立足數學課堂，發展數學抽象素養

朱晴晴

摘 要：數學抽象是數學最基本的思維方式之一，數學的本質特征在于它的抽象，抽象素養作為高中數學核心素養之一，是教師與學生需要關注的重要內容。我們需要通過有效的教學過程，使學生親歷抽象思維歷程，提高數學思維能力，通過抽象問題本質，教會學生自主學習，獨立思考，達到培養學生核心素養的目的。

關鍵詞：核心素養;數學抽象;數形結合;歸納類比

《普通高中數學課程標準》（2017年版）這樣界定數學核心素養中的“數學抽象”：“數學抽象是指通過對數量關系與空間形式的抽象，得到數學研究對象的素養，主要包括：從數量與數量關系、圖形與圖像關系中抽象出數學概念及概念之間的關系，從事物的具體背景中抽象出一般規律和架構，并用數學語言予以表征”數學抽象主要表現為：獲得數學概念和規則，提出數學命題和模型，形成數學方法與思想，認識數學結構與體系”.

一、數形結合，把相關數學知識抽象成知識體系

例如在新教材高中數學必修一第二章第三節《二次函數與一元二次方程、不等式》，本節課的重難點是二次函數與一元二次方程、不等式的聯系，借助二次函數求解一元二次不等式。

筆者觀摩了兩位新教師的常規課，這兩位新教師著重強調解一元二次不等次的口訣記憶，在二次項系數為正的前提下，“大于取兩邊，小于取中間”，利用一元二次不等式與方程的根的關系快速解一元二次不等式。筆者認為這樣的教學設計過于急于求成，應當在課堂中引導學生去發現規律和本質，提升數學抽象能力。

在初中，學生學過了從一元一次函數觀點看解一元一次方程、不等式，知道了解一元一次方程ax+b=0（a≠0）可以歸結為在一次函數y=ax+b（a≠0）的函數值為0時，求自變量x的值，解一元一次不等式ax+b>0或ax+b<0（a≠0）相當于在一次函數y=ax+b的值大于0或者0時，求自變量x的取值范圍。

學生觀察討論容易得出方程的實數根就是函數圖象與x軸交點的橫坐標。方程的根是從“數”的角度研究問題，而函數的圖象與x軸交點是從“形”的角度研究問題，正體現了數形結合思想。讓學生從已知抽象出未知，辨別他們之間的聯系，使知識結構體系更完整，提高學生數學抽象的能力。

希爾伯特在《直觀幾何》序言里說：要幫助我們的學生學會用圖形來描述和刻畫問題，要幫助學生學會用圖形去發現解決問題的思路。”

高中學生的數學抽象能力還比較弱，特別是剛進入高中階段學習的學生，盡管初中也學習了不少數學概念，但對抽象的數學符號還存在認識的障礙，如果在解決問題時輔之以直觀，就能夠幫助學生了解題意，從而為順利解決問題掃除障礙。這樣的直觀需要表達出來，數學抽象素養的提升就隱含其中了。

二、歸納類比，培養抽象概括能力

不少定理、公式及其證明都離不開歸納類比，教師在課堂教學中要適當引導和滲透，使學生逐步感知并運用好這一方法培養抽象概括能力。因此，歸納類比的過程，是培養學生抽象概括能力的過程。

例如筆者在上選修2-1第二章第二節《橢圓的簡單幾何性質》習題課時，講到橢圓的“偽直徑”問題時，先從初中學過的圓的性質講起：直徑所對的圓周角是直角。

表示如下：線段AB為圓的直徑，C為圓上異于AB的一點，在保證AC、BC所在的直線斜率存在且不為0的前提下，有kAC·kBC=-1。我們可以引導學生思考這樣一個問題：

已知A、B為橢圓C：上關于原點對稱的兩點，且點C為橢圓上除點A、B以外的任意一點，在保證AC、BC所在的直線斜率存在且不為0的前提下，kAC·kBC會不會也是一個定值呢？

我們可以證明猜想如下：設點A（m，n），B（-m，-n），C（x0，y0），由A、B、C三點均在橢圓上可得，兩式相減并變形得到，則，由此可證。并且可以看出當a=b時橢圓變圓，與圓的性質一致。

再講到橢圓的“中點弦”問題時，我們可回顧初中學習的圓的垂徑定理的推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦。表示如下：

B為圓O的一條弦（不是直徑），M為線段AB的終點，在OM、AB所在的直線斜率存在且不為0的前提下，有kOM·kAB=-1。我們可以引導學生思考如下問題：

已知A、B是橢圓上與0不在同一條直線上的兩點，M為線段AB的終點，那么在OM、AB所在的直線斜率存在且不為0的前提下，kOM·kAB會不會也是一個定值呢？

我們可以證明猜想如下：

設A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），由已知可得①，②，③，④。

由點差法①-②得，，變形得，將③④式帶入上式即，從而得到，即證。同樣，這樣的類似性質我們可以在雙曲線中得到論證。

通過上述案例可以發現，在同級類比中，通過教師的引導，使學生證明出了新的結論，從而提高了學生的抽象概括能力，從而發展了學生的數學抽象素養。

新課標研制組負責人史寧中教授指出，提升學生的數學核心素養，也就是引導學生會用數學眼光觀察世界，會用數學思維思考世界，會用數學語言表達世界。新課標指出，提升高中學生的數學核心素養，不僅要促進學生思維能力、實踐能力和創新意識的發展，而且要引導學生探索事物的變化規律，增強社會責任感，在學生形成正確人生觀、價值觀、世界觀等方面發揮獨特作用。數學抽象作為核心素養之一，值得廣大教師在課堂中予以關注。

參考文獻

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