圓中的多解問題探析

曹新江

[摘 要]文章結合例題，分析圓中的多解問題，以幫助學生突破難點，培養學生解題的多解意識，拓寬學生的思維度，提高學生的數學素養.

[關鍵詞]圓;多解;初中數學;對稱性

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻標識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2021）29-0031-02

圓是初中階段學習的重要圖形，其中圓中的多解問題，是學生最容易忽略與出錯的地方，必須引起我們教師的高度關注.圓中的多解問題，主要表現在以下幾個方面.

一、圓的軸對稱性引起的多解問題

已知圓內有兩條互相平行的弦，且已知這兩條弦的長度，求這兩條平行弦之間的距離時，存在這樣兩種不同的情況，一是已知兩弦在圓心的同一側;二是已知兩弦在圓心的兩側.這就造成了平行弦之間的距離不一樣的情況，其原因在于，在一個圓中，一條定長的弦有無數條，它們可以處于圓內的不同位置.

評注：垂徑定理使用頻率較高的是“平分弦”這一結論，且題中并沒有作出直徑，而過圓心作了一條弦心距，這條弦心距就是直徑的代表.另外，垂徑定理常與勾股定理結合使用，因為此時常會形成弦的一半、弦心距、半徑構成的直角三角形.

二、一弦對二弧引起的多解問題

已知圓的一條弦長及半徑，求這條弦所對的圓心角時，只有一種情況，因為一條弦所對的圓心角只有一個;但是求這條弦所對的圓周角時，就有兩種情況，因為一條弦所對的弧有兩種，即優弧與劣弧，而圓周角是指頂點在圓周上，且兩邊與圓相交的角，當圓周角的頂點在優弧上時，與圓周角的頂點在劣弧上時形成的圓周角是不一樣的，且這兩個圓周角是互補關系.當且僅當已知弦為直徑時，這條弦所對的圓周角只有一種情況，即直角.

三、點與圓位置關系的多樣性引起的多解問題

已知一個點與一個圓，及點到圓的最大距離與最小距離，求這個圓的半徑.這樣的題通常沒有圖形，正是因為幾何問題只有文字敘述沒有圖形對照，造成了問題答案的多樣性.因為點與圓有三種位置關系：點在圓外、點在圓上、點在圓內，所以這個已知點可能在已知圓內，也可能在已知圓外，在已知圓內時，顯然已知圓要大一些，在已知圓外時，顯然已知圓要小一些.

[例2]已知點P到圓的最大距離為11，最小距離為7，則此圓的半徑為多少？（要求作圖解答）

解析：點P應分為位于圓的內部、位于圓的外部兩種情況進行討論.如圖4所示，當點P在圓內時，過點P作直徑AB，則PA就是點P到圓上各點的最大距離11，PB就是點P到圓上各點的最小距離7，這兩個距離的和就是直徑，所以直徑是18，因而半徑是9;如圖5所示，當點P在圓外時，過點P、O作直線與圓O交于點C、D，則PC就是點P到圓上各點的最大距離11，PD就是點P到圓上各點的最小距離7，這兩個距離的差就是直徑，所以圓的直徑是4，因而半徑是2.故此圓的半徑為2或9.

評注：這里還有一個問題很關鍵，即在圓內一點P，如何尋找點P到圓上各點的最大距離與最小距離.在圓外一點P，如何尋找點P到圓上各點的最大距離與最小距離.方法都是過已知點及圓心作直線，與圓的兩個交點，一個是最大距離的點，一個最小距離的點.

四、動點引發的直線與圓位置關系的多解問題

已知一個圓位置固定，當一條直線沿一個方向平移時，這條直線與圓的位置關系有相離、相切、相交三種情況，其中相離的情形有無數種，相交的情形有無數種，但直線與圓相切的情形只有兩種，即左邊一種右邊一種，或上邊一種下邊一種，這是由圓的軸對稱性決定的.已知一條直線固定，當一個圓沿一個方向平移時，同樣會出現上述類似的情形，這里不再贅述.

圓中的多解問題還有兩圓相切（包含內切與外切）時引起的多解問題.兩圓相交時，已知公共弦與兩圓半徑，求圓心距時也有兩種情況;已知圓的半徑及兩弦長求兩弦的夾角時仍有兩種情況;等等.對于沒有圖形的圓問題以及直線與圓、點與圓、圓與圓的問題，均要注意多解的情況.

（責任編輯 陳 昕）