創新習題：落實核心素養發展目標的好方法

陳群

摘要：創新習題不僅能考查學生基礎知識、基本技能，更能培養與發展學生數學核心素養.如何落實核心素養發展目標，是當前高中數學教學的一個重大研究課題.高中數學教師要立足教材內容、學生需求與發展，采用“改編題、開放題、信息給予題、應用題、探究題”五種創新習題策略，讓學生數學核心素養的培養得到有效落實.

關鍵詞：高中數學;創新習題;核心素養

1 引言

當下，高考仍然是選拔人才的主要方式，而在高中數學學科中，創新習題主要考查的是學生的數學潛能.由于創新習題可以檢驗學生對數學理論知識的掌握情況，對學生數學問題的探究能力、應用問題的解決能力等都可以做一個有效的考查.同時，創新習題的題型多變，內容也十分新穎，可以很好地啟發學生的思路，發展學生思維，提升解題能力.為此，教師要注重對學生進行創新習題的訓練和講解，同時，還要從核心素養培養的角度入手分析創新習題的考查要點，揭示此類題的教學規律，進而制定相應的教學策略，促使學生調整心態，積極面對創新習題的同時，也有能力順利求解[1].

2 改編題

高中數學教師可通過改編習題的方式逐步訓練學生求解創新習題的能力.一般高中習題的改編都是以理論定理或者經典成題為依據.改編時，教師圍繞知識點的重難點，或為學生設置更為豐富的情境，或增強文本內容的抽象性等方式，讓學生透過改編題的求解掌握數學知識本質屬性，提高對相關知識點應用的舉一反三能力.同時，教師要理清題目結構，引導并啟發學生的邏輯思維.通過有效延伸與發展，讓學生的邏輯推理素養得到提升.當然，數學問題求解最終是要判斷運算結果的準確性，所以在習題改編中教師要注重對學生運算素養的培養[2].

例1 已知動點M到定點N（7，1）的距離和它到直線x=5的距離的比值為4，求動點M的軌跡方程.

教師在對此題進行改編的時候，可以變換問題，或改變比值，將常數4變成未知量h等，從而得到新的改編題.

3 開放題

高中數學同物理與化學學科之間的關系越來越緊密，教師在教學中需培養學生建模能力和邏輯思維能力.物理中很多生活現象都可以引入到數學中，通過創新變成一個開放性數學題，從而有效鍛煉學生的發散性思維，促進學生交流討論，打造濃厚的課堂學習氛圍，實現對課堂知識的有效與高效教學.

例如，對于金屬小球的簡諧運動，教師可要求學生使用三角函數對該小球的運動過程進行描述和分析.再如，在學習導數時，教師可將物理學科與數學學科融合起來，并且讓學生回顧以往物理教師帶領學生們做的小擺錘實驗，并將其與導數相聯系，加深學生對物理中的加速度和數學中導數的理解.

另外，在高中數學創新習題教學中，教師也要關注學生的邏輯推理能力，建立學生創新意識.所以，教師在啟發和引導學生的時候，可以從知識的起源開始講解，讓學生了解該理論知識的背景以及形成過程，從而構建知識之間的聯系，讓學生的數學知識體系更加完善，促使學生理解數學知識本質，發展學生的邏輯思維能力[3].

4 信息給予題

創新習題對于學生綜合能力的考查較為重視，如，信息給予題實際上就是以數學學科為基礎的閱讀理解題.該類創新習題的特征就是文本內容學生較為陌生，題干中描述的公式、定義、法則等是學生未學習過的，學生需要邊閱讀邊理解限定條件下的陌生邏輯關系.而且這類題較為抽象，由于給出的定義、法則等表述大多都是數學符號，很少用文字進行解釋說明，所以學生需要獨自閱讀思考后明確思路，這對學生的學習能力有一定的要求.最后，

在有限的時間內解決

信息給予題，學生對公式、算法等不能進行過深的研究，學生需抓住重心，用抽象邏輯思維簡單地描述題目中的有效信息.

