基于直觀想象核心素養的數學教學實踐探究

摘 要：直觀想象素養是高中數學學科核心素養的重要組成部分。文章基于對直觀想象核心素養內容的深入解讀，圍繞構建數形聯系、借助幾何直觀理解問題、借助圖形描述問題等開展教學實踐活動探究。教師應在教學過程中做好相關習題的優選與精講，進一步鞏固學生所學知識，深化學生的理解，進而提升學生的數學學科核心素養。

關鍵詞：高中數學;直觀想象;核心素養;教學實踐

中圖分類號：G427? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文獻標識碼：A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文章編號：2095-9192（2022）12-0043-03

引? 言

培養學生的核心素養是“立德樹人”的具體體現。其中，直觀想象素養在高中數學學科核心素養中占有重要地位。高中數學教師基于直觀想象素養開展教學活動，不但有助于學生掌握解題的有效思路，而且對學生核心素養的提升具有重要促進作用。

一、構建數形聯系

提高學生的數形結合意識，增強運用數形結合思想解答數學問題的能力，有助于提升學生的直觀想象素養。在教學過程中，教師應注重為學生講解構建數形聯系的具體思路，如從形到數，可通過構建平面或空間直角坐標系實現;而從數到形，則可根據所學知識繪制對應的函數圖像、平面及立體幾何圖形。為使學生認識到構建數形結合聯系的重要價值，教師可結合學生所學為其講解相關的例題，促使學生養成應用數形結合解題的良好習慣。另外，為促使學生將所學的理論轉化為能力，教師應做好訓練習題的設計，組織學生開展專題訓練活動，提高學生構建數形聯系的熟練程度，積累相關的經驗與技巧。如通過以下習題的訓練，教師可使學生認識到構建平面直角坐標系時應注重運用題干中的直角關系，以減少在解題中的運算量[1]。

已知ABCD為梯形，其中∠BAD =∠ABC =90°，

AB = BC =AD，點E為CD的中點，AE和BD交于

點F，設= x+ y，則x-y = 。

學生可以將題干中描述的圖形放到平面直角坐標系中，將點轉化為具體坐標，實現“形”向“數”的轉化，如此便可將線段之間的關系直觀地呈現出來，而后通過點的運算及平面向量知識，解出x、y的具體值。需要注意的是，學生應充分運用圖形中的直角關系構建坐標系，以降低計算復雜度，提高計算效率。

二、借助幾何直觀理解問題

幾何圖形本身具有直觀性特點。學生通過對數學問題的認真思考、合理想象畫出相關的圖形，借助幾何圖形更容易理解問題、解決問題。為提高學生利用幾何圖形理解、解決問題的能力，教師應注重引導學生做好常見幾何圖形的匯總。這里的幾何圖形既包括從課本中學到的幾何圖形，也包括在生活中看到、積累的幾何圖形。教師可以要求學生認真分析一些幾何圖形的特點，在頭腦中存儲清晰的模型，為更好地解決數學問題提供依據。另外，為使學生學會運用幾何直觀理解、解決問題，教師應注重結合學生所學的數學知識創設相關的問題情境，并通過多媒體技術為學生進行動態的展示，在增加數學課堂趣味性的同時，使學生更好地掌握分析數學問題的技巧，迅速解出正確答案。例如，教師在課堂上可用多媒體技術為學生講解如下習題的解答過程。

已知長方體ABCD-A1B1C1D1中AB、BC、BB1的長分別為6、5、4，則從點A沿表面到點C1的最短距離為 。

求解幾何體表面上兩點間的最短距離一般采用展開方法，借助幾何直觀進行分析。因沿著不同的棱剪開計算的結果不同，因此，教師可用多媒體課件為學生展示如下可能的情境。

（1）若沿棱A1B1展開，如圖1所示，則AC1===3;

（2）若沿棱BB1展開，如圖2所示，則AC1===;

（3）若沿棱BC展開，如圖3所示，則AC1===5;

綜上可知，從A點沿表面到點C1的最短距離為3。

該題具有一定代表性，如果對題意理解不清晰，那么很容易漏掉相關情境，導致出錯。教師借助多媒體技術為學生直觀展示沿不同棱展開不同平面時AC1的具體情形，更容易深化學生的認識，降低學生的理解難度，啟發學生在以后的學習中注重幾何圖形的應用，找到解決立體幾何問題的正確思路[2]。

三、借助圖形描述問題

借助幾何圖形描述問題屬于直觀想象的范疇。事實上，運用圖形描述問題，化抽象為具體，更容易把握問題的本質。為使學生學會使用圖形描述問題，為解決問題做好鋪墊，教師應要求學生腳踏實地，牢固掌握基礎知識。高中數學中與圖形相關的知識點有各類函數的圖像、圓錐曲線、向量的幾何意義、復數的幾何意義等。教師可以要求學生根據題干描述，充分挖掘隱含在題干中的相關圖形，通過運用轉化思想，運用圖形準確描述問題。同時，為使學生認識到運用圖形描述問題的重要價值并靈活應用于解題中，教師應注重為學生進行習題講解。

例題：已知復數z = x + yi（x， y∈R），滿足||≤1，

則y≥x -1的概率為 。

由復數知識可知z和為共軛復數，||≤1表示的

是以原點為圓心、半徑為1的圓及其內部部分，而y≥

x -1表示的是直線y = x -1右側的部分。如圖4所示，要求解的問題轉化為陰影部分的面積與圓的面積之比。

借助圖形描述問題是直觀想象素養中非常重要的方面。該題基于對復數知識的理解，運用復數的幾何性質將已知條件轉化為對應的圖形，將要求解的問題轉化為圖形中面積之間的問題，化抽象為直觀，能優化解題思路，使學生認識到運用圖形描述問題的意義所在，養成運用圖形描述問題的良好習慣。

