重視因果表達 提升推理能力

邵蓓瑜

【摘? ?要】推理是思維的基本形式之一。數學教材中有很多內容都可以作為培養學生推理能力的材料，習題中也能挖掘出可以引導學生由已知信息出發逐步得到結論的推理素材。以“角的度量”單元中的一組習題為例，教師在教學中要幫助學生掌握以下方法：處理好已知與結論的關系;重視隱含的已知信息;學會用“因果”關系進行表達的方式，讓學生逐步形成“用數學的思維思考現實世界”的核心素養。

【關鍵詞】角的度量;因果表達;數學思維;推理意識

推理是一種基本的思維形式。推理意識，是數學核心素養在小學階段的具體表現形式之一。小學階段的數學教學，不要求學生用規范的語言、符號表達推理過程，但要重視培養學生的推理意識。讓學生經歷思考的過程，體會解決問題時要從已知條件出發，一步一步有條理、有根據地找到答案，是培養學生推理意識的重要方式。

教學中，教師要有意識地讓學生經歷尋找已知條件和問題之間聯結的過程，感受推理的完整性和嚴密性，由此讓學生在解決具體的數學問題時，不僅能明確思維的方向，還能按照數學知識的邏輯順序展開分析。以“角的度量”單元中的一組習題為例，說說如何幫助學生養成有條有理思考、有根有據表達的習慣。

一、學習材料分析

作為一種基本的思維形式，推理無處不在。教學時，教師會引導學生經歷推理過程。但一般來講，教師在新課教學中會關注對學生推理意識的培養，而在練習中卻對此有所忽視。其實，有很多練習內容都可以成為培養學生推理意識的好材料。

如人教版教材四年級上冊“角的度量”單元“練習七”中的三道習題：習題4、習題7、習題15。習題4旨在引導學生通過測量、比較，發現“對頂角相等”這一事實，為后續學習積累基本經驗;習題7旨在引導學生借助隱含信息（平角），得出未知角的度數;習題15旨在引導學生借助題目體驗“說理”的過程。教學這三道題，不僅可以從內容的視角出發解決問題，也可以從培養學生推理意識的視角出發，通過對習題的加工重組，使其成為提升學生推理意識的好素材。

比如習題7的第（1）小題，要解決“∠1=70°，那么∠2=（ ）”這個問題，需要先找到它的一個“隱含的已知信息”，即平角是180°。教學時如果能夠喚醒學生在解決問題中積累的“根據兩個或兩個以上已知信息，才能找到問題答案”的經驗，就能讓學生感知到“從已知到結論”的推理基本結構。而要解決第（2）小題“已知∠1=40°，那么∠2=（ ），∠3=（ ），∠4=（ ）”，學生需要經歷以下思考過程：①在多個信息中根據“已知與結論”的因果關系，選擇“有關的平角”和“已知角”算出未知角。②借助“中間問題”搭建問題解決的橋梁。如根據已知的∠1的度數，計算∠3的度數時，∠2或∠4的度數就是“橋梁”。③得到答案解決問題。教師如果能夠引導學生將以上思考過程顯性化，則能讓學生更好地體會是“根據什么得到結論”的，從而讓推理意識得以萌發。

從以上分析中可知，這組習題既能對接學生解決問題的推理經驗，又能幫助他們借助直觀的數量關系體會“根據已知得到結論”的推理過程。因此可以按照“認識簡單推理—再認識稍復雜的推理—建立思維方法”的過程重新編制習題組，為培養學生的推理能力服務。

二、教學過程闡述

（一）經歷從已知到結論的推理過程

要讓學生經歷從已知到結論的推理過程，首先要引導其理解什么是已知，什么是得到的結論，并學習怎樣根據已知得到結論。

1.明確什么是已知、什么是結論，體會什么是推理

教師呈現圖1，引導學生思考：一條直線與另一條直線相交，已知∠1的度數，可以得到∠2的度數嗎？

師：如果∠1=70°，那么∠2是多少度？你是怎么想的？

生：∠2=110°。

生：你看圖上∠1+∠2=180°，而∠1=70°，所以∠2=180°-70°=110°。

師：這道題目中已經告訴我們的信息是什么？

生：已知∠1=70°。

師：根據這一個已知條件就能得到答案嗎？∠2是怎么算出來的？

生：不是的，還有一個已知條件是180°。

師：咦，這個180°是哪兒來的？

生：圖上∠1+∠2組成了平角，也就是180°。

師：有了∠1+∠2=180°和∠1=70°這兩個信息，就能算出∠2=110°，也就是說，這道題中有兩個已知條件，一個是直接告訴我們的，另一個是藏在圖形中悄悄告訴我們的。

