抽離·緊扣·深度·思辨：數(shù)學(xué)課程優(yōu)化思想滲透教學(xué)實(shí)踐

黃竹青

摘 要：“打電話”是“綜合與實(shí)踐”的一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，包含的信息量大、承載的數(shù)學(xué)思想多，思維含量高，在這一內(nèi)容的教學(xué)中時(shí)常會(huì)出現(xiàn)學(xué)生參與度低、思維無(wú)法深入、探究淺嘗輒止等困境。文章以優(yōu)化思想為指引，通過(guò)對(duì)教材的整理分析，主張?jiān)趶那榫持谐殡x出困惑的前提下，緊扣“打電話”中的優(yōu)化內(nèi)核，在對(duì)比中經(jīng)歷優(yōu)化過(guò)程，構(gòu)建優(yōu)化模型，在思辨中升華優(yōu)化思想，讓學(xué)生切實(shí)感悟解決問(wèn)題中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，積累數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，提高數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)教學(xué);優(yōu)化思想;滲透;打電話;建模;核心素養(yǎng)

中圖分類(lèi)號(hào)：G623.5 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A文章編號(hào)：1008-3561（2021）36-0099-03

優(yōu)化思想作為一種重要的數(shù)學(xué)思想，在解決實(shí)際問(wèn)題、提升綜合能力方面都發(fā)揮著重要作用，是數(shù)學(xué)教學(xué)中必備的數(shù)學(xué)思想。同時(shí)，優(yōu)化思想又是一個(gè)很抽象的概念。何為優(yōu)化思想？為什么要優(yōu)化？怎樣進(jìn)行優(yōu)化？?jī)?yōu)化的最終目的是什么？?jī)?yōu)化后的方案真的切實(shí)可行嗎？如果不可行，優(yōu)化的意義何在？這一系列問(wèn)題，成為教師授課和學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程中繞不開(kāi)的話題，這也導(dǎo)致優(yōu)化時(shí)常僅僅成為一個(gè)“口號(hào)”，沒(méi)有徹底地貫徹落實(shí)下去。為此，本文結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，對(duì)數(shù)學(xué)課程優(yōu)化思想滲透教學(xué)策略進(jìn)行探究。

一、 數(shù)學(xué)課程優(yōu)化思想教學(xué)現(xiàn)狀

在不同情境中，優(yōu)化的目的不同。可以是化繁為簡(jiǎn)，優(yōu)化表達(dá)方式;可以是節(jié)省資源，比如節(jié)約時(shí)間、節(jié)省經(jīng)費(fèi)、節(jié)省材料等;也可以是提高效率，從根本上解決問(wèn)題。目的雖然重要，過(guò)程亦然。但是目前很多教學(xué)環(huán)節(jié)，是把問(wèn)題解決作為唯一標(biāo)準(zhǔn)，往往為了最后的結(jié)果而忽略過(guò)程，使得優(yōu)化思想滲透的進(jìn)程被大大縮短，學(xué)生被推著進(jìn)行歸納和總結(jié)，對(duì)優(yōu)化過(guò)程的感悟不充分、不深刻、不全面。多樣化是優(yōu)化的基礎(chǔ)，有對(duì)比才有差距，才能在呈現(xiàn)的多種方法中選擇最合時(shí)宜的方法。如果只有一種方法，也就不存在“優(yōu)”了。教師有時(shí)為了提高課堂教學(xué)效率，會(huì)引導(dǎo)學(xué)生向標(biāo)準(zhǔn)化思考，削減學(xué)生生成的多樣性，這樣帶來(lái)的結(jié)果就是學(xué)生思考的范圍被狹隘化，對(duì)數(shù)學(xué)思想的感悟也被弱化。優(yōu)化貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程，本身就存在完整的思維體系。它不是單獨(dú)割裂的一種思想，也非運(yùn)用于某一個(gè)具體的知識(shí)點(diǎn)。在實(shí)際教學(xué)中，知識(shí)點(diǎn)之間缺乏關(guān)聯(lián)、整體把握不夠是一個(gè)擺在眼前的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題。教師可能就某一個(gè)知識(shí)點(diǎn)講解得很透徹，但沒(méi)有進(jìn)行外延，導(dǎo)致優(yōu)化的片段化，下次換到一個(gè)新的知識(shí)點(diǎn)，又要從零開(kāi)始，整體和部分的關(guān)聯(lián)有待加強(qiáng)。學(xué)生對(duì)“優(yōu)化”的理解也往往比較片面，更加注重結(jié)果的優(yōu)化而非過(guò)程，對(duì)優(yōu)化還停留在某一個(gè)知識(shí)點(diǎn)上。

