高中數學教學中數學運算素養的培育淺思

安宏

[摘 ?要] 在數學學科核心素養的六個要素中，與學生關系最密切、學生最熟悉，同時又有著較大培養空間的要素是數學運算. 在核心素養培育的背景下，數學運算也包含著關鍵能力的培養要求，因此在培育學生的數學運算素養時，教師應當有更多的理解、更多的實踐，以及更多的反思. 數學運算中的邏輯關系可以幫助學生深化數學知識理解、建構數學知識體系、形成數學運用能力;高中數學視野下的數學運算所蘊含的組合、推理等思維，反映著集合之間的映射，反映著函數所蘊含的對應法則.

[關鍵詞] 高中數學;核心素養;數學運算

當核心素養的概念被正式提出后，高中數學教學就一直面臨著一個基本的任務，那就是如何讓核心素養落地. 在數學這門具體的學科中，需要培養的是核心素養的下屬概念，也就是數學學科核心素養. 《普通高中數學課程標準（2017年版）》以六大數學學科核心素養要素為主題，明確了數學學科核心素養的組成部分，這些要素分別是數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算、數據分析，并且新課標強調數學學科核心素養是育人價值的集中體現，是學生通過學科學習而逐步形成的正確價值觀念、必備品格和關鍵能力. 那么在具體的教學過程中，這些核心素養要素如何能夠得到有效的培養呢？筆者以為這與具體的核心素養要素有關. 比如，要培養學生的數學抽象素養，那就應當給學生提供一些形象的事例讓學生去完成抽象. 相比較而言，在數學學科核心素養的六個要素中，與學生關系最密切、學生最熟悉，同時又有著較大培養空間的要素是數學運算. 可以說從學生開始接觸數學學科的那天開始，數學運算就已經正式走入了學生的思維，義務教育階段的數學學習，很大程度上就是數學運算的學習;到了高中學段，數學運算被賦予了更多的內涵，尤其是在核心素養培育的背景下，數學運算也包含著關鍵能力的培養要求，因此在培育學生的數學運算素養時，教師應當有更多的理解、更多的實踐，以及更多的反思.

數學運算素養的培養價值

對于高中學生而言，在數學學習的過程中培育數學運算素養有著什么樣的意義和價值呢？弄清楚這個問題，是數學運算素養得以培育的基礎. 需要指出的是，數學運算不同于數學計算，不只是簡單的加減乘除或者其他的算式算法，在高中數學的知識體系里，數學運算能幫助學生尋找數學概念之間的聯系、發現數學規律，因此可以說培養數學運算能力是提升學生核心素養的關鍵. 在課堂教學中，教師應著力培養和提高學生的數學運算能力，使他們熟練掌握運算技巧，并以此夯實基礎. 具體地說，數學運算素養的培養價值主要有如下兩個方面：

一是數學運算中的邏輯關系可以幫助學生深化數學知識理解、建構數學知識體系、形成數學運用能力. 形成這一理解意味著認識到了數學運算所具有的工具性作用，事實上，很多數學概念之間的聯系都可以在數學運算的過程中得以體現，學生也總能夠通過數學運算去發現這些聯系，并且建立起規律性的認識. 只不過在日常的教學中，教師與學生往往追求的都是數學運算的結果而不是過程，導致數學運算的過程所具有的營養價值也就流失了.

二是高中數學視野下的數學運算所蘊含的組合、推理等思維，反映著集合之間的映射，反映著函數所蘊含的對應法則. 認識到這一點，也就意味著認識到了數學運算所具有的功能性作用. 從高中數學知識體系的角度來看，假如沒有數學運算，那么作為最重要的函數知識及其思想，就很難支撐起整個高中數學知識體系的大廈. 從這個角度來看，任何一個數學知識的教學，都可以培育學生的數學運算素養.

認識到以上兩個方面，在具體的教學過程中，教師也就有了有效的施力點，從而可以讓數學運算素養落地得到真正的保證.

數學運算素養的培養途徑

更加精細的研究表明，數學核心素養中的數學運算素養主要包括理解運算對象、掌握運算法則、探究運算思路、選擇運算方法、設計運算程序、求得運算結果，因此具體的數學運算素養的培養就可以從以上幾個方面進行.

