地鐵曲線段鋼軌非對稱性廓形研究

林鳳濤 李志和，3 胡偉豪 劉保臣 朱韶光

(1.華東交通大學載運工具與裝備教育部重點實驗室，330013，南昌;2.中國鐵道科學研究院集團有限公司，100081，北京;3.中國鐵路南昌局集團有限公司鷹潭機務段，330013，南昌∥第一作者，教授)

因城市軌道交通建設空間范圍限制，其線路采用了較多的小半徑曲線。在城市軌道交通運營過程中，由于載客量大、通過車次多、車輛類型單一、軸重一致、運營速度固定等因素，將導致線路曲線段外股軌道產生嚴重側磨，致使鋼軌壽命縮短，甚至影響列車的行車安全。為了研究地鐵曲線段鋼軌的磨耗影響因素及其造成的影響，文獻［1］從鋼軌材料本身及其使用環境進行了研究，發現鋼軌硬度、軌距、打磨、踏面涂油都會影響鋼軌磨耗速率。文獻［2］發現鋼軌廓形異常磨耗會導致輪軌匹配不良，從而引起車體異常抖動;鋼軌磨耗加快，對行車安全構成極大的影響;鋼軌打磨可以有效地解決輪軌的異常磨耗。文獻［3］提出了一種特殊的鋼軌打磨方法，針對鋼軌不同部位磨耗程度進行個性化打磨，延緩了鋼軌磨耗。文獻［4］對鋼軌局部廓形進行優化設計，優化后其輪軌匹配性能增加。文獻［5］對朔黃鐵路曲線段內、外軌打磨廓形進行非對稱設計，優化后的鋼軌廓形可以緩減鋼軌接觸疲勞，延長鋼軌的使用壽命。文獻［6］指出鋼軌的非對稱打磨對車輛的動力學性能無影響，但改變了鋼軌的幾何特征，有利于減緩鋼軌的斜裂紋的萌生與擴展。文獻［7］以踏面跳躍點橫向間距作為道岔優化控制條件，降低了道岔鋼軌的磨耗速率以及輪軌接觸應力最大值。文獻［8］以滾動圓半徑差為優化目標對鋼軌廓形進行設計，增加了列車的曲線通過能力。文獻［9］采用遺傳算法對曲線段鋼軌廓形進行優化，實現了降低鋼軌磨耗的目標。

上述研究促進了鋼軌打磨理論和方法的完善，但大多研究因設計目標復雜造成運算工作量加大。同時，大多數鋼軌廓形設計未基于實測鋼軌廓形，通過計算得到的打磨廓形并不一定具有通用性。針對目前地鐵曲線段鋼軌打磨廓形缺乏科學合理的設計方法，本文基于地鐵實際運營線路，提出基于圓弧參數變量的外軌廓形設計方案。在考慮磨耗鋼軌廓形的基礎上，將鋼軌廓形生成模塊與車輛動力學模型進行關聯，以輪軌接觸斑分布特性作為優化目標來實現外軌廓形設計，最終為非對稱鋼軌預打磨方案設計提供指導。

1 鋼軌磨耗廓形數據采集

本文采用Miniprof型面測量儀對北京某地鐵曲線段的鋼軌磨耗廓形進行跟蹤測試。圖1為北京某地鐵現場鋼軌實測廓形圖。由圖1可以看出，鋼軌長期存在異常側磨的現象，且輪軌接觸光帶大部分分布在鋼軌的內側區域。

圖1 北京某地鐵現場鋼軌實測廓形圖Fig.1 Field rail measurement profile drawing of Beijing metro

圖2為外軌磨耗統計圖。由圖2可知:

圖2 外軌磨耗統計圖Fig.2 Statistics chart of outer rail wear

1)根據磨耗程度以及磨耗位置，將外軌劃分為軌頭中心側d1和軌距角d2等2個區域;

2)d2區域內鋼軌磨耗程度明顯較d1區域更為嚴重，且在鋼軌型面橫坐標x為25 mm處鋼軌磨耗深度最大。一方面，列車通過曲線段時，由于輪對橫移作用，導致鋼軌軌側與輪緣接觸，造成了鋼軌的側磨;另一方面，鋼軌在該區間內的曲率單一性等因素導致輪軌匹配不良，產生磨耗集中現象。