二、 數(shù)學(xué)課程優(yōu)化思想教學(xué)策略

基于數(shù)學(xué)課程優(yōu)化思想滲透的思考和研究，筆者對(duì)“打電話”一課進(jìn)行了設(shè)計(jì)，分四個(gè)步驟，具體如下。

1.抽離困惑，明確優(yōu)化目的

新人教版教材中對(duì)“打電話”給出的情境是：一個(gè)合唱隊(duì)共有15人，暑假期間有一個(gè)緊急演出，老師需要盡快通知到每一個(gè)隊(duì)員。如果用打電話的方式，每分鐘通知1人，請(qǐng)幫助老師設(shè)計(jì)一個(gè)打電話的方案。對(duì)于這個(gè)情境，學(xué)生是比較茫然的，不知從何下手，他們的困惑集中在以下幾點(diǎn)。

（1）通知方式多樣化。在當(dāng)下的信息社會(huì)，人們交流方式多樣，既然說(shuō)要盡快通知，學(xué)生第一反應(yīng)想到的肯定不是打電話這個(gè)原始方法，而會(huì)更傾向于發(fā)微信、聊QQ、釘釘?shù)取＝滩闹械倪@個(gè)設(shè)計(jì)，是否會(huì)導(dǎo)致在課堂中，學(xué)生花費(fèi)時(shí)間去討論其他通知方法的可行性呢？或者說(shuō)，如何更好地讓學(xué)生領(lǐng)悟“打電話”這個(gè)一對(duì)一模式的必要性呢？

（2）緊急通知不夠急。即便是選擇用打電話的方式，一個(gè)一個(gè)地打，最多也就15分鐘，最少為4分鐘，這11分鐘的差距真的值得大費(fèi)周折地去制定這樣一個(gè)方案嗎？這樣的情境，在現(xiàn)實(shí)生活中是極少見(jiàn)的，是為了學(xué)習(xí)這個(gè)知識(shí)點(diǎn)人為設(shè)置的，學(xué)生真的認(rèn)可嗎？

鑒于學(xué)生對(duì)此情境的諸多困惑，筆者重新設(shè)計(jì)新的情境：黃老師和李老師需要通知合唱隊(duì)的隊(duì)員參加緊急演出。為了確保能通知到每一個(gè)隊(duì)員，他們決定采用打電話的方法，每人負(fù)責(zé)通知15名隊(duì)員。兩位老師決定進(jìn)行一個(gè)比賽，看誰(shuí)能用最短的時(shí)間通知到所有隊(duì)員。你能幫助黃老師贏得這個(gè)比賽嗎？

這樣的設(shè)計(jì)直接規(guī)定了通知方式，能避免無(wú)謂的討論，同時(shí)增加了比賽環(huán)節(jié)，讓學(xué)生感受到時(shí)間的緊迫性，從而明確最終目的——省時(shí)。

2.緊扣內(nèi)核，凸顯優(yōu)化本質(zhì)

如何在節(jié)省時(shí)間的前提下，設(shè)計(jì)出讓別人看得懂的方案，這對(duì)學(xué)生是一大挑戰(zhàn)。在表達(dá)形式上也應(yīng)以優(yōu)化為目的，因此，教師需要在語(yǔ)言表達(dá)和圖示表達(dá)等方面對(duì)學(xué)生進(jìn)行引導(dǎo)。

（1）逐一打：奠定優(yōu)化基調(diào)。五年級(jí)的學(xué)生，已經(jīng)積累了一定的生活經(jīng)驗(yàn)，基本都能直接排除“一個(gè)一個(gè)地打”這種方法。這說(shuō)明這種方法就沒(méi)有提及的必要了嗎？筆者認(rèn)為并非如此。“逐一打”的局限性在哪里？學(xué)生都知道是太慢。為什么慢？因?yàn)榇藭r(shí)只有教師一個(gè)人在打電話，沒(méi)有人幫他，導(dǎo)致很多時(shí)間的浪費(fèi)。學(xué)生在感知到這一層面的時(shí)候，會(huì)不自覺(jué)地往“有人幫忙一起打會(huì)更快”這個(gè)方向去思考，也為接下來(lái)的“同時(shí)打”模式奠定了基礎(chǔ)。

