例析間接證明的分類解題方法

肖碧

摘 要：隨著人們的思想覺悟和認知水平不斷地更新和進步，高中數學知識面更得到了不斷的拓展，也給教育的改革與發展注入了新的元素，培養會學數學、愛學數學、主動學數學的人才逐漸成為教育的目的，本文歸納從間接證明進行分兩類舉例分析問題，間接證明為不是直接從原命題的條件逐步推得命題成立，像這種不是直接證明的方法通常稱為間接證明。

關鍵詞：間接證明;否定性;唯一性;高中數學

一、否定型命題的間接證明

關鍵點：對于結論否定型命題，由于要證的結論為否定式，一般正面證明過程繁瑣而且容易遺漏，則可以考慮用反證法.一般當題目中含有“不可能”“都不”“沒有”等否定性詞語時，則適宜采用反證法證明.

例1：平面內有四個點，并且任意三個點不共線，請證明：以任意三點為頂點的三角形不可能都是銳角三角形.

分析：選取四點中的三點為三角形的頂點，則另一點在該三角形內部或外部，在內部用圓周角為360°推出矛盾，在外部用四邊形內角和為360°推出矛盾.

證明：假設以任意三點為頂點的四個三角形都是銳角三角形，則四個點為A、B、C、D，對于△ABC，考慮點D在△ABC內部和外部兩種情況.

（1）如果點D在△ABC內部（如構圖1），根據假設知道圍繞點D的三個角∠ADB、∠ADC、∠BDC都小于90°，其和小于270°，這與一個周角等于360°矛盾.

（2）如果點D在△ABC外部（如圖2），根據假設知∠BAD、∠ABC、∠BCD、∠CDA都小于90°，即四邊形ABCD的內角和小于360°，這與四邊形內角和等于360°矛盾。

點評：用反正證明否定型命題時，要特別注意將否定性結論改為肯定性結論，然后再推理證明進一步得出矛盾.

二、唯一性問題的間接證明

關鍵點：用反證法證明“唯一性”問題的方法，“唯一性”包含“有一個”和“除了這個外沒有另外一個”的兩層意思.在證明后一層意思時，采用直接證明會很困難，在一般情況下會采用間接證明方法，也即用反證法來證明.

例2：證明：在平面上所有通過點的直線中，至少通過兩個有理點（有理點指坐標x、y都為有理數的點）的直線有且僅有一條.

分析：可以分兩步證明，首先證明存在性，然后證明唯一性.

證明：

（1）存在性.

因為直線y=0顯然通過點，且直線y=0至少通過兩個有理點，如它通過點（0，0）和（1，0），這說明滿足條件的直線存在.

（2）唯一性.

則由（3）得到，且k是不等于零的有理數，由（1）得到，此式的左邊是無理數，右邊是有理數，顯然等式不成立.所以假設不成立，平面上除了直線y=0之外不存在其它直線既通過點，又至少通過兩個有理點。

綜上所述，滿足上述條件的直線有且僅有一條.

點評：“有且僅有一條”的含義有兩層：（1）存在;（2）唯一.證明存在性只需要找到一條滿足的直線即可，而唯一性的證明，可以采用反證法假設還有其他滿足條件的直線，根據直線經過的定點設出直線的方程，然后聯立方程組，經過整理，得出矛盾，從而說明假設不成立，即“僅有一條”。

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