尤為重要的一種課型. 2020年4月30日，筆者本人非常榮幸被市教科院調(diào)研一節(jié)試卷講評(píng)課，下面結(jié)合這一節(jié)課的課前分析、課堂實(shí)況及課后研討反思，談?wù)勛约旱捏w會(huì).

[?]課前分析

認(rèn)真仔細(xì)批閱完試卷后，筆者全面細(xì)致分析了答卷的情況，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題主要集中于三道題目：首先是填空題的第14題，涉及的內(nèi)容是向量、解三角形、函數(shù)的相關(guān)知識(shí)的融合;其次是解答題的第19題，考查函數(shù)的零點(diǎn);最后是解答題的第20題，考查新定義數(shù)列.針對(duì)向量與三角以及函數(shù)的結(jié)合是江蘇高考數(shù)學(xué)填空題的熱點(diǎn)內(nèi)容，常出現(xiàn)在第12、13、14題的位置，并且近幾年江蘇高考數(shù)學(xué)試卷填空題的第13、14題的難度略呈下降趨勢(shì)，結(jié)合我們班級(jí)學(xué)生的實(shí)際情況，筆者決定在講評(píng)課上對(duì)第14題進(jìn)行詳細(xì)地探究.

[?]課堂實(shí)況

試卷的第14題：在△ABC中，∠A=，點(diǎn)D滿足=，且對(duì)任意x∈R，

x+

≥

-

恒成立，則cos∠ABC=________.

師：大家回顧一下考試時(shí)做這一題的思路是什么，自己又是在哪一個(gè)環(huán)節(jié)卡住了呢.

生1：我的想法是首先將不等式中的兩邊進(jìn)行平方.

師：那你得到的不等式是什么？

生1：我在式子運(yùn)算中遇到了困難，沒(méi)有做出正確的答案.

師：有沒(méi)有同學(xué)跟他是一樣的想法？能夠解決一下他的難點(diǎn)嗎？

生2：選擇和為基底，將不等式中的換成，然后平方進(jìn)行運(yùn)算.

師生共同運(yùn)算化簡(jiǎn)到bx2+cx+c-b≥0.

師：你是如何處理不等式對(duì)任意x∈R恒成立的？

生2：利用Δ=c2-4b

c-b

≤0.

師生化簡(jiǎn)得到

c-b

≤0，即c=b.

師：得到兩條邊b，c的等量關(guān)系，你準(zhǔn)備如何求解cos∠ABC？

生2：利用∠A=，c=b，對(duì)∠A使用余弦定理先得到a=b，然后可利用余弦定理求出cos∠ABC等于.

師：很好，我們大家一起來(lái)梳理一下做題的幾個(gè)步驟：第一步，選定基底，利用數(shù)量積（平方）將向量式轉(zhuǎn)化成數(shù)量式;第二步，利用Δ處理關(guān)于x的二次不等式在R上恒成立;第三步，借助余弦定理求出cos∠ABC.那么我想問(wèn)問(wèn)大家除了選擇和作為基底來(lái)解決這道題，還有沒(méi)有其他的途徑呢？

生3：坐標(biāo)化，如圖1，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)O，以AB所在直線為x軸建系，可設(shè)B（m，0），C（n，n），則D

，

，代入不等式

（nx，nx）+（m，0）

≥

，

-（m，0）

，化簡(jiǎn)得4n2x2+2mnx-

-

≥0. 因?yàn)椴坏仁綄?duì)任意x∈R恒成立，則Δ=（2mn）2+16n2

-

≤0，即

-m

≤0，即=m.

師：得到m，n的關(guān)系后，你打算利用什么方法求∠ABC的余弦值？

生3：用n表示△ABC各邊的長(zhǎng)度，然后用余弦定理求cos∠ABC.

師：很好，這是一種正確的途徑，你既然都算出了各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，那可不可以借助別的工具求∠ABC的余弦值？

生4：想到了數(shù)量積公式cos∠ABC=.

師：這也是很好的一種途徑，我們求夾角的余弦值，可借助余弦定理，也可借助向量的數(shù)量積. 對(duì)于向量式的轉(zhuǎn)化我們可以選擇用基底法，也可以直接坐標(biāo)化，將向量式向數(shù)量式轉(zhuǎn)化. 我們?cè)儆^察不等式

x+

≥

-

，左右兩邊涉及的是向量和的模、向量差的模，你還可以從什么角度去處理？

生5：借助向量加法的平行四邊形法則、向量減法的三角形法則. 如圖2，設(shè)x+=，則

≥

，所以⊥. 設(shè)CD=t，由題可知AD=2t，AC=3t，BD=2t，BC=t，在△ABC中利用余弦定理求cos∠ABC.

師：非常好，從形的角度切入，大大地簡(jiǎn)化了我們的計(jì)算過(guò)程. 對(duì)于向量式我們可以選擇的有形和數(shù)兩個(gè)方向，我們選擇形的方向會(huì)快捷很多.下面我們一起來(lái)看看幾道變式題，你會(huì)選擇什么途徑去解決問(wèn)題？

變式1：在△ABC中，若對(duì)任意t∈R，

-t

≥

-

恒成立，則∠ACB=________.

生5：從形的角度，如圖3，設(shè)-t=，

≥

，⊥，∠ACB=.

師：很好，結(jié)合具體的問(wèn)題選擇適合的方法，能達(dá)到事半功倍的效果，請(qǐng)看下一道變式.

變式2：如圖4，在△ABC中，AB=，AC=，=，=，M，N分別為DE，BC的中點(diǎn)，若MN⊥BC，則cosA=________.

