讓學生的思維向深度不斷漫溯

林鋒

[摘 ?要] 文章“用配方法解一元二次方程”教學為例，提出促進學生思維不斷發展的教學路徑，即創設情境，引入新知;思維展現，形成新知;師生互動，掌握方法;思維升級，逐步轉化. 讓學生從質疑開始，在類比中感悟，在聯想中領悟，促進學生的思維向深處不斷漫溯.

[關鍵詞] 配方法;方程;數學思維

目前，教學投機性與教學功利性的現象依然存在，部分教師大量使用導學案、導讀單，直接呈現問題的結論，沒有讓學生經歷發現與探究數學知識的過程，忽略了學生思維的發展. 在學習數學知識、方法或模型時，教師應引導學生經歷知識、方法或模型的產生發展過程，讓學生在自我發現與創造中實現思維的深入發展. 下面以“用配方法解一元二次方程”教學為例進行說明、分析.

教學過程

1. 創設情境，引入新知

問題1：目前，以5G等為代表的戰略性新興產業蓬勃發展，某市2019年底有5G用戶2萬戶，2021年底全市5G新增用戶為3.92萬戶，求全市5G用戶數年平均增長率.

問題2：目前，以5G等為代表的戰略性新興產業蓬勃發展，某市2019年底有5G用戶2萬戶，2021年底全市5G用戶累計達到8.72萬戶，求全市5G用戶數年平均增長率.

生：問題1，設全市5G用戶數年平均增長率為x，則2020年底5G的用戶數為2（1+x），2021年底5G的用戶數為2（1+x）2，根據題意，得2（1+x）2=3.92，（1+x）2=1.96，1+x=±1.4，所以x=0.4=40%，x= -2.4（舍去）. 因此全市5G用戶數年平均增長率為40%.

師：關于解一元二次方程，有幾種方法？你使用的是哪一種解法呢？為什么可以用這種方法呢？

生：我們已經學習了兩種解一元二次方程的方法，即直接開平方法與因式分解法，這里使用的是直接開平方法，因為這個方程有ax2=b（a，b>0）的特征.

師：這位同學不僅回答了使用哪種方法，而且說明了使用這種方法的理由，即必須具有一定特征的方程才可以使用直接開平方法.

設計意圖 ?教學中，應尊重學生的主體地位，讓學生經歷自己發現并歸納新知的過程. 本環節教學，筆者設置了兩個彼此關聯的實際問題情境，讓學生回顧直接開平方法的運用過程，體驗直接開平方法的運用. 問題2旨在說明學習新方法的必要性，激發學生的認知沖突，為新知的學習做好鋪墊.

2. 思維展現，形成新知

師：如何解決問題2呢？

生：設全市5G用戶數年平均增長率為x，則2020年底5G用戶有2（1+x）萬戶，2021年底5G用戶有2（1+x）2萬戶，依題意得2+2（1+x）+2（1+x）2=8.72，整理后得x2+3x-1.36=0， 不能用因式分解法來解，怎么辦呢？

師：請同學們認真思考一下有沒有什么好的辦法.

生：如果可以把x2+3x-1.36=0轉化為ax2=b（a，b>0）的形式，就可以使用直接開平方法來解了，那如何轉化呢？

師：同學們想一想，對于a2+2ab，如何才能轉化為（a+b）2的形式呢？如果能把x2+3x轉化為（a+b）2的形式，是不是就可以使用直接開平方法來解了？

生：x2+3x+

2=

x+2，可以實現轉化，但是如何處理-1.36這個常數項呢？同時也不能在方程里突然加上一個數

2.

生：為了使方程的左邊加上

2之后，所得結果仍是等式，可以在方程的右邊也加上

2，而原來的常數項可以移項到方程的右邊變為正數. 即x2+3x+

2=

2+1.36，即

x+2=3.61，x+1.5=±1.9，所以x=0.4=40%，x= -3.4（舍去）.

師：同學們通過配成完全平方式的方法，把一個二次三項式轉化為一個完全平方式，其中運用的是完全平方公式. 像上面這樣，把一個一元二次方程的左邊配成一個完全平方式，右邊是一個非負數，這樣方程就可以用直接開平方法來解，這種解一元二次方程的方法就叫配方法.

設計意圖 ?從特殊到一般是數學中常用的數學思想. 本環節由特殊形式的一元二次方程到一般形式的一元二次方程，教師啟發學生通過變形方程，把一般形式轉化為特殊形式，即把一般形式的一元二次方程轉化為ax2=b（a，b>0）的形式，從而引出了配方法，這是一個把新問題轉化為舊問題的過程. 學生運用類比的方法，展現了思維過程，訓練了語言表達能力與概括能力，促進了數學思維的發展.

