核心素養下高中數學課堂導入路徑探索

林建輝 賓紅華 劉小輝

[摘 要]課堂導入的設計直接關系到課堂教學的實際效果。在數學課堂教學的引入環節，如何吸引學生的注意力，激發學生的學習興趣，是高中數學教學的難點所在。探究核心素養背景下的高中數學課堂導入路徑，有助于將核心素養真正落實到課堂教學，從根本上提高課堂教學質量。

[關鍵詞]課堂導入;核心素養;高中數學;基本不等式

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻標識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2022）05-0011-03

審視傳統的高中數學課堂，教師一味注重知識講授和應試技巧的訓練，對課堂導入的重視不足。這種單一化的教學方式容易使學生忽視數學學科的歷史背景和應用價值，不利于發展學生的數學學科核心素養，這與新課標所倡導的“立德樹人”教育理念背道而馳。因此，在核心素養背景下，如何應用多樣化的導入方式，優化課堂教學，成為一線教師教學研究的重點問題之一。本文以“基本不等式”為研究對象，分別從數學文化、實踐活動、情境創設、復習舊知、幾何建構五個維度，對高中數學課堂導入路徑進行探索，希望可以為高中數學教與學提供一些可行性建議。

一、核心素養下數學課堂導入原則

（一）趣味性

不少高中生排斥數學學習，究其原因是數學知識抽象難懂。因此，教師要精心設計課堂導入，創設富有趣味性的問題情境，調動學生的學習主動性，使學生積極參與課堂、享受課堂。

（二）現實性

數學來源于生活，應用于生活。教師可以現實生活中的情境導入，這樣一方面可以勾起學生的回憶，讓學生在學習的過程中產生共鳴，深刻感受到數學學科的應用價值;另一方面可以引導學生從現實的生活情境中抽象出數學模型，將實際問題數學化，培養學生分析問題和解決問題的能力，發展學生數學抽象、數學建模等核心素養。

（三）啟發性

傳統課堂上，許多教師采用講授法進行教學，一味注重學科知識和解題模板的講授，缺乏對學生思維的啟迪，學生難以理解數學的本質。現如今的數學課堂，提倡以“問題鏈”的形式啟發學生思考，引導學生進行深度學習，使學生的數學學科核心素養得到有效提升。

二、核心素養下數學課堂導入的路徑

（一）數學文化導入

片段一：

師（利用多媒體展示第24屆國際數學家大會的會標）：同學們，請看大屏幕，圖1是2002年在北京召開的第24屆國際數學家大會的現場，懸掛在會場中央的是本次大會的會標（如圖2）。會標是根據中國古代數學家趙爽的弦圖設計的，弦圖構圖巧妙，既凸顯數學的美，又蘊含著數學的奧妙。接下來，我們就一起來探究會標中所隱含的數量關系。

為了方便研究，我們不妨將圖2中的會標抽象成幾何圖形（如圖3）。可以看出，正方形[ABCD]由4個全等的直角三角形和正方形[EFGH]組成。

我們不妨設直角三角形的兩條直角邊長分別為[a]，[b]，那么正方形[ABCD]的邊長為[a2+b2]，正方形[EFGH]的邊長為[a-b]。你能用數學語言刻畫圖形中存在的等量關系嗎？