（2）同時(shí)打：開(kāi)啟優(yōu)化之門(mén)。學(xué)生在經(jīng)歷“逐一打”之后，最先想到的就是分組打，這也是大部分學(xué)生設(shè)計(jì)方案的主要思路。

一是平均分組，感知同時(shí)打的優(yōu)化。筆者這里并沒(méi)有規(guī)定學(xué)生的表示方式，目的也是希望學(xué)生通過(guò)自己的操作，從多種表示方式中尋求最優(yōu)的一種。無(wú)論是分成3組，還是分成5組，都可以大大縮減時(shí)間至7分鐘。關(guān)于這個(gè)7分鐘的來(lái)源，學(xué)生有一番探討。教學(xué)片段1。師：你們這個(gè)“3+4”是什么意思？“3”指什么？“4”又指什么？生：“3”是老師打電話通知3個(gè)組長(zhǎng)需要3分鐘，“4”是4個(gè)組長(zhǎng)每人通知4名隊(duì)員，又要4分鐘，而他們是同時(shí)打的，所以只要加一個(gè)4就行了。師：這個(gè)“4”，是最先接到通知的組長(zhǎng)打完電話的時(shí)間，還是最后一個(gè)組長(zhǎng)打完電話的時(shí)間？生：最后一個(gè)組長(zhǎng)，因?yàn)檫@時(shí)最先接到通知的組長(zhǎng)已經(jīng)打完電話了。師：也就是說(shuō)，最終需要多少時(shí)間，取決于最后打完電話的時(shí)間。這里強(qiáng)調(diào)“最后打完電話的時(shí)間”，是告訴學(xué)生一個(gè)信息：就算有人打完了，也要等其他人全部打完，所有人都接到消息才算結(jié)束。

二是差異分組，體會(huì)同時(shí)打的局限。教學(xué)片段2。師：同樣是分組打，老師這里有一個(gè)不一樣的方案，請(qǐng)這位同學(xué)跟大家說(shuō)說(shuō)想法。生：我發(fā)現(xiàn)同學(xué)1打完4個(gè)電話時(shí)，同學(xué)2還剩1個(gè)電話沒(méi)打，而同學(xué)3還剩2個(gè)電話，這樣同學(xué)1就空下來(lái)了，可以把同學(xué)3的1個(gè)組員分給同學(xué)1，這樣他們?nèi)齻€(gè)就可以一起打完電話，只需要6分鐘就可以了。師：同學(xué)們聽(tīng)懂他的設(shè)計(jì)方案了嗎？他為什么要把同學(xué)3的隊(duì)員分1個(gè)給同學(xué)1？生：因?yàn)橥瑢W(xué)1空下來(lái)了，就浪費(fèi)時(shí)間了。師：是啊，看來(lái)要節(jié)約時(shí)間，不光要同時(shí)打，還……生：不能空下來(lái)。

三是不空閑：反思優(yōu)化過(guò)程。教學(xué)片段3。師：剛才同學(xué)們說(shuō)不能空下來(lái)，回顧一下我們剛才的幾個(gè)方案，他們?cè)谀男┑胤嚼速M(fèi)時(shí)間了呢？又在哪一分鐘空閑下來(lái)了呢？師：為了不空下來(lái)，我們要怎樣做？生：每個(gè)接到電話的人都馬上幫忙通知下一個(gè)人，所有知道消息的人都要打電話。師：你能重新設(shè)計(jì)一下方案嗎？按照這樣的方法，我們一共需要幾分鐘就能通知到所有隊(duì)員？同樣是4分鐘，你更喜歡哪種表達(dá)方式，為什么？

