淺談圓錐曲線教學(xué)中思維品質(zhì)和思維能力的培

許福生

【摘 ?要】“發(fā)展思維，培養(yǎng)能力。”已成為中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的一項(xiàng)重要任務(wù)，而思維品質(zhì)是思維能力的表現(xiàn)形式，通過(guò)解析幾何中圓錐曲線的教學(xué)，能培養(yǎng)學(xué)生優(yōu)良的思維品質(zhì)和較強(qiáng)的思維能力。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)思維;數(shù)學(xué)思維品質(zhì);數(shù)學(xué)思維能力;圓錐曲線

引 ?言：思維是智力的核心，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，是培養(yǎng)學(xué)生綜合能力的主要內(nèi)容，同時(shí)，也是素質(zhì)教育的需要，“數(shù)學(xué)是思維的體操”這是加里寧的一句名言，它深刻地表明數(shù)學(xué)可以訓(xùn)練一個(gè)人的思維，歷史發(fā)展也表明，“數(shù)學(xué)是科學(xué)思維工具，因此，中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目的之一是發(fā)展思維能力，使學(xué)生的思維能力得到很大程度的提高。本文就圓錐曲線的教學(xué)，談?wù)劙l(fā)展思維品質(zhì)和培養(yǎng)思維能力的一些作法和體會(huì)。

1 在概念的深刻理解中，培養(yǎng)思維的深刻性，提高靈巧解決問(wèn)題的能力。

思維的深刻性是指思維的抽象程度和邏輯水平以及思維活動(dòng)的深度。它集中地表現(xiàn)為能深刻地理解概念，善于深入地思考問(wèn)題，抓住事物的規(guī)律和實(shí)質(zhì)，而圓錐曲線概念的教學(xué)，恰能引導(dǎo)學(xué)生透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)，在弄清其內(nèi)涵與外延的過(guò)程中，進(jìn)行深刻思維，從而達(dá)到培養(yǎng)思維深刻性的目的。

2 ?圍繞概念形成的統(tǒng)一性，培養(yǎng)思維的廣闊性，提高學(xué)生整體的思維能力。

思維的廣闊性是指思維發(fā)揮作用的范圍的廣闊程度，在圓錐曲線教學(xué)中，圍繞圓錐曲線概念形成的統(tǒng)一性，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行前后概念的對(duì)比，多角度，多方向去思考概念，揭示溝通內(nèi)在聯(lián)系的紐帶，從而培養(yǎng)思維的廣闊性，提高學(xué)生整體的思維能力。

3 在概念的應(yīng)用中，培養(yǎng)思維的敏捷性，提高快速反應(yīng)的思維能力。

思維的敏捷性是指思維活動(dòng)的速度，在圓錐曲線教學(xué)中，不僅要注意對(duì)橢圓，雙曲線，拋物線等定義的真正理解，還要突出數(shù)學(xué)思想，方法的啟示，這就要求在解題時(shí)，善于觀察聯(lián)想，分析綜合，抽象概括，通過(guò)對(duì)橢圓，雙曲線，拋物線等定義在解題中的有效運(yùn)用，達(dá)到訓(xùn)練學(xué)生思維的敏捷性。

4 在辨析對(duì)比中，培養(yǎng)思維的批判性，提高學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S能力。

思維的批判性是思維活動(dòng)中獨(dú)立分析和批判的程度，它主要表現(xiàn)為有自己的獨(dú)立見(jiàn)解，敢于懷疑，有較強(qiáng)的辨識(shí)能力，在圓錐曲線教學(xué)中，教師要針對(duì)性地抓住具有普遍意義的典型性錯(cuò)誤，有意識(shí)地設(shè)置“陷井”，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行錯(cuò)解辨析，對(duì)比類(lèi)似問(wèn)題在解法上的異同，提高學(xué)生的辨別和判斷能力，從而達(dá)到培養(yǎng)思維的批判性。

通過(guò)對(duì)問(wèn)題的辨析，不僅使學(xué)生從“陷井”中跳出來(lái)，增強(qiáng)刺激，更主要的是能使學(xué)生逐步養(yǎng)成用批判的態(tài)度來(lái)對(duì)待每一個(gè)問(wèn)題的習(xí)慣，突破思維定勢(shì)負(fù)遷移的影響，從而使學(xué)生思維的批判性得到發(fā)展，提高學(xué)生整體分析問(wèn)題，解決問(wèn)題的能力。