生1：由面積關系可知正方形[ABCD]的面積等于4個直角三角形的面積與正方形[EFGH]的面積之和，即[a2+b2=4×12ab+a-b2]。

師：很好，我們剛剛借助數學語言刻畫了弦圖中存在的等量關系。那么，弦圖背后是否隱藏著某種不等關系呢？

生2：正方形[ABCD]的面積大于4個直角三角形的面積之和，即[a2+b2>2ab]。

師：很好。如果[a=b]時，面積關系又會發生怎樣的變化呢？（運用幾何畫板進行動態演示）

生3：當[a=b]時，中間的正方形[EFGH]將會縮為一個點，此時[a2+b2=2ab]。

師：我們得到了不等式[a2+b2≥2ab]，接下來，我們嘗試著用[a]，[b]替換表達式中的[a]，[b]，又能得到怎樣的不等關系呢？

生4：如果[a>0]，[b>0]，我們用[a]，[b]替換表達式中的[a]，[b]，可得[ab≤a+b2]，當且僅當[a=b]時，等號成立。

由此引入基本不等式[ab≤a+b2]。

評析：本片段以趙爽的弦圖為背景，將數學史的內容融入課堂教學，一方面可以讓學生感受到中國古代數學的偉大成就，激發學生的民族自豪感;另一方面，弦圖的巧妙構圖可以讓學生更加直觀地感知數學圖形的對稱美和和諧美。

（二）實踐活動導入

片段二：（內容摘自史亞軍老師的“基本不等式”教學設計）

上課伊始，教師向每位學生分發兩張面積不等的正方形紙片。

教師帶領學生將兩張正方形紙片沿著它們的對角線對折，再沿斜邊拼接，探究兩個直角三角形的面積與矩形的面積間的關系。

師：我們不妨假設兩個正方形的面積分別為[a]和[b]（如圖4），那么我們如何求圖中兩個三角形的面積之和呢？

生1：顯而易見，兩個三角形的面積之和為[a+b2]。

師：那矩形的面積又該如何求解呢？

生2：矩形的長為[a]，寬為[b]，面積為[ab]。

師：觀察圖中兩個直角三角形的面積之和與矩形的面積，它們之間存在著怎樣的不等關系呢？

生1：矩形的面積不大于兩個直角三角形的面積之和，即[ab≤a+b2]。

師：不等式[ab≤a+b2]何時等號成立呢？

生2：當[a=b]時等號成立。

由此引入基本不等式[ab≤a+b2]。

評析：本片段中，教師以圖形的折疊與拼接為背景，鼓勵學生動手操作，使學生在活動中體會幾何圖形的面積關系，培養學生的動手實踐能力和直觀想象能力。

（三）情境導入

片段三：（內容摘自姚丁丁老師的“基本不等式”視頻）

教師利用多媒體展示問題情境。

“十一”黃金周，小明去黃金店購買黃金，店老板拿出一臺天平秤，將黃金放在天平秤上稱了一下，得到質量為a克，交換一下位置重新稱量，得到質量為b克，老板說將稱量結果相加后除以2就是黃金的“實際重量”。

師：請大家思考，小明購買黃金是賺了還是虧了？

生1：我們不妨先假設黃金質量為[x]克，根據初中所學杠桿原理，可得[xl2=al1]（如圖5），[bl2=xl1]（如圖6），將這兩個等式聯立，可以計算得到[x2=ab]，即[x=ab]。

師：我們如何比較[a+b2]和[ab]之間的大小關系？

生2：可以采用作差法進行比較。

師：這是個好辦法，請大家嘗試。

生3：因為[a+b2-ab=a+b-2ab2=a-b22≥0]，所以[a+b2≥ab]。

師：不等式的等號在什么情況下成立呢？

生4：當且僅當[a=b]即[a=b]時等號成立。

師：現在我們是否能夠判斷小明購買黃金究竟是賺了還是虧了呢？

生5：很明顯是虧了。

由此引入基本不等式[ab≤a+b2]。

評析：本片段中，教師以“不平衡天平秤”這一生活情境導入課堂，既貼近學生的現實生活，又與物理學知識相聯系，有助于激發學生的探究欲，培養學生的思維能力，發展學生的學科核心素養。

（四）復習導入

片段四：

師：在初中，我們已經學習了完全平方公式，同學們還有印象嗎？

生1：兩數差的平方等于它們的平方和減去它們乘積的2倍。

師：這位同學用文字語言描述了兩數差的完全平方公式，我們能否運用符號語言來刻畫呢？

生2：可以表示為[x-y2=x2-2xy+y2]。

師：很好。我們知道對于任意的兩個實數[x]和[y]，[x-y2≥0]總是成立的，即[x2-2xy+y2≥0]是成立的，移項可得[x2+y22≥xy]，當且僅當[x=y]時，等號成立。