為了減緩外軌d2區域磨耗，本文采用多弧段對x在［0，36］mm范圍內的外軌廓形進行設計。

2 鋼軌型面設計

鋼軌工作邊分別由3段圓弧與1段直線相切組成。其中，鋼軌軌頭中心點及直線端點為固定點，弧段之間相互內切。以鋼軌軌頂為原點，鋼軌中心線為y軸，垂直于鋼軌中心線為x軸，建立坐標系。鋼軌廓形如圖3所示。

圖3 鋼軌廓形描述圖Fig.3 Rail profile description diagram

采用段圓弧對鋼軌工作邊進行表示。設圓弧切點分別為Q1(x1，y1)，Q2(x2，y2)，…，Qn(xn，yn)，Qn+1(xn+1，yn+1)，其中，Q1，Qn+1為固定端點。

1)第1段圓弧確定。根據TB 10082—2017《鐵路軌道設計標準》，Q1處的切線斜率k1=0，且Q1(x1，y1)，Q2(x2，y2)在)上，則第1段圓弧表達式為:

其中:

其中:

其中:

綜上，鋼軌的工作邊廓形表達式為:

其中:

式中:

Rn、xn、yn、kn——分別為對應圓弧段半徑，圓弧段切點橫、縱坐標，以及圓弧段切點斜率。

由式(5)，若已知端點Q1(x1，y1)，Qn+1(xn+1，yn+1)，則可通過R1，R2，…，Ri－1以及x2，x3，…，xi－1等參變量描述鋼軌廓形。

3 鋼軌廓形求解流程設計

采用圓弧參數對TB60鋼軌廓形進行描述，確定軌頭廓形的參變量。本文根據北京某地鐵線路實際運營車輛參數，建立車輛-軌道耦合動力學模型，對輪軌匹配以及車輛動力學特性進行計算。以建立的輪軌接觸斑分布函數作為鋼軌優化目標fj，min(yi)，以車輛動力學特性、邊界幾何作為其約束函數fj。設置遺傳算法計算參數，對父代鋼軌廓形參變量g(Ri，xi)進行迭代求解，產生子代鋼軌型面g(Ri，xi)，從而實現收斂;如不收斂，迭代結束后輸出全局最優解。車輛動力學與遺傳算法耦合進行鋼軌廓形求解流程如圖4所示。

圖4 車輛動力學與遺傳算法耦合求解鋼軌廓形流程Fig.4 Process of vehicle dynamics and genetic algorithm coupling to solve the rail profile

4 地鐵車輛動力學模型與線路模型的建立

本文主要對圓曲線段外軌與車輪的接觸狀態進行研究。當列車通過圓曲線時，分別對曲線段外軌與車輪的接觸特性進行分析。

4.1 地鐵車輛模型的建立

為了更加具體地分析鋼軌型面變化對地鐵車輛各項動力學性能和指標的影響。基于地鐵B型車車輛參數［10］，在動力學軟件UM中建立車輛動力學模型。地鐵車輛通過曲線時速度大小不變，因此可忽略車廂之間的相互作用，只取單節車廂，并考慮輪軌接觸幾何、輪軌蠕滑特性、車輛懸掛等非線性因素對其進行仿真計算分析。地鐵B型車車輛參數如表1所示。其動力學模型拓撲圖如圖5所示。該模型由1個車體、2個轉向架、8個軸箱及4對輪對組成。

表1 地鐵B型車車輛參數Tab.1 Part of type B vehicle parameters

圖5 地鐵B型車車輛動力學模型拓撲圖Fig.5 Topological diagram of metro type B vehicle dynamics model

4.2 地鐵線路模型的建立

建立地鐵線路仿真模型。其中，線路前、后直線總長60 m，緩和曲線長20 m;曲線半徑為600 m，長度為300 m;外軌超高為0.05 m，軌底坡為1/40，軌距為1 435 mm。車輛實際運行速度為50 km/h，鋼軌廓形分別采用TB60與優化廓形，軌道激勵為美國5級譜，車輪型面為LM，輪軌摩擦系數為0.3。

5 鋼軌廓形優化模型的建立

5.1 TB60型面鋼軌廓形初始坐標變量的設定

TB60鋼軌由R1=300 mm，R2=80 mm和R3=13 mm 3段圓弧組成，固定端點坐標為(0，0)，(36，－34)。根據鋼軌型面的磨耗規律，以TB60型面為原型，采用4段圓弧對橫坐標在［0，36］mm區間內的鋼軌廓形進行設計，對該區間內的圓弧段進行等份劃分。初始變量坐標設定如表2所示。