生6：基底法，選擇和為基底， =-=（+）-（+）=+. 由MN⊥BC，=-，則

+

·（-）=0，故cosA=.

師：在我們無(wú)法從形的角度切入時(shí)，抓住基底解決向量的相關(guān)問(wèn)題. 請(qǐng)大家再看一道變式.

變式3：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)點(diǎn)A（1，0），B（0，1），C（a，b），D（c，d），若不等式2≥（m-2）·+m（·）·（·）對(duì)任何實(shí)數(shù)a，b，c，d∈R都成立，則實(shí)數(shù)m的最大值是_______.

生7：代入坐標(biāo)化簡(jiǎn)得a2+c2+b2+d2≥mac+mbd+mbc.

師：后面如何處理四元變量恒成立問(wèn)題呢？

有學(xué)生說(shuō)：一個(gè)一個(gè)地考慮.

師：可以，關(guān)于每個(gè)變量都是二次，那如何考慮？

有學(xué)生說(shuō)：配方.

師：很好，大家觀察不等式的右側(cè)，變量a，d均只出現(xiàn)在一個(gè)整體中，我們嘗試對(duì)哪些變量先配方呢？

學(xué)生：對(duì)a，d兩個(gè)變量同時(shí)配方.

師生一起運(yùn)算出

a-

+

d-

+

（b2+c2）-mbc≥0，得到

b2-mbc+

c2≥0.

師：下面還剩兩個(gè)變量b，c，如何處理呢？

學(xué)生：一個(gè)看成變量，一個(gè)看成參數(shù)，利用Δ處理.

師：這一定是二次的不等式嗎？

學(xué)生：分類(lèi)討論.

接著師生共同解決該問(wèn)題（m的最大值是-1）.

師：遇到已經(jīng)坐標(biāo)化的向量問(wèn)題，我們可以直接借助向量的坐標(biāo)運(yùn)算，轉(zhuǎn)化為純代數(shù)問(wèn)題，對(duì)于多元變量恒成立問(wèn)題，我們通過(guò)觀察式子的結(jié)構(gòu)特征，可以采用變換主元的思想一步一步地突破難點(diǎn).

[?]課后研討

關(guān)于如何打造高效的試卷講評(píng)課，結(jié)合本節(jié)課，市教研員及聽(tīng)課教師達(dá)成了以下幾個(gè)方面的共識(shí)：其一，雖然是試卷講評(píng)課，但依然以學(xué)生為主體，啟發(fā)并引導(dǎo)學(xué)生積極主動(dòng)思考;其二，針對(duì)我們學(xué)校的文科普通班的實(shí)際情況以及近幾年江蘇高考數(shù)學(xué)試卷情況，選擇第14題涉及的向量、三角以及函數(shù)進(jìn)行突破是合理的;其三，在講評(píng)過(guò)程中，我們提倡一題多解，發(fā)散學(xué)生的思維，還要比較分析方法的差異，對(duì)方法進(jìn)行反思，促使學(xué)生遇到問(wèn)題時(shí)能夠合理地選擇方法，同時(shí)要注重“通性通法”的滲透，多題一解也是講評(píng)課中一個(gè)不錯(cuò)的選擇;其四，針對(duì)學(xué)生容易出現(xiàn)錯(cuò)誤或者疑難知識(shí)點(diǎn)，我們可以通過(guò)變式題來(lái)強(qiáng)化學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解，促進(jìn)學(xué)生綜合能力的提升;其五，對(duì)于填空題而言，我們還可以通過(guò)特殊情況或者賦值法以最快的速度得到正確的答案.

[?]課后反思

（1）試卷講評(píng)課中，學(xué)生會(huì)想到一些出乎教師意料的想法，需要教師進(jìn)行正確的引導(dǎo)，對(duì)于錯(cuò)誤的想法要及時(shí)進(jìn)行修正. 以學(xué)生的想法為本，進(jìn)行探索與嘗試，發(fā)散學(xué)生的思維[3].

（2）試卷講評(píng)課中，應(yīng)該注意一題多解與多題一解的結(jié)合，注重變式與歸納的結(jié)合，增強(qiáng)學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)的能力[4].

（3）試卷講評(píng)課是幫助學(xué)生進(jìn)一步連通知識(shí)網(wǎng)絡(luò)框架，讓學(xué)生對(duì)自己的薄弱知識(shí)、模棱兩可的知識(shí)重新審視分析的過(guò)程，教師不可操之過(guò)急，要幫學(xué)生搭建好適度的“腳手架”，一步步地引導(dǎo)學(xué)生深度學(xué)習(xí)，發(fā)展學(xué)生的高階數(shù)學(xué)思維.

總而言之，高三數(shù)學(xué)試卷講評(píng)課需要以生為本，多維對(duì)話，在互動(dòng)交流中尋找突破;守住基本，收放相宜，在發(fā)散與收斂中融會(huì)貫通.

參考文獻(xiàn)：

[1]? 張國(guó)斌. 聚焦核心素養(yǎng)的高三數(shù)學(xué)試卷講評(píng)課的教學(xué)設(shè)計(jì)[J]. 數(shù)理化解題研究，2019（21）.

[2]? 孫將. 淺析高三數(shù)學(xué)試卷講評(píng)課的六個(gè)環(huán)節(jié)[J]. 中學(xué)課程輔導(dǎo)（教師教育），2019（01）.

[3]? 潘華東. 追求高效課堂 提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)——一堂高三數(shù)學(xué)試卷講評(píng)課的啟示[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2019（02）.

[4]? 茍知學(xué). 高三數(shù)學(xué)試卷講評(píng)課教學(xué)模式的實(shí)踐與研究[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2018（11）.