數(shù)學(xué)運(yùn)算視角下“二次根式”教學(xué)的探究與思考

勵(lì)威

[摘? 要] 作為數(shù)學(xué)核心能力之一的運(yùn)算素養(yǎng)是落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的著眼點(diǎn). 文章以“二次根式”教學(xué)為例，探究了在教學(xué)實(shí)踐中落實(shí)運(yùn)算素養(yǎng)的實(shí)踐與思考.

[關(guān)鍵詞] 初中數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)運(yùn)算;二次根式

數(shù)學(xué)本質(zhì)上是關(guān)于量及其運(yùn)算的科學(xué)，而每個(gè)數(shù)學(xué)運(yùn)算都蘊(yùn)含著對(duì)運(yùn)算算理、算法及算力的考量[1]，因此作為六大核心素養(yǎng)之一的數(shù)學(xué)運(yùn)算在不同素養(yǎng)之間所占平均權(quán)重較大，幾乎貫穿了整個(gè)初中數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程，并且其運(yùn)算能力的強(qiáng)弱直接影響著學(xué)生解題的信心和學(xué)習(xí)成績(jī)的高低. 而在當(dāng)前初中學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)培養(yǎng)中，盡管進(jìn)行了大量習(xí)題練習(xí)，但運(yùn)算效果并不理想，運(yùn)算失分往往成為制約學(xué)生成績(jī)、影響學(xué)生學(xué)習(xí)信心的一個(gè)重要因素. 特別是對(duì)于內(nèi)容抽象的“二次根式”而言，其概念、性質(zhì)、化簡(jiǎn)與運(yùn)算是后續(xù)解決二次函數(shù)、幾何等綜合類問(wèn)題的基礎(chǔ)，因此以“二次根式”教學(xué)為例，探究如何在教學(xué)實(shí)踐中將運(yùn)算素養(yǎng)落實(shí)到位，有效提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)具有重要的意義.

數(shù)學(xué)運(yùn)算視角下“二次根式”優(yōu)化教學(xué)探究

1. 理解運(yùn)算對(duì)象，遷移所學(xué)知識(shí)

理解運(yùn)算對(duì)象就是在化解、計(jì)算二次根式類題目時(shí)，首先要看清題目中的已知條件和所求問(wèn)題，明確題目中包含著哪些隱含條件，并對(duì)一些重要的數(shù)據(jù)和條件做好標(biāo)記，讓學(xué)生通過(guò)“咬文嚼字”式的解讀有效地解決運(yùn)算對(duì)象理解不到位、理解表層化的現(xiàn)象. 其次，聯(lián)想已學(xué)定理和法則，深度挖掘?qū)ο蟮膶?shí)質(zhì)，并從已學(xué)概念的定義出發(fā)，仔細(xì)觀察運(yùn)算題目的特點(diǎn)，選擇合適的運(yùn)算方法，有效減少運(yùn)算量.

例如，在組織學(xué)生化簡(jiǎn)二次根式時(shí)，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生明確該題目的已知條件是分子與分母之間的除法，并且分子、分母都含有根號(hào)，分母隱含著不是最簡(jiǎn)二次根式這一條件，所求問(wèn)題是將進(jìn)行化簡(jiǎn). 在此基礎(chǔ)上，要求學(xué)生聯(lián)想二次根式化簡(jiǎn)的概念和步驟，充分利用·=a（a>0）這條二次根式性質(zhì)將分子、分母分別同時(shí)乘，再進(jìn)行開方、約分便可以將其化簡(jiǎn). 但這種化簡(jiǎn)方式，不僅運(yùn)算量較大，而且也容易出錯(cuò). 如果教師引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想到·=a（a>0），能夠?qū)o(wú)理數(shù)化為有理數(shù). 仔細(xì)觀察所計(jì)算式子的特點(diǎn)，按照“湊成”最近平方數(shù)的原則，將分子、分母分別同時(shí)乘一個(gè)較小的二次根式，便可以將化為有理數(shù)，從而能夠快捷地獲得該題化簡(jiǎn)后的結(jié)果，即為.

2. 充分暴露運(yùn)算思維，體驗(yàn)探究過(guò)程

二次根式運(yùn)算過(guò)程中難免會(huì)應(yīng)用到眾多的公式和定理，如果學(xué)生不能夠靈活應(yīng)用，那么難免會(huì)在解答選拔性綜合試題時(shí)出現(xiàn)不知所措的現(xiàn)象. 因此，教師應(yīng)在組織學(xué)生進(jìn)行相關(guān)題目訓(xùn)練時(shí)，要求學(xué)生充分暴露自己的運(yùn)算思維，包括運(yùn)算過(guò)程中學(xué)生所犯的錯(cuò)誤和所走的彎路;并且除了讓學(xué)生明確怎么做之外，還要明確為什么這樣做，這種運(yùn)算方式是否具備一般性，等等，確實(shí)讓學(xué)生“做中學(xué)”“做中思”.