表2 TB60型面鋼軌廓形初始坐標變量設定表Tab.2 Initial variable coordinate setting table for TB60 surface rail profile

5.2 目標函數的建立

5.2.1 接觸斑分布密度函數的建立

車輛沿軌道運行過程中，由于輪對橫移作用，導致輪軌接觸點位置隨時間發生變化。為了計算接觸斑分布函數，將鋼軌橫坐標［0，36］mm區間分成k個長度為1 mm的小區間。根據輪軌接觸斑中心x所在的區間，取采樣頻率為200 Hz，統計落在相應區間內的接觸斑數目。得到每個區間內的接觸斑數目nk以及接觸斑的總數N。則第k個區間內接觸點分布的密度p{x=xk}為:

接觸點的分布函數F(xk)為:

為了減緩地鐵曲線段外側鋼軌側磨，使輪軌接觸斑分布在軌頂部分d1區域(x∈［0，25］mm)的密度不低于80%，d2區域(x∈［25，36］mm)的密度不大于20%。則接觸斑密度函數f1，min(yi)為:

5.2.2 輪軸橫向力最小目標函數

輪軸橫向力最小目標函數f2，min(yi)為:

式中:

5.3 約束函數的建立

采用4段圓弧對鋼軌廓形進行擬合，對設計鋼軌型面的幾何條件、弧段之間進行約束;同時為了保證設計后的鋼軌型面車輛動力學性能的安全特性，對車體運行時的振動加速度及脫軌系數進行約束。

5.3.1 鋼軌的參變量幾何約束

選取該曲線段磨耗深度最大的鋼軌廓形和TB60廓形作為上、下邊界。

式中:

Cdown(Ri)、Cup——分別為磨耗鋼軌型面和TB60型面的邊界條件。

5.3.2 車輛動力學性能約束

Opti-60型面對應的車體橫向振動加速度有效值aopti-60，rms較TB60型面對應的車體橫向振動加速度有效值aTB60，rms要小，即:

5.3.3 脫軌系數約束條件

根據公式，車輛的脫軌約束條件為:

式中:

Q——輪軌間的橫向力;

P——輪軌間的垂向力;

α——輪緣角;

μ——摩擦系數。

fd，opti-60，rms、fd，TB60，rms——分別表示廓形優化后鋼軌的脫軌系數有效值和標準軌的脫軌系數有效值。

6 鋼軌廓形求解與結果分析

本文采用遺傳算法［11］對曲線段鋼軌廓形優化模型進行求解。整個算法迭代次數為200，種群大小設置為100。采用實數型編碼方式對變量Ri，xi進行編碼［17］，設置其變異概率為0.08、交叉概率為0.7，根據個體的適應度大小確定選擇因子。

經過200次迭代后，所得最優鋼軌廓形如圖6所示。由圖6可知，Opti-60型面位于TB60型面下方，在鋼軌側面(x∈［0，20］mm)，Opti-60型面與TB60型面變化基本一致;鋼軌橫坐標位置在［20，35］mm范圍內，Opti-60型面軌距角部分更圓滑，曲線斜率變化稍快。

圖6 外軌廓形優化結果圖Fig.6 External rail profile optimization results

表3為鋼軌廓形優化前后縱坐標差值。由表3可知，當鋼軌型面橫坐標為31 mm時，其優化前后的型面縱坐標差值最大，達到了1.317 1 mm。

表3 鋼軌廓形優化前后縱坐標差值Tab.3 Corresponding ordinate differences before and after rail profile optimization

圖7為地鐵通過曲線段時，外軌與LM型面車輪匹配的接觸斑分布密度圖。由圖7可知，鋼軌型面橫坐標在［0，25］mm區間內，TB60型面與LM型面輪軌接觸斑分布密度為50.97%，Opti-60型面與LM型面輪軌匹配的接觸斑分布密度為86.18%，較TB60型面增加了35.21%。同時，Opti-60型面輪軌接觸斑分布最大密度值較TB60型面向軌頭中心前移了5 mm，該變化使輪軌接觸點分布在軌頂密度變大，減緩了鋼軌軌距角磨耗。