教師調整圖1中兩條直線之間的傾斜度，再次提問：如果已知∠1=30°，那么∠2=（? ?）。在學生解決這一問題后繼續問：如果∠1=□，在□里填小于180°的任何一個數，那么你能知道∠2=（? ?）嗎？讓學生體會不管∠1是幾度，∠2始終是180°-∠1。

之后教師引導歸納“以上求∠2的過程中有什么共同的地方”，并根據談話明確指出：“一般情況下，我們至少要根據兩個信息才能得到一個問題的答案，這兩個信息無論是直接告訴我們的，還是藏起來要我們去發現的，都叫已知信息，求出的答案則叫結論。由已知信息推導得出結論的過程，我們稱為推理。”

以上過程意在讓學生明確獲得結論是需要已知信息的，已知信息包含直接告知的信息和隱含的信息，體會根據已知信息推導得出結論的過程就是推理。這為幫助學生形成“有條有理思考，有根有據表達”奠定了基礎。

2.經歷根據已知推導結論的過程

（1）教師呈現圖2，并出示問題：已知∠1=40°，那么∠2=_______________，∠3=____________，∠4=______________。請學生獨立解答并記錄思考過程。

教師呈現學生的解答（如圖3），引導質疑：“∠2多少度”明明是要求的問題，怎么在計算∠3的時候卻作為已知信息來用呢？

生：在計算∠3的時候，∠2=140°已經算出來了，就是已知信息了。

師：像這樣既是結論，又是解決其他問題的已知信息的情況，還有嗎？

根據學生的回答逐步形成板書內容（如圖4）。

如上，學生在解決問題的過程中，感知到通過計算得出的∠2的度數不僅是問題的結論，還可以在后續的問題解決中作為新的已知信息來使用，進一步體會已知、結論的相對性。

（2）教師繼續引導學生：“觀察圖2，我們除了得到∠2=140°，∠3=40°，∠4=140°的結論外，還有什么發現？”

生：我發現∠3=∠1，∠2=∠4。

師：你是怎么得到∠3=∠1，∠2=∠4這個結論的？

生：因為∠2和∠4都等于140°，所以∠2=∠4，同樣∠1和∠3都等于40°，所以∠3=∠1。

生：因為∠1+∠2=180°，∠2+∠3=180°，∠1和∠3都加了∠2，所以∠1=∠3。∠2和∠4也一樣，因為它們都加了∠3等于180°，所以∠2=∠4。

師：看來使用不同的信息也能推出同樣的結論∠1=∠3，∠2=∠4。

通過以上過程學生體驗到：幾個角的度數是根據已知信息計算得到的結論，這些結論又可以作為已知信息，得到新的結論∠3=∠1，∠2=∠4;不同學生使用不同的信息能推出同樣的結論，推理的過程具有不唯一性。

推理包含已知信息、結論和推理的過程。教師通過不斷追問，讓學生體會到根據已知信息得出結論的過程就是推理的過程，通過讓學生表達推理過程，幫助學生逐步形成“有理有據”得出結論的習慣。

（二）學習根據已知得出結論的推理方法

通過推理解決問題時，常見的方法有綜合法與分析法。綜合法就是一種從已知到結論的邏輯推理方法，也就是由因到果的證明方法;分析法是一種從結論到已知的邏輯推理方法，也就是執果索因的證明方法。分析法的證明路徑與綜合法相反。雖然小學階段不要求學生進行嚴格的數學證明，但讓學生體驗推理的嚴密性和推理方法的多樣性也是培養學生推理意識的重要途徑之一。