最優(yōu)方案的設(shè)計(jì)是本節(jié)課的一個(gè)難點(diǎn)，學(xué)生一開(kāi)始很難想到“同時(shí)打、不空閑”這個(gè)優(yōu)化本質(zhì)，因此在對(duì)比的過(guò)程中不能一蹴而就，而應(yīng)循序漸進(jìn)引導(dǎo)學(xué)生逐步發(fā)現(xiàn)“有人空下來(lái)”這個(gè)問(wèn)題，從而歸納出“所有知道消息的人都在打電話”這個(gè)優(yōu)化核心。同時(shí)在方案的表示上也要時(shí)刻遵循優(yōu)化原則，用圖形、數(shù)字等符號(hào)簡(jiǎn)化設(shè)計(jì)方案，表現(xiàn)出變化規(guī)律，為模型的建立提供線索。

四是有空閑：加深優(yōu)化認(rèn)知。教學(xué)片段4。師：如果要通知16名隊(duì)員，至少需要幾分鐘？（5分鐘）為什么只多了一名隊(duì)員，就要多1分鐘呢？生：因?yàn)橥ㄖ?5名隊(duì)員至少需要4分鐘，這時(shí)候所有人都在打電話，沒(méi)有人空下來(lái)，所以通知第16名隊(duì)員時(shí)，還要再花一分鐘。師：看來(lái)這一分鐘是沒(méi)法節(jié)省了，那誰(shuí)給他打呢？其他人呢？生：可以隨便指定一個(gè)知道消息的人給他打電話，其他人只能空下來(lái)了。師：既然這5分鐘肯定要花了，那最多能通知幾個(gè)人呢？生：4分鐘的時(shí)候，加上老師一共有16人知道消息，第5分鐘最多可以再通知16人，一共通知到31人。

這一環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)，筆者將“不空閑”和“有空閑”對(duì)立起來(lái)，構(gòu)成沖突，讓學(xué)生面臨不是每次人數(shù)都正好的情境，這時(shí)即使“有空閑”，也是最優(yōu)方案。同時(shí)通過(guò)“第五分鐘最多可以通知幾人”的探討，讓學(xué)生體會(huì)到通知的人數(shù)是一個(gè)區(qū)間數(shù)，不是定值，體會(huì)“打電話”的靈活性。

3.深度建模，提煉優(yōu)化方法

“打電話”優(yōu)化方案中蘊(yùn)含著一個(gè)數(shù)學(xué)模型，可以用數(shù)學(xué)符號(hào)構(gòu)建模型，表示其中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，也就是說(shuō)，我們不能為了優(yōu)化而優(yōu)化，而應(yīng)通過(guò)模型的構(gòu)建引導(dǎo)學(xué)生尋找解決問(wèn)題的策略。

（1）數(shù)形結(jié)合，深入分析數(shù)據(jù)。在設(shè)計(jì)方案時(shí)，學(xué)生通過(guò)對(duì)比，會(huì)選擇用圖示法來(lái)呈現(xiàn)。在用圖形和數(shù)字表示的時(shí)候，教師要提示學(xué)生表示出數(shù)量之間的關(guān)系和變化規(guī)律，將數(shù)據(jù)整理成表格的形式，數(shù)形結(jié)合，便于更直觀地發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律。

在整理時(shí)，表1的每一個(gè)數(shù)據(jù)都應(yīng)和圖示對(duì)應(yīng)起來(lái)，比如第三分鐘新通知4人，在圖中指的是哪一塊？第4分鐘已經(jīng)通知15人，又是指向哪里？只有弄清楚這些，深入溝通數(shù)據(jù)和圖形之間的關(guān)系，才能更好地發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律。

（2）發(fā)現(xiàn)規(guī)律，感受幾何倍增。通過(guò)觀察—猜想—驗(yàn)證—?dú)w納，學(xué)生很容易發(fā)現(xiàn)其中隱藏的規(guī)律：新通知人數(shù)和共知道總?cè)藬?shù)，每一分鐘都在乘2，是因?yàn)榍耙环昼娭赖娜藬?shù)，后一分鐘都在打電話;已經(jīng)通知總?cè)藬?shù)要比共知道總?cè)藬?shù)少1，這個(gè)1指的是老師。這里面的關(guān)鍵是感受幾何倍增，而且這種倍增隨著時(shí)間的變化，對(duì)全局的影響也呈幾何增長(zhǎng)，是一種神奇的力量。