圖7 輪軌接觸斑分布密度Fig.7 Distribution density of wheel and rail contact spots

6.1 不同型面鋼軌廓形下輪軌接觸點變化

圖8為TB60型面與Opti-60型面輪軌接觸點幾何分布圖。由圖8可知，Opti-60-LM型面輪軌接觸點在軌頂的分布較TB60-LM型面更為均勻。當車輪橫移10～－10 mm時，Opti-60-LM型面接觸主要分布在鋼軌偏內區域，靠近鋼軌軌頭中心;TB60-LM型面輪軌接觸點均勻分布在鋼軌的軌頭與軌肩位置。該變化減少了軌距角與輪緣的磨耗。

圖8 輪軌接觸點幾何分布圖Fig.8 Wheel and rail contact point distribution

6.2 不同型面鋼軌廓形對車輪踏面等效錐度的影響

本文采用klingel算法分別對Opti-60-LM型面和TB60-LM型面車輪踏面的等效錐度進行計算，結果如圖9所示。當輪對橫移量為1～7 mm時，LM型面車輪踏面等效錐度在0.075～0.100范圍內緩慢增長;當輪對橫移量大于4 mm時，LM型面與Opti-60型面匹配的車輪踏面等效錐度比TB60型面略小，且均出現加速上升的趨勢，曲線通過能力都大幅增大。總體而言，兩者等效錐度變化幅度相差不大。

圖9 不同型面車輪踏面等效錐度與輪對橫移量關系圖Fig.9 Relationship between the equivalent taper of the wheel tread and the lateral displacement of the wheel pair

6.3 不同型面鋼軌廓形對脫軌系數的影響

由圖10的Opti-60型面與TB60型面鋼軌的脫軌系數對比可知，將TB60型面換成Opti-60型面后，一位輪對外側車輪的脫軌系數小幅度減小，其有效值由0.079 7減小至0.069 5，降低了12.79%。

圖10 不同型面鋼軌的脫軌系數對比Fig.10 Derailment coefficient comparison of different rail profiles

總體而言，Opti-60型面對提升列車脫軌系數有一定程度幫助。

6.4 不同型面鋼軌廓形下車體平穩性分析

振動加速度是衡量鐵道車輛運行平穩性最直接的指標。圖11為鋼軌打磨前后車體橫、垂向振動加速度時域波形圖。由圖11可知，將TB60型面換成Opti-60型面后，其橫向加速度有效值由0.291 2減小至0.279 6，降低了3.97%;垂向加速度有效值由0.056 8減小至0.054 5，降低了4.49%。由此可見，小幅度提升了車輛通過曲線時的平穩性。

圖11 車體橫、垂向振動加速度時域波形圖對比Fig.11 Comparison of the car body transverse and longitudinal vibration acceleration

6.5 不同型面鋼軌磨耗特性分析

圖12為Opti-60型面與TB60型面在通過不同車次時鋼軌的累計磨耗量。由圖12可知，Opti-60型面與TB60型面的磨耗分布區域大致相同，但Opti-60型面磨耗深度最大位置較TB60型面往前移動5 mm;當通過車次為5.0×105次時，Opti-60型面橫坐標在［0，25］mm區間內磨耗量占總區間磨耗量的78.3%，而TB60型面為75.4%;當通過車次為1.0×106次時，Opti-60型面橫坐標在［0，25］mm區間內的磨耗量占總區間磨耗量的82.5%，而TB60為79.4%。因此，Opti-60型面集中磨耗較TB60型面有往鋼軌中心移動的趨勢，有利于減少鋼軌軌距角磨耗。

圖12 Opti-60型面與TB60型面的外軌累計磨耗量對比Fig.12 Comparison of the outer rail accumulative wear between Opti-60 and TB60

7 結論

1)以TB60型面為原型，采用弧段半徑及弧段之間相切點橫坐標作為參變量對鋼軌廓形進行設計，將車輛動力學模型與鋼軌廓形生成模塊與圓弧半徑算法進行結合。應用數理統計法得到外軌的輪軌接觸斑分布規律，建立鋼軌廓形設計目標函數，最終指導鋼軌非對稱廓形的生成。

2)鋼軌非對稱廓形設計改變了輪軌幾何接觸特性，使外軌接觸點分布在軌頂［0，25］mm區間內的密度達到86.18%，較TB60型面增加了35.21%。

3)采用Opti-60型面后，其動力學性能有了小幅度提升，脫軌系數有效值降低了12.79%;橫、垂向振動加速度有效值分別降低了3.97%和4.49%;在通過車次相同的情況下，鋼軌的磨耗深度最大位置較TB60型面向軌頭中心方向移動5 mm，減緩了鋼軌軌距角磨耗，延長了鋼軌更換周期。