1.綜合法

教師呈現圖5，引導學生質疑：要求4個角的度數，但圖中沒有任何信息，合理嗎？

生：圖中有信息。∠1+∠2=180°，∠2+∠3=180°，∠3+∠4=180°，∠1+∠4=180°都是藏起來的已知信息。

師：根據他發現的信息，能推出什么結論？

生;∠1=∠3，∠2=∠4。因為∠1+∠2=180°，∠2+∠3=180°，∠1和∠3都是加上∠2以后為180°，所以∠1=∠3。同理，∠2=∠4。

師：能計算出這4個角的度數嗎？

生：不能，還需要知道1個角的度數。

師：你想知道哪一個角的度數？為什么？

生：都可以，不管哪個角，都可以結合平角這一信息，推出其他角的度數。

……

通過思考“根據兩條相交直線中的已知信息能得到什么結論”“需要什么信息能得到4個角的度數”等問題，學生知道了每一步推理都是根據相關信息得出結論的過程。同時也發現，要知道圖5中各個角的度數，只要給出1個角的度數即可，因為根據一條信息可以不斷產生新的結論和信息，由此獲得開放的、發散的結論（如圖6）。這種用綜合法解決問題的思維方式，是學生今后進一步學習推理和解決復雜問題的重要基礎。

2.分析法

教師呈現圖7，并提出問題：圖中的∠1和∠2相等嗎？請說明理由。

師：要知道∠1和∠2是否相等，需要哪些已知信息？

生：如果知道∠1和∠2各多少度就可以了。

生：可以量出∠1和∠2的度數，通過比較就能知道∠1和∠2是否相等。

生：不量也可以。圖中有兩個長方形，長方形的每一個角都是90°。從圖中可以看出，∠1+中間的這個角=90°，∠2+中間的這個角=90°，也就是說，因為∠1和∠2分別加上中間這個公共的角都等于90°，所以∠1=∠2。

師：剛才是哪個信息幫助我們得到∠1=∠2？

……

以上過程就是學生用分析法，從結論入手，尋找能夠支撐結論成立的條件，一步一步解決問題的過程。他們借助已知和結論之間的因果關系，在圖形的支撐下，經歷“從已知信息出發思考能推出什么結論”和“從結論出發尋找需要的已知信息”的思維過程，深刻體會到得到結論需要有據可依。這一過程促進學生的思維方式由單一走向多元，由封閉走向開放，讓學生的數學思考力得以提升。

三、實踐后的思考

核心素養的培育不可能一蹴而就。培養學生的推理意識，提升其數學思考力同樣需要經歷漫長的過程。在這個過程中，無論是新授課還是練習課，教師都需要幫助學生掌握以下幾個方法。

（一）處理好已知與結論的關系

推理是根據已知條件逐步推導得出結論的過程，處理好已知和結論之間的關系能讓思維更清晰。教學中，教師要重視讓學生在實踐中體會、感受什么是已知條件，什么是結論。特別是在推理過程中“得出的結論”又可以作為已知信息運用到后續推理的過程中，得到新的結論。從本案例的教學中可以看出，如果選材合適，教學處理得當，學生不但可以理解什么是已知條件，什么是得出的結論，也可以理解“藏起來的已知條件”也是已知條件，前面推理得出的結論同樣可以作為后續推理的已知條件，感受已知與結論的相對性和關聯性。

（二）重視隱含的已知信息

隱含的已知信息是題目中含而未露，需要學生從與數學題目相關的概念、性質等角度去發現的信息。隱含的已知信息往往是問題解決的關鍵。在教學中，教師要重視幫助學生將隱含信息顯性化，體會隱含信息在問題解決中所起的作用。這為學生在今后的學習中，主動加強對概念、性質等基礎知識的理解，靈活地看待已知與結論的關系，是大有裨益的。

（三）學會用“因果關系”進行表達的方式

學生要闡述自己的結論，解釋結論得出的過程，就需要運用有理有據的表達方式。學生在數學學習中普遍存在“會算不會說”的現象——這里的“說”指的是運用合適的數學語言（口語或書面語）與他人交流的表達方式。教師可以借由非常明顯的具有因果關系的問題，引導學生使用因果關系詞匯，如“因為……所以……如果……那么……”等。這些詞匯能夠幫助學生厘清思路，形成“有條理地思考，有根據地表達”的數學素養。

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（浙江省溫州市永嘉縣實驗小學? ?325100）