例如，“用‘二分法’求方程的近似解”這一知識的教學中，如果先分析學生的認知基礎，就會發現絕大多數學生都認為方程是應當求精確解的，求近似解有什么意義呢？這時教師可以向學生提供一些方程，如lnx+2x-6=0. 當學生看到這個方程后，自然會發現用一般的方法無法求出方程的精確解. 在這種情況下，教師先不要把“二分法”介紹給學生，而是讓學生通過自主學習和合作學習進行探究.

教學實踐表明，在這個環節盡管絕大多數學生并不能一下就找到解方程的方法，但是他們會自然而然地形成一種解題思路，那就是用具體數取代未知數，這時學生進行的數學運算過程就是：先估計一個x的值，然后去計算lnx，6-2x的值分別是多少;如果lnx和6-2x的值差距較大，那么學生就會判斷應當將估計的x的值增大或者減小，這時有可能出現的情況是增大或者減小得太多，反而使得結果偏差更大，那么學生就會相應地修正自己的猜想，直到最終得到一個相對精確的結果.

經歷了這樣一個過程學生就會發現，原來對于一些特殊的方程而言，求其近似值是有意義的. 更重要的是，在這樣的學習過程中，學生通過自己的摸索，實際上已經初步接觸了“二分法”的運用本質. 因為在這樣的過程中，學生的思維在逐步完善：從估計開始，再去判斷，然后通過計算進行比較. 這體現出了數學運算的一些基本環節（實際上也體現出了數學運算與數學計算的區別）.

在學生有了這一認知基礎后，教師就可以向學生介紹“二分法”了. “二分法”的運用當然是從函數切入的，由于學生已經知道了函數與方程的關系，自然也就知道了求方程lnx+2x-6=0的解實際上就是求函數f（x）=lnx+2x-6的零點——當然這需要約定區間，比如在區間（2，3）內. 在這個環節，教師可以借助于計算器提高教學效率，也可以讓學生更快地驗證自己的猜想.

總之，經歷這樣一個過程，學生可以迅速地掌握“二分法”. 而作為求函數近似值最基本的方法之一，學生對“二分法”的理解與運用，體現出了數學運算在高中數學教學中的價值. 這時教師有必要引導學生進行反思. 反思就是比較，比較的對象就是自己在初步探索時所經歷的猜想、判斷、計算等過程，與掌握了“二分法”后進行計算的過程. 將這兩個過程進行比較，學生會發現在運用“二分法”時，由于區間明確，因此可以先從x=處判定方程的結果，不僅能提高計算效率，而且能保證結果更加準確.

數學運算素養的培養展望

在上面的例子中，學生能夠建立一個比較完整且具體的數學運算過程，經歷這個過程，不僅能夠培養學生的數學運算能力，而且學生對數學運算的理解也會更加深刻. 這實際上就是從實際運用與理論理解兩個角度幫助學生建立起了對數學運算的認識. 相對于學生原有的認識而言，此時的認識無論是從廣度還是從深度來看，都有明顯的突破. 相應的，在這個過程中，學生所形成的數學運算能力也更容易上升為數學運算素養，從而奠定數學學科核心素養培育的基礎.

數學運算來自運算技能同思維能力的結合，十分重要，有著極廣的應用范圍，所以更應該重視數學運算的學習. 在高中數學教學中展望數學運算素養的培養，筆者以為數學運算的價值還有待進一步挖掘，無論是教師還是學生，都需要進一步深化對數學運算素養的認識. 如同本文章開始所強調的那樣，首先要突破的一點認識就是不能把數學運算當作數學計算：計算只是運算的一部分，其所用的只是計算法則;而數學運算往往面臨著更加復雜的情境，面對著更多的不確定性，當學生在建構數學概念以及尋求數學概念之間的聯系時，往往正是借助于數學運算來解決問題的. 因此更多地重視數學運算的這種價值，并且培養起學生熟練掌握數學運算技巧的能力，對于促進學生提升數學學習能力與品質來說，將是一件非常有意義的事情.

綜上所述，高中數學教學要充分認識并且努力發掘數學運算的價值，要努力使其成為數學學科核心素養培育的有機組成部分.