培養中學生數學建模能力的實踐與思考

吳貽贊

【摘要】通常認為，數學建模是將現實中的問題抽象出數學模型，再通過構建的模型來預測或解決相關問題，數學建模作為現行教育目標之一，充分體現出一個學生的綜合運用知識能力和創造力。本文由一道三角函數應用題為背景，引導學生通過讀題、聯想、計算到構建數學模型這一具體的建模實踐過程，探究在課堂教學中如何多方面、多途徑培養學生的數學建模能力。

【關鍵詞】數學建模;數學核心素養;數學思想

數學建模作為現行教育目標之一能充分體現一個學生綜合運用知識的能力，并且能體現一個人的創造和創新能力，因此，越來越受到國內外教育專家的重視。通常認為，數學建模是將現實生活中的問題抽象出數學模型對未來相關量進行預測和預報。然而，建模過程相對復雜，思維跨度比較大，同時受多種因素制約，學生對建模信心不足、興趣不高。本文通過一道三角函數應用題教學事例為切入點，探討在課堂教學中如何多方面、多途徑培養學生的數學建模能力。

一、課堂教學簡錄

1.創設情境，引向建模

通過上一節課的學習，學生知道運用三角函數模型可以刻畫勻速圓周運動、簡諧運動和交流電流變化現象，體會到數學的應用性。那如何將現實中的問題抽象出數學模型，運用模型來解決相關問題呢？結合學生認知特點，創設簡單實際的生活事例情境，獲得學生最大關注，激起學生對問題的探究欲望。

師：生活中存在很多周而復始的現象，通過前面的學習，我們知道可以通過三角函數模型來刻畫這一變化規律。現實中有這樣一個問題：海水受日月引力的作用，會發生潮起潮落。受潮起潮落的影響，碼頭水深與當天時間有一定關系，同學們能否通過收集數據建立起水深與時間的關系？探討一下，如果你是船長的話，知道船的安全吃水深度（船底與水面的距離）能否計算，船何時回港口是安全的？

學生陷入思考中。

2.閱讀領悟，提煉建模信息

接下來，以教材為根本，首先給足時間讓學生閱讀新教材必修第一冊第245-246頁例題2，再次通過有目的的提問，引導學生思考。

師：請大家閱讀第245-246頁例題2。例2：海水受日月的引力，在一定的時候發生漲落的現象叫潮。一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐。在通常情況下，船在漲潮時駛進航道，靠近碼頭;卸貨后，在落潮時返回海洋。

選用一個函數來近似描述這一天該港口的水深與時間的關系，給出整點時水深的近似值（精確到0.001m）。

師：這是一道實際應用題，需要我們把它轉化成數學模型，然后利用模型來預測整點時刻水深，這就是通常所說的數學建模。通過閱讀，我們要研究的是什么問題？

生1：預測整點時刻，某港口水深。

師：有上表收集的數據，結合變化規律，能否預測某整點的水深？

生2：可以。

生3：不行，不夠準確，只是估計與猜測，偏差大。

師：上表收集的數據是具體時刻與對應的水深，這里要研究的也是時刻與水深兩變量關系，表格也是表示變量關系的一種形式，但它不能很好地刻畫變量之間的變化趨勢與準確關系，也就無法相對準確地對因變量進行預測，那怎樣才能達到比較準確地預報呢？

生4：求出函數關系式，利用函數關系式進行預測。

師：非常好，接下來，我們構建時刻與水深的函數關系式。

3.思考與計算，構建模型

師：如何構建時刻與水深的函數關系式？

生5：收集數據。

生6：把收集到的數據進行整理，便于觀察它們的變化。

師：很好，這是我們進行研究的兩變量，甚至多變量關系的前提，要從實際中收集數據，數據收集越多越精確就越貼近真實性，通過大量的數據整理分析，由具體量化尋找他們內在的聯系，那又如何比較便捷直觀地觀察量的變化，確定量之間的關系呢？

生7：通過列表畫圖。

師：很好，畫圖，圖象直觀易觀察，準確說，是畫它們的散點圖，因為我們收集的是離散的數據。題中已收集了一些數據，大家可以利用已有數據畫出散點圖。

在教師的啟發下，學生畫出散點圖。（以橫軸表示時刻，縱軸表示水深）

師：我們作出兩變量的散點圖后，同學們思考下，這些點呈什么樣的分布？大致在什么函數圖象上波動？也就是說用數學函數模型刻畫出兩者關系？

學生有的在思考，有的在討論。

生8：點上下波動，用正弦函數來刻畫。

生9：用余弦函數來刻畫。

生10：他們說的都不對，這些點不是分布在正弦、余弦函數圖像上，可以看成是正弦函數圖像進行伸縮平移變化得到的，可以擬定兩者函數關系為。

師：很好，可以看出在函數“”圖像上波動，我們擬定時刻與水深的數學模型為。

師：接下來，我們通過收集數據計算出題中參數。

學生在教師引導下選取數據并結合相關知識計算出參數，得到具體的函數關系式。由于學生的差異性，算出的結果可能不同，這就要求學生返回檢查重新計算，同時也存在學生認知的差異性。學生擬合的數學模型有所不同，甚至得出錯誤的結論。所以，我們還要引導學生對所構建的模型進行檢驗，發現與事情相悖的，倒回第一步，重新構模型。