例如，在計(jì)算（+）÷時(shí)，有部分學(xué)生注意到了數(shù)值運(yùn)算之間的特征，按照“（+）÷=÷+÷”的方式獲得了與標(biāo)準(zhǔn)答案一致的結(jié)果，但卻有一部分學(xué)生以除法沒有分配率為由對(duì)上述解題過(guò)程產(chǎn)生了質(zhì)疑. 因此，教師應(yīng)以此為主題，及時(shí)通過(guò)如下方式引導(dǎo)學(xué)生厘清算法和算理之間的關(guān)系，即除法分配率確實(shí)是不存在的，但可以將除法看作是乘法的逆運(yùn)算，則可以將上述計(jì)算類比為（a+b）÷c=（a+b）×=a×+b×=a÷c+b÷c，從而消除部分學(xué)生產(chǎn)生的疑惑. 在此基礎(chǔ)上，為了促使學(xué)生更加深入理解算理，教師還應(yīng)及時(shí)呈現(xiàn)上述變式題目，要求學(xué)生闡述÷（+）=÷+÷這種解題過(guò)程的錯(cuò)誤之處，從而有效培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)那髮W(xué)精神，不斷提高學(xué)生的運(yùn)算素養(yǎng).

3. 厘清運(yùn)算結(jié)構(gòu)，探索解題思路

不難發(fā)現(xiàn)，相當(dāng)數(shù)量的學(xué)生在面對(duì)一些所謂的難題或數(shù)值較大的運(yùn)算時(shí)，常常由于找不到問(wèn)題突破口而產(chǎn)生放棄的思想：因此，教師在平時(shí)組織學(xué)生的解題訓(xùn)練中，還應(yīng)拋棄“替學(xué)生思考”的想法，要最大限度地讓學(xué)生自己探索和討論解題思路，厘清運(yùn)算結(jié)構(gòu)，有效培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算素養(yǎng).

例如，以算式×4÷為例，相當(dāng)數(shù)量的學(xué)生會(huì)因?yàn)楦?hào)、分式較多而找不到解題的突破口. 因此，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)整體換元的方式，將上述算式看作是a×c×÷（e×）;然后通過(guò)如下的方式，即a×c×÷（e×）=a××c×÷e÷=a×c÷e××÷=a×c÷e×（×÷）=a×c÷e×（），從而將原式簡(jiǎn)化為1×4÷×=12×==2. 顯然，通過(guò)上述運(yùn)算結(jié)構(gòu)的認(rèn)識(shí)，可以有效提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

4. 設(shè)計(jì)運(yùn)算程序，選擇合適的運(yùn)算方法

由于運(yùn)算思維的不同，其所采用的運(yùn)算路徑也會(huì)千差萬(wàn)別，并且當(dāng)題目有多種解法時(shí)，運(yùn)算方法的選擇就會(huì)變得尤為重要. 因此，教師還應(yīng)理性設(shè)計(jì)運(yùn)算程序，注重法則的逆用、變形等應(yīng)用，從而培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性和批判性，理解其所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想[2].

例如，在組織學(xué)生計(jì)算-15+時(shí)，如果按照常規(guī)思維，則首先應(yīng)將，分別化解成為3，，再通過(guò)二次根式的加減運(yùn)算可得結(jié)果. 但這種計(jì)算方式僅是解決該題目的其中一種方式，并且該種解題方式也不利于學(xué)生對(duì)=a（a>0）這個(gè)二次根式性質(zhì)的深度理解和應(yīng)用. 因此，教師在充分明確學(xué)生做題思維的基礎(chǔ)上，鼓勵(lì)學(xué)生繼續(xù)觀察，并注重計(jì)算式子中，15這兩個(gè)二次根式根號(hào)外面的和15這兩個(gè)數(shù)，充分利用a=（a>0）這個(gè)逆用性質(zhì)將和15這兩個(gè)數(shù)導(dǎo)入根號(hào)里面，進(jìn)而將上述式子變形為如下式子進(jìn)行計(jì)算：-15+=-3·+=-3，從而有效減少了題目的運(yùn)算量.