3. 師生互動，掌握方法

師：運用完全平方公式把一般形式的一元二次方程轉化為ax2=b（a，b>0）的形式，是用配方法解一元二次方程的關鍵所在. 那運用該方法解題的具體步驟是怎樣的？

生：第一步把常數項移項，把常數項放在方程的右邊;第二步在方程的兩邊都加上一次項系數一半的平方;第三步寫成完全平方式;第四步開平方;第五步求出未知數的值.

師：這位同學總結得很到位，那么對于x2-8x+1=0該如何配方呢？

生：移項，得x2-8x=-1，配方，得x2-8x+16=-1+16，（x-4）2=15，開方，得x-4=±，所以x=+4，x= -+4.

設計意圖 ?用配方法解一元二次方程的關鍵是配方，即方程兩邊都加上多少才能形成完全平方. 本環節首先讓學生根據上述解答過程總結歸納利用配方法解一元二次方程的一般過程，然后給出一個簡單的例子讓學生嘗試配方，加深學生對配方法的理解. 需要注意的是，關于一元二次方程形式的變化，學生學起來有一定的難度，教師應采用循序漸進的方法，促使學生對新知識的進一步理解.

4. 思維升級，逐步轉化

師：剛才我們已經學會了解一元二次方程x2+3x-1.36=0與x2-8x+1=0，那么如何求解一元二次方程2x2-4x=15呢？

生：首先在方程的兩邊都除以2，得x2-2x=. 然后在方程兩邊都配上一次項系數一半的平方，得x2-2x+1=+1. 配方，得（x-1）2=，開平方，得x-1=±，所以x=+1，x= -+1.

師：這位同學的做法很好！這道題與上面兩道有何不同？解決方案又有何不同呢？

生：此方程的二次項系數不是1，而上面兩道方程的二次項系數都是1，因此在解這個方程時，比上面兩個方程多了一個步驟，即把二次項系數化為1，其他的步驟都是一樣的.

師：請同學們嘗試解一元二次方程3x2-6x-4=0.

生：移項，得3x2-6x=4，二次項系數化為1，得x2-2x=，配方，得x2-2x+1=+1，即（x-1）2=，開平方，得x-1= ±，所以x1=1+，x2=1-.

設計意圖 ?學習數學的一般規律是從易到難，在上述整個教學過程中就遵循了這個規律. 首先嘗試解特殊形式的一元二次方程，再解二次項系數為1的一元二次方程，最后拓展為二次項系數不為1的一元二次方程. 在學生已掌握二次項系數為1的一元二次方程解法的基礎上，讓學生通過類比的方法嘗試解決二次項系數不為1的一元二次方程. 如何把新問題轉化為舊問題呢？教師引導學生利用等式的性質，先在方程的兩邊都除以二次項系數，把二次項系數化為1，然后再配方，最后利用配方法的一般步驟完成解答. 這樣的教學設計符合教學規律與學生的認知規律，設計的問題鏈調動了學生的學習積極性，促進了學生思維的進一步深入，有效發展了學生的思維能力.

教學啟示

1. 由質疑開始

質疑有利于調動學生思考的積極性，是探索新知識的有效路徑. 教學中，筆者通過設置實際問題情境引發學生思考，問題1能利用直接開平方法求解，問題2不能用直接開平方法求解，說明了配方法的必要性. 學生在質疑過程中，激發了求知欲，為新知的學習做了鋪墊.

2. 在類比中感悟

所謂類比是指把屬性相同的兩個對象進行對比，從而猜想在其屬性上也具有相似或相同的思維方法. 如教學中通過問題2與問題1的類比，啟發學生利用完全平方式轉化一元二次方程，得到如問題1中的一元二次方程的特殊形式. 學生經歷了知識的形成發展過程，引申出了配方法. 又如通過二次項系數為1的方程與二次項系數不為1的方程之間的類比，讓學生感悟并總結配方法的一般步驟.

3. 在聯想中領悟

解一般形式的一元二次方程，學生先聯想形如x2=a的形式，然后聯想到完全平方公式，在聯想中，學生二次創造出配方法. 通過知識點的關聯、形式的關聯、方法的關聯，為二次創造新方法指引了方向，在新舊知識間建立了聯系，把新知識融入已有認知結構中，加強了學生思維的邏輯性與全面性，促進了學生思維向深度不斷漫溯.