（3）深度建模，抽象優(yōu)化策略。規(guī)律的發(fā)現(xiàn)不是難事，如何將其抽象成數(shù)學(xué)模型才是挑戰(zhàn)。這里不要求學(xué)生能用“N分鐘一共可以通知2的N次方減1”這種表述方式，理解意思即可。完成建模后，教師還要為學(xué)生提供運(yùn)用模型解決問(wèn)題的機(jī)會(huì)，增加課堂練習(xí)，鞏固學(xué)生對(duì)模型的認(rèn)知，體驗(yàn)?zāi)Ｐ蛯?duì)于提高效率、優(yōu)化策略的作用。構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，一方面可以促進(jìn)學(xué)生對(duì)優(yōu)化方案的理解和應(yīng)用，提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力;另一方面，從優(yōu)化方案中構(gòu)建模型，本身就是優(yōu)化的過(guò)程，可以提煉出解決類(lèi)似問(wèn)題的一般方法，提高優(yōu)化的運(yùn)用廣度和深度。

4.思辨升華，感悟優(yōu)化思想

（1）思辨方案，分析可行性。整節(jié)課的學(xué)習(xí)都圍繞“打電話”最優(yōu)方案的尋求展開(kāi)，但是學(xué)生也不免有疑惑，這個(gè)方案真的切實(shí)可行嗎？它的可操作性又如何？怎樣保證在通知的時(shí)候不會(huì)重復(fù)打或漏打呢？對(duì)此，教師應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生大膽質(zhì)疑，同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生從不同角度對(duì)方案進(jìn)行綜合評(píng)估，不能單一考慮某一方面因素，要從中選擇最合適的方法，這才是真正的優(yōu)化。只有這樣，學(xué)生對(duì)優(yōu)化思想才有比較具體的理解和感悟，為優(yōu)化思想的運(yùn)用打下扎實(shí)基礎(chǔ)。

（2）升華思想，感悟便捷性。在課堂總結(jié)時(shí)，教師可讓學(xué)生暢談對(duì)優(yōu)化的理解，借此讓學(xué)生充分理解數(shù)學(xué)知識(shí)之間、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間、數(shù)學(xué)與生活之間的聯(lián)系，感悟運(yùn)用數(shù)學(xué)思想解決實(shí)際問(wèn)題的便捷性，提高解決問(wèn)題的能力。

三、結(jié)語(yǔ)

總之，數(shù)學(xué)課程優(yōu)化思想滲透教學(xué)實(shí)踐要做到抽離困惑，明確優(yōu)化目的;緊扣內(nèi)核，凸顯優(yōu)化本質(zhì);深度建模，提煉優(yōu)化方法;思辨升華，感悟優(yōu)化思想。除了優(yōu)化思想，“打電話”還蘊(yùn)含了很多其他知識(shí)點(diǎn)，比如符號(hào)意識(shí)、建模思想、轉(zhuǎn)化思想、推理能力等。同樣，優(yōu)化思想又不止體現(xiàn)在這個(gè)課時(shí)，很多知識(shí)點(diǎn)都有優(yōu)化的體現(xiàn)。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，教師要時(shí)刻記得溝通知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，構(gòu)建知識(shí)體系，讓學(xué)生學(xué)會(huì)綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)思維思考問(wèn)題、解決問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力和自主探究能力，提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

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Separation， Fastening， Depth and Speculation： the Infiltration of Mathematics Curriculum Optimization Thought into Teaching Practice

Huang Zhuqing

（Renhe Central Primary School， Yuhang District， Hangzhou City， Zhejiang Province， Hangzhou 310000， China）

Abstract： "Calling" is a knowledge point of "synthesis and practice"， it contains a large amount of information， carries a lot of mathematical ideas and has a high content of thinking， there are often some difficulties in the teaching of this content， such as low student participation， unable to think deeply， shallow exploration and so on. Guided by the optimization thought and through the sorting and analysis of teaching materials， this paper advocates that on the premise of extracting confusion from the situation， closely follow the optimization core in "calling"， experience the optimization process in comparison， build an optimization model， sublimate the optimization thought in speculation， let students truly understand the mathematical thought contained in solving problems and accumulate mathematical experience， improve the core competence of mathematics.

Key words： mathematics teaching; optimization thought; infiltration; calling; modeling; core competence