4.拓展運用，體驗建模意義

在師生共同的探究下，得出某港口某天水深與時刻可用近似來描述。

師：通過構建的函數，大家預測下整點時刻8：00，14：00，16：00此處港口的水深。

學生通過計算器計算出相應時刻對應的水深，親歷建模過程，體會到利用科學知識構建數學模型來預測量相對準確性，體驗收獲成功的喜悅，激勵學生對問題的探索。

二、關于課堂教學中培養學生建模能力的認識與思考

1.創設情境，激發學生求知欲與建模興趣

培養數學建模素養首先要激起學生對問題的興趣與產生解決問題的欲望。因此，在課堂教學中，教師要根據課堂內容與學生心理特點，設置故事、問題式、懸疑式等相關情境教學，獲取學生最佳注意力，引起學生對問題的興趣，激發學生去解決問題的欲望，調動學生的積極參與。

通過設置情境，拋出問題，引發學生思考，激發學生的求知欲。讓學生對學習目標更加明確，并初步了解數學建模意義。但是如何建模，大部分學生的思路是模糊的，怎么將現實問題轉化成我們的數學模型？學生表現出濃厚興趣的同時又感到抽象而陌生。這就需要教師進一步引導，通過問題情境引入問題，導向本節課目標，為下一步數學建模進行鋪墊。

2.改進教學形式與評價體系，激勵學生大膽探索

數學建模在于對知識的構建與運用，重在學生的參與，將課堂單一教學形式變成開放式、活動式、探索式、實踐式多種師生交融性教育，讓每個個體在教師的引導下參與討論問題與解決問題，亦可通過小組合作、師生互評、生生互評的形式發揮學生主體性，讓課堂變成生動活潑、交流合作、自主構建知識、創造性發展的課堂。

改變教師對學生單向單一的學習評價，教學上要讓學生敢于質疑、參與討論，激勵學生對問題進行大膽的猜想，如何抽象函數模型，鼓勵學生通過所學的儲備知識對問題進行聯想，大膽設想出模型，并參與討論和論證。同時，讓學生用構建的模型來預測相關問題或解決實際問題，體驗勞動成果，獲得成功的滿足感，讓學生在數學建模上取得更大的信心。

3.重視知識積累歸納與運用

由于數學建模將現實問題抽象成數學模型，考查學生綜合運用知識能力與抽象能力，思維跨度性大，這就要求學生對知識的牢固掌握與靈活運用。學生儲備知識的豐富性及對知識的運用對建模起到重要作用，是數學建模的根基，因此，對數學基本知識、基本技能的掌握不可忘本逐末。在培養學生建模素養時，要注重學生對知識的歸納與總結、對方法的提煉，適當引起學生回憶學過的基本函數類型有哪些？求解函數解式方法有哪些，等等。只有在腦海中有了相關數學問題與模型才能將實際問題轉化抽象出數學模型來。因此，數學建模能力的培養要從打下牢固基礎知識開始。

4.提高學生讀想算基本能力

數學建模過程大致要經過以下過程：讀題—抽象（猜想）數學模型—確定（計算并檢驗）數學模型—數學模型應用，如下圖所示：

在課堂教學中，多樣式、多方法豐富學生閱讀，加強學生抽象思維能力與計算能力的訓練，來發展學生的數學建模能力。

首先要通過閱讀、審題提取題中的重要信息，讀懂題是解決問題的前提，數學建模問題，往往給出現實生活中的實際問題，內容可能包括理、工、農等學科相關知識，涉及范圍廣、綜合性強，變量隱于其中，變量之間關系不明確，對學生閱讀理解的能力要求高。教學上，要有目的地培養學生自主閱讀理解能力，克服畏懼心理，鼓勵學生在閱讀后大膽發表自己的觀點與想法，通過提問的方式引導學生抓住題中重要信息;也可以通過小組討論合作的方式互幫互助、取長補短，提高閱讀能力;也可以通過設置有趣的情境活動，先粗讀再細讀，喚醒學生閱讀興趣，提出有用信息。初步明確要研究的量，為后續建模打下基礎。

其次，鼓勵學生結合知識儲備大膽聯想出數學模型，用數學關系式或思想方法去概述現實生活問題。對初學的學生來說，缺乏方向性和操作性，思維跨度大，將具體問題一步抽象出數學模型也是不符合實際的。教師要明白建模的具體步驟，過程細化到可操作性。例如，通過散點圖形式將抽象問題具體化，讓學生有依可想，想得明白，想得出來。從而逐步培養學生的抽象概括能力。

最后，明晰運算對象，依據運算法則計算出擬合模型中的相關參數，對數學模型進行辯證思考，是否合理性、有無缺失問題、存在的偏差等，對問題進行思考論證，對于不切實際的、錯誤的問題，要返回重新進行擬合關系，重復上述過程直到問題解決。在這一過程中，學生需要正確面對理論與實際生活中存在的偏差問題。

數學建模是將實際問題通過提煉概括抽象構建并計算出數學模型，再利用模型解決相關問題這樣一系列的實踐過程，過程復雜而抽象，是學生對知識綜合運用和創造力的重要體現。提高學生數學建模素養，應遵循循序漸進的原則，不能一蹴而就，應從提高學生興趣與意識著手，著重提高基本知識與基本技能，遵從學生的認知特點。這是一個由易到難、逐步提高的過程。

參考文獻：

[1]教育部.普通高中數學課程標準（2017年版）[S].人民教育出版社，2018.

[2]孫宏安.數學高考試題情境設計分析[J].中學數學教學參考（上旬），2019（1）：6.

[3]邵光華，蔣周渠.數學建模素養評價模型與案例分析[J].中學數學教育（高中版），2020（4）：3-10.

責任編輯? 梁國勝

1959501705340