數(shù)學(xué)運(yùn)算視角下二次根式教學(xué)的思考

1. 把握真實(shí)學(xué)情，重視對(duì)二次根式的計(jì)算教學(xué)

二次根式是初中數(shù)學(xué)運(yùn)算中的一個(gè)制高點(diǎn)，在二次根式學(xué)習(xí)之前，學(xué)生已經(jīng)熟練掌握了整式、分式等相關(guān)運(yùn)算，但二次根式與整式、分式等運(yùn)算有著不小的聯(lián)系，如和4的數(shù)值相等，和3都包含著數(shù)3，但它們?cè)诒举|(zhì)上是有較大區(qū)別的. 若在具體教學(xué)實(shí)踐中，將二次根式運(yùn)算看作是諸多法則和性質(zhì)在無(wú)理數(shù)范圍之內(nèi)的簡(jiǎn)單應(yīng)用，則難免會(huì)出現(xiàn)生搬硬套的現(xiàn)象. 因此，教師應(yīng)從內(nèi)心深處加大對(duì)二次根式教學(xué)的重視程度，要將該部分內(nèi)容講清楚，通過(guò)其教學(xué)內(nèi)容之“薄”看到其二次根式運(yùn)算之“厚”.

2. 深入研究運(yùn)算本質(zhì)，走出思維慣常誤區(qū)

縱觀學(xué)生的二次根式錯(cuò)誤運(yùn)算實(shí)例，不難發(fā)現(xiàn)許多錯(cuò)誤是由于學(xué)生對(duì)其二次根式運(yùn)算性質(zhì)、法則理解不到位所造成的. 因此，教師應(yīng)組織學(xué)生深入研究二次根式運(yùn)算的法則、性質(zhì)，并結(jié)合典型例題，準(zhǔn)確把握學(xué)生的理解所存在的思維障礙和疏漏，有效引導(dǎo)學(xué)生走出思維誤區(qū). 例如，面對(duì)類似=，=等計(jì)算出錯(cuò)的情況，教師應(yīng)要求學(xué)生深思問(wèn)題出錯(cuò)的原因，并掌握如下行之有效的方式：若“a+b”除以c，則應(yīng)為（a+b）÷c=a÷c+b÷c;若“a×b”除以c，則應(yīng)為（a×b）÷c==×b=×a. 顯然，通過(guò)這種對(duì)比式學(xué)習(xí)，能有效促使學(xué)生走出思維誤區(qū).

3. 搭建思維“腳手架”，減輕學(xué)生運(yùn)算負(fù)擔(dān)

學(xué)生運(yùn)算素養(yǎng)的培養(yǎng)離不開課后的解題訓(xùn)練，但對(duì)解題思維的優(yōu)化往往集中在課堂教學(xué)之中. 因此，教師還應(yīng)在課堂教學(xué)中，精心搭建思維“腳手架”，促使學(xué)生經(jīng)歷曲折的探究思考過(guò)程，從而實(shí)現(xiàn)具有突破性的創(chuàng)新，有效突破傳統(tǒng)的“題海戰(zhàn)術(shù)”的弊端，減輕學(xué)生的運(yùn)算負(fù)擔(dān). 例如，在學(xué)習(xí)完“二次根式”內(nèi)容之后，教師應(yīng)以強(qiáng)化學(xué)生的運(yùn)算素養(yǎng)為核心，及時(shí)組織學(xué)生對(duì)全章內(nèi)容進(jìn)行系統(tǒng)復(fù)習(xí)和運(yùn)算總結(jié)，不斷訓(xùn)練和優(yōu)化學(xué)生的運(yùn)算能力.

結(jié)語(yǔ)

總之，作為數(shù)學(xué)核心能力之一的運(yùn)算素養(yǎng)是落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的著眼點(diǎn)[3]，運(yùn)算素養(yǎng)的培養(yǎng)并不是一朝一夕就能完成的. 因此，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)避免無(wú)意義的機(jī)械訓(xùn)練和“題海戰(zhàn)術(shù)”，真正把握真實(shí)學(xué)情，將教學(xué)的重心放置在運(yùn)算對(duì)象、思維、結(jié)構(gòu)以及運(yùn)算方法等方面，并不斷搭建思維“腳手架”，傳授學(xué)生分析與解決問(wèn)題的方法，形成條理化思考問(wèn)題和解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)品質(zhì)[4]，從而有效提高教學(xué)的有效性與針對(duì)性，促進(jìn)學(xué)生的運(yùn)算素養(yǎng)的形成與發(fā)展.

參考文獻(xiàn)：

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