四、通過空間想象認識事物

直觀想象素養強調空間想象的重要性。在高中數學教學中，為更好地提升學生的空間想象能力，教師應鼓勵學生聯系生活中的事物，抽象出相關事物的輪廓，必要情況下可組織學生開展相關的實踐活動，要求學生使用剪刀、紙片等拼接相關的立體幾何圖形。同時，教師要注重從不同角度為學生展示常見立體幾何圖形的模型，給其留下更為深刻的印象。另外，為幫助學生構建平面與立體幾何圖形之間的關系，深化對立體幾何圖形的認識，教師應結合學生所學的知識，在課堂上設計相關問題，要求學生通過空間想象進行解答。例如，教師可要求學生解答如下習題。

如圖5所示，三棱柱ABC-A1B1C1底面為等邊三角形，側棱AA'和底面ABC垂直，AB=9，AA'=3，在四邊形ABB'A'內存在一點P，其到AA'、A'B'的距離均為1。若D為BC上靠近C的四等分點，過點P且與A'D平行的直線交三棱柱于P、Q兩點，則點Q所在的平面為______。

教師可以要求學生根據給出的圖形，逐一想象點P的位置。學生結合自身經驗，經過想象可得點Q所在的平面為平面ABC。為驗證學生想象的結果，教師可在課堂上運用多媒體技術為學生動態展示，結果表明學生的想象是正確的，如此能提高學生的解題自信心。

通過空間想象認識事物是鍛煉學生直觀想象核心素養的重要方法。該題以立體幾何中的動點為背景設問，考查學生對立體幾何各要素空間關系的認識及熟練程度。分析該習題能很好地鍛煉學生的空間想象能力，加深學生對立體幾何圖形的認識[3]。

五、借助訓練積累想象經驗

教學實踐中，教師應注重給學生提供訓練機會，使其積累運用直觀想象解決數學問題的經驗，一來更好地鞏固所學，二來使其認識到直觀想象在解答數學習題中的重要作用。為獲得預期的訓練效果，教師應認真分析學生已經具備的知識，做好訓練習題的優選，拓展學生的視野，讓學生掌握運用相關圖形、相關模型解題的技巧。

例題：已知圓（x-1）2 + （y-2）2 = 1上存在一動點P，O為坐標原點，向量在向量=（2，1）方向上投影的最大值為_____。

該習題是圓與向量知識的結合題目。解答該題需要充分理解向量投影，結合題干中給出的已知條件畫出對應的圖形，通過分析線段之間的關系，確定點P的具體位置，然后通過點到直線的距離、兩條直線的交點，找到在向量上投影的長度，而后運用兩點間的坐標公式進行解答。

由于圓的方程及向量在已知條件中已經給出，學生可以在同一平面直角坐標系中畫出圓及向量。如圖6所示，由圖可直觀地看到當過點P的直線剛好和向量所在直線垂直時，在向量方向上的投影最大。由向量不難得出其所在直線的方程為y =x，設過點P的直線方程為y = -2x + m，由圓的方程（x-1）2 + （y-2）2 = 1可得圓心坐標為（1，2），圓的半徑r = 1，點P在圓上，因此，圓心到點P的距離剛好為r，即r = ，解

得m = 4±，由圖可知m = 4 +，則y = -2x + 4 +

，兩條直線的交點為B，聯立解得xB=（4+），

yB=（4 +），|OB| ==+1。

解決數學問題的思路多種多樣，為了有針對性地提升學生的直觀想象素養，教師應結合自身教學經驗，認真設計習題，促使學生運用相關圖形理解與解決數學問題，使其在更好地把握數學知識本質的同時，提高解題的靈活性。

六、借助總結提升想象能力

為更好地培養學生的直觀想象素養，教師應引導學生充分認識到總結的重要性。教師既要注重在課堂上合理安排教學容量，給學生留下課堂總結時間，盡量使其當堂消化、吸收所學，又要引導學生養成善于總結的良好習慣。

例題：將一個正四面體截取四個頂點，形成如圖7所示的八面體，其中四個面為正六邊形，四個面為正三角形。若此八面體所有棱長均為1，則其體積為 。

根據經驗，學生在解題時可將該八面體補成一個正四面體，其邊長之間的關系便一目了然，然后使用正四面體的體積減掉減去的體積，便可求出最終結果。

結? 語

培養學生的直觀想象素養需要長期堅持，尤其應將培養工作貫穿至整個高中階段。為獲得良好的培養效果，教師既要制訂明確的培養目標，又要對教學內容進行合理的設計，注重直觀想象素養的融入。另外，教師也應做好培養效果的評估，總結與反思培養過程中遇到的問題，不斷提升學生的數學直觀想象素養水平。

[參考文獻]

[1]姚永祥.基于直觀想象素養的數學教學實踐與思考[J].中學教學參考，2017（23）：29-30.

[2]陶櫻.基于發展學生數學直觀想象素養的教學實踐研究[J].中學數學，2020（07）：76-77.

[3]郭龍祥.高中數學直觀想象能力培養策略探尋[J]. 數學教學通訊，2021（06）：62-63.

作者簡介：陳麗美（1984.3-），女，福建莆田人，任教于福建省莆田市莆田哲理中學，中學一級教師，本科學歷。