師：如果有[a>0]，[b>0]，我們不妨取[x=a]，[y=b]，通過等量替換，我們能得到怎樣的結論呢？

生3：[a+b2≥ab]（當且僅當[a=b]時等號成立）。

師：這是我們通過等量替換得到的，那我們可以用什么方法對它進行嚴格的證明呢？

生4：可以采用作差法進行證明。

因為[a+b2-ab=a+b-2ab2=a-b22≥0]，

所以[a+b2≥ab]（當且僅當[a=b]時等號成立）。

由此引入基本不等式[ab≤a+b2]。

評析：本片段中，教師引導學生回顧初中兩數差的完全平方公式，通過公式變形、等量替換以及作差法證明，導出基本不等式[ab≤a+b2]。

（五）幾何導入

片段五：

師（利用多媒體呈現幾何圖形，如圖7）：觀察圖7，圓的直徑為[AB]，點[C]是直徑[AB]上一點，過點[C]作垂直于[AB]的弦[DE]，已知[AC=a]，[BC=b]。那么，我們是否可以根據幾何圖形，求出[CD]的長度呢？

生1：可以連接[AD]，[BD]，根據射影定理可證[△ACD∽△DCB]，由于相似三角形對應邊成比例，計算可得[CD=ab]。

師：我們可以借助已知條件求出圓的半徑嗎？

生2：由于直徑[AB=a+b]，因此半徑為[a+b2]。

師：那么，我們如何判斷[a+b2]和[ab]之間的大小關系呢？

生3：[CD]的長度小于或等于圓的半徑，因此可以得到[ab≤a+b2]。

師：通過大家的討論，我們已經得出[a+b2]和[ab]之間的大小關系，那么請大家繼續思考：上述不等式的等號在什么情況下可以取到呢？

生4：當點[C]與圓心重合，即[a=b]時，不等式的等號可以取到。

由此引入基本不等式[ab≤a+b2]。

評析：本片段中，教師以幾何圖形為研究工具，啟發學生探究圓的直徑和弦長之間的大小關系，引導學生總結出基本不等式的幾何解釋“半弦長不大于半徑”，并通過“以形助數”“以數輔形”將代數的抽象性與幾何的直觀性有機地結合起來，從而發展學生的數學思維。

課堂導入方式多種多樣，教師可以借助舊知引入新知，可以聯系實際生活創設情境，也可以融入數學史與數學文化等。不同的課堂導入方式都彰顯著其獨有的特色，展現了授課教師對于教學內容的獨到見解。核心素養下的高中數學課堂導入，不僅可以激發學生探究新知的欲望，讓學生積極探索、自主實踐，還可以讓學生在了解數學史的過程中培養愛國情懷。因此，在高中數學教學中，教師要根據實際情況選擇恰當的課堂導入路徑，發展學生的數學學科核心素養，不斷提高課堂教學質量。

[? ?參? ?考? ?文? ?獻? ?]

[1]? 中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017 年版）[M].北京：人民教育出版社，2018.

[2]? 晏有華.核心素養教育理念下的高中數學課堂教學策略探析[J].成才之路，2020（9）：108-109.

[3]? 周鵬.關注核心素養培養 創新高中數學課堂導入方法[J].教育界，2020（39）：81-82.

[4]? 楚長錦.“說數學”活動的內涵分析及策略研究[D].重慶：重慶師范大學，2015.

[5]? 萬姝瑋，蔣亦.對引入基本不等式的幾點思考[J].高中數學教與學，2013（14）：31-32.

[6]? 肖凌戇.基本不等式的教學導入研究[J].中國數學教育，2015（8）：58-59，64.

[7]? 周鵬.在巧妙的課堂導入研究與實踐中，落實高中數學核心素養[J].數學學習與研究，2020（13）：79-80.

（責任編輯 黃桂堅）