5 ? 通過(guò)一題多解，一題多變，一題多用，培養(yǎng)思維的靈活性，提高學(xué)生發(fā)散思維能力。

例如，長(zhǎng)度為L(zhǎng) 的線段AB，兩端點(diǎn)A，B在拋物線y=x2上移動(dòng)，AB的中點(diǎn)為M，求點(diǎn)M到X軸的最短距離。

解法一，設(shè)AB所在直線的方程為y=kx+b（k≠0），A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)為（x1，y1），（x2，y2），將直線方程代入拋物線方程得x2- kx-b=0，由韋達(dá)定理得，x1+x2=k，x1·x2= -b.所以 y1+y2=2b+k2， y1y2=b2

L=（x1-x2）2+（y1-y2）2=（x1+x2）2+（y1+y2）2-4x1x2-4y1y2=k2+4b+k4+4bk2

所以b=L2-k2-k4/4（1+k2 ）

顯然，M點(diǎn)到X軸的距離為它的縱坐標(biāo)|y|=y（y>0）

y=====≥（2L-1）

所以M點(diǎn)到X軸的最短距離為（2L-1）

解法二，設(shè)AB兩點(diǎn)的坐標(biāo)為（x1，y1）.（x2，y2）

|AB|2=-（x1-x2）2 +（y1-y2）2=L2

即：x12-2x1x2+x22+y12-2y1y2+y22=L2

因?yàn)閤12+x22=y1+y2，而y1y2=（x1x2）2

所以4（x1x2）2+2（x1x2）+L2-（y1y2）2-（y1+y2）=0

因?yàn)椋▁1x2）是實(shí)數(shù)。

所以△=4-16[L2-（y1+y2）2-（y1+y2）]≥0

所以y1+y2≤或y1+y2≥

從而得到≥（2L-1），即M點(diǎn)到X 軸的最短距離為（2L-1）。

通過(guò)上述兩種解法，可使學(xué)生的思維始終處于一種“追求從另一處角度思考的動(dòng)的狀態(tài)，從不同的側(cè)面代表了解析幾何中求極值的常用方法：不等式法，判別法，參數(shù)法，幾何法，匯聚了大量信息，知識(shí)覆蓋面廣，發(fā)散思維能力無(wú)疑得到了提高。趁熱打鐵，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用上述解法的思路。可方便地解如下一些問(wèn)題，從而達(dá)到一題多用的目的。促進(jìn)學(xué)生思維的靈活性，進(jìn)一步得到訓(xùn)練。

題1，過(guò)拋物線焦點(diǎn)的一條直線與它交于兩點(diǎn)P，Q通過(guò)點(diǎn)P和拋物線頂點(diǎn)的直線交準(zhǔn)線于點(diǎn)M，求證：直線MQ平行于拋物線的對(duì)稱(chēng)軸。

題2：定長(zhǎng)為3的線段AB的兩端在拋物線y2=x上移動(dòng)，記線段AB中點(diǎn)M，求M到y(tǒng)軸的最矩距離，并求此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)。

綜上所述，在中數(shù)學(xué)教學(xué)中，通過(guò)概念的深刻理解，概念的熟練靈活運(yùn)用和錯(cuò)例分析對(duì)比，一題多解，一題多變，一題多用的教學(xué)實(shí)踐證明，培養(yǎng)學(xué)生優(yōu)良的思維品質(zhì)和提高學(xué)生發(fā)散思維能力，集中思維能力及創(chuàng)造思維能力，無(wú)疑是非常必要的，現(xiàn)代數(shù)學(xué)教學(xué)的宗旨，不是單一傳授知識(shí)及方法，而是在掌握知識(shí)與方法的同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，這也是進(jìn)一步落實(shí)素質(zhì)教育，培養(yǎng)學(xué)生們的思維品質(zhì)和思維能力所必需的，因此，我們廣大的數(shù)學(xué)教育工作者在平時(shí)的教學(xué)中應(yīng)給予足夠的重視。

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作者單位：福建省壽寧縣第一中學(xué)