如何破解極值點偏移問題

黃小妹

摘 要：極值點偏移是高中數學的難點，常出現在高考的壓軸題中，對學生分析以及解答問題的能力要求較高.教學中為使學生掌握極值點偏移問題的解題思路，既要注重為學生系統的講解相關理論知識，又要做好相關例題的歸納與總結，使得學生掌握突破該類問題的技巧.

關鍵詞：高中數學;極值點;偏移;破解

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2021）04-0007-02

破解極值點偏移問題需要扎實掌握相關的理論.教學中應結合具體的圖像為學生講解極值點偏移的情境以及存在的不等關系，在其頭腦中留下深刻的印象.同時，認真總結與匯總歷年高考中有關極值點偏移的習題題型，在課堂上為學生逐一的剖析、講解，使其掌握不同題型的解題思路，給其以后解答類似問題帶來良好啟發.

一、不含參數極值點偏移的處理

不含參數極致點偏移問題常作為某一壓軸題的其中一小問，考查學生對導數知識的靈活應用情況.解答該類習題的方法多種多樣，其中構造一元函數是常用的解題思路.解題時應靈活運用導數知識研究給出的已知函數圖像，對其增減、極值情況進行大致判別.而后注重應用題干中給出的已知條件通過等量代換將多元變量轉化為一元變量，構造對應的函數.以構造的函數為研究對象，通過二次應用導數知識找到其中的不等關系完成解答.

例1 已知函數f（x）=xe-x（x∈R），若x1≠x2，且f（x1）=f（x2），證明：x1+x2>2.

該題目題干較為簡潔，其中應注重運用“f（x1）=f（x2）”這一關系，將多元變量轉化為單一變量.對已知函數求導得到f ′（x）=（1-x）e-x，容易得到函數f（x）在（-∞，1）上單調遞增，在（1，+∞）單調遞減，則x→-∞，f（x）→-∞，f（0）=0，x→+∞，f（x）→0，可知x=1時f（x）取得極值，且f（1）=1e.設x12，x2>2-x1，只需證f（x2）0，則H（x）在（0，1）上單調遞增，即，H（x）

二、含有參數極值點偏移的處理

含有參數的極值點偏移問題難度又提升了一個檔次.眾所周知，一般的極值點偏移問題涉及兩個變量，但含有參數后出現三個變量.很多學生遇到該類題目不知如何下手.事實上，解答該類問題應結合經驗，先通過化歸消去參數，化陌生為熟悉，再進行求解.該題目對學生的解題經驗具有一定要求，因此，教學中應注重多組織學生進行該類習題的訓練，使其積累豐富的經驗.

例2 已知函數f（x）=ex-ax的兩個零點分別為x1、x2，且x12.

該題目難度較大.解答時應將零點問題轉化為函數圖像交點問題，而后構建相關參數之間的關系，不斷的進行轉化.可將已知條件可轉化為y=xex和y=1a有兩個交點問題，結合函數單調性可知0

ex1=ax1①

ex2=ax2②

②-①得：ex2-ex1=a（x2-x1），

即a=ex2-ex1x2-x1

①+②得：ex1+ex2=a（x1+x2），即ex1+ex2a=x1+x2，要證x1+x2>2，可轉化為證ex1+ex2a>2，即證ex1+ex2ex2-ex1>2x2-x1，即ex2-x1+1ex2-x1-1>2x2-x1，令t=x2-x1，t∈（0，+∞），設g（t）=t（et+1）-2（et-1），求得可得g′（t）>0，即，g（t）在（0，+∞）上單調遞增，即，g（t）>g（0）=0，得證.

三、含對數式極值點偏移的處理

含對數式極值點偏移問題可采用構造函數法解答.當然也可根據已知條件聯立等式，借助消參、恒等變形后運用對數平均不等式鏈進行求解.高中數學教學中，為使學生能夠靈活運用對數平均不等式鏈ab0）處理極值點偏移問題，教學中應與學生一起推導，使學生搞清楚該不等式的來龍去脈，牢固的掌握，為其用于解答極值點偏移問題奠定堅實基礎.

例3 已知函數f（x）=xlnx和直線y=m交于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點，求證：0

解答該題目時根據已知條件構建等式關系進行巧妙的轉化是關鍵.根據函數表達式可知x>0，顯然x1x2>0.

又因為函數與直線交于兩點，則可得x1lnx1=m，x2lnx2=m，

即x1=mlnx1①

x2=mlnx2②

則①-②得：

x1-x2=m（lnx2-lnx1lnx1lnx2）

兩邊同除以lnx1-lnx2，

得到x1-x2lnx1-lnx2=-mlnx1lnx2③

①+②整理得到：

x1+x2=m（lnx2+lnx1）lnx1lnx2④

由對數均值不等式

a+b2>a-blna-lnb（證明略），得到

x1+x22>x1-x2lnx1-lnx2，

將③④代入m（lnx2+lnx1）2lnx1lnx2>-mlnx1lnx2.

對函數f（x）=xlnx求導得到：

f ′（x）=lnx+1，x>0，

令f ′（x）=0，解得x=1e，在（0，1e）上f ′（x）<0，函數f（x）單調遞減.

在（1e，+∞）上f ′（x）>0，函數f（x）單調遞增，則f（x）min=f（1e）=-1e，

又∵f（1）=0，則在（0，1e）上函數f（x）<0，則可繪制出兩個函數圖像如圖1所示.

易知，m<0，則lnx1+lnx2<-2，即lnx1x2<-2=lne-2，即，0

極值點偏移是高中數學導數部分的重點、難點，是高考的熱門考點.教學中為使學生掌握相關題型的解題方法，不斷提高學生的解題能力，既要與學生一起推導相關的結論，做好解題理論的講解，又要對相關習題分門別類，為學生做好解題示范，使學生掌握相關題型的解題規律，以后遇到類似問題能夠少走彎路，迅速破題.

參考文獻：

[1]曾雪萍.利用對數平均不等式解決極值點偏移問題[J].數學學習與研究，2020（09）：157.

[2]黨江平.極值點偏移問題的高等數學背景探究[J].高中數學教與學，2020（05）：34-36.

[3]季明峰.極值點偏移問題的理論探究、實際運用與解題反思[J].數學教學通訊，2020（06）：54-56.

[4]白志峰，祁京生.例談處理極值點偏移問題的有效策略[J].高中數學教與學，2020（03）：17-18.

[責任編輯：李 璟]