例2 對于數集H={-1，h1，h2，……，hn}，其中0

上述信息給予題屬于概念類型的創新習題，其中包含的知識點有集合、抽象代數、元素等，對學生分析問題和解決問題能力都有一定的考查.教師在引導學生求解此題時，要注重學生對問題的理解.首先要求學生整理出題干中的關鍵信息，并用符號語言抽象表達出來.同時，題干中也有部分符號語言需轉換成文字語言，以加強學生對題意的理解.如數集H中的元素有-1，除此之外至少還應有3個元素，H中只有-1小于0，其余全部大于0.同時可以設向量集為Q，將其轉換成文字表述就是從數集H中任意找兩個元素，將其作為向量m→的坐標.教師引導學生分析上述內容后，還差一個H具有性質P的含義沒有解讀.為此，教師可以通過提問形式，讓學生積極分享自己的想法，進而鍛煉學生對信息的概括與表達能力，讓學生在表述中明確思路，使問題得到有效解決.

另外，信息給予習題之所以成為創新習題中較為常見的題型，主要是在求解此類型題時，不能套用模型，解題模式和思路等都需要調整，這十分考查學生的數學潛力.

例3 用min{e，f，g}表示e，f，g三個數當中最小的一個，設f（x）=min{2x，x+2，10-x}（x≥0），求f（x）的最大值.

求解此問題的關鍵就是要深入挖掘已知信息，可以根據題目已知條件重新定義單個函數y1=2x，y2=x+2，y3=10-x，而f（x）就是這三個函數中函數值較小的一個.根據數形結合發現，y2=x+2與y3=10-x圖象的交點P（4，6）就是函數f（x）圖象上最高的點，那么可知f（x）的最大值為6.此問題求解主要借助了函數性質，同時應用了數形結合思想，學生只有充分掌握函數知識，并能夠準確畫出三個函數在坐標系中的圖象，才能準確求解.教師在講授求解信息給予類的創新習題時，要引導學生養成信息歸納和類比的習慣，培養學生獨立思考的能力，讓學生在求解中獨立完成假設、驗證過程，提升邏輯思維能力.

5 應用題

求解應用題類型的創新習題時，學生一定要仔細讀題，邊讀邊簡化，將題干中重要有效的信息標記出來，構建數學模型進而尋求有效的解決方案，教師可以在創新習題教學中，強化學生數學建模能力.

例如，在體育運動比賽中，棒球賽在美國的賽制不同于世界規定的7賽制，他們男性是5賽制，女性則是3賽制.對于這一現象教師可以創設應用情境問題，學生需思考兩種賽制成功的可能性，誰的獲勝幾率更大一些呢？類似這種與體育新聞或與時代接軌的事物信息等，可以讓學生在不同情境應用求解的分析中整理出數學模型.數學建模是促進學生數學核心素養提升的重要體現，學生具備建模思想，就能夠將情境問題抽象成數學問題，從而構建方程或函數模型，利用數量關系求解答案.所以，教師需總結高中數學應用題中常涉及到的數學模型，如排列組合模型、數列模型、立體幾何模型等，教師要重視對學生建模思想和意識的培養，提高學生的建模能力.

另外，教師要在創新習題的設計中選擇生活性更強的應用題，助于學生發現生活中的數學，鍛煉學生的觀察能力，讓學生在學習數學時感受到數學的應用價值，激發學生的學習興趣.

在函數的學習中，筆者從生活的角度設計創新習題如下：

某個工廠用30萬元購買了一種扎染技術后，又購置了200萬元的硬件設備.已知工廠生產一件產品的成本價錢是20元，通過市場調查后而發現，產品向外出售的價錢可以增加5～15元，而且年銷售量y同銷售產品單價（單位：元）的關系式為

y=40-x，25≤x≤30，25-0.5x，30

學生在求解此創新習題時可有效整理出數學模型，然后借助模型求解，充分感受數學學科在現實生活的作用和價值[4].這對構建學生數學模型思想以及構建完整的數學知識體系具有重要的作用，并且學生也能夠通過模型感知到數學學科的多功能性與實用性.

6 探究題

小組探究討論是素質教育教學中，培養學生合作意識，強化學生表達能力，鍛煉學生發散思維能力的主要教學方式.由于學生的學習主要源自于主觀意識，只有讓學生在學習中進行獨立思考和探索，才能讓學生的思維得到鍛煉，核心素養得到發展.為此，教師在準備探究題時，一定要找好素材.

首先，教師可以結合學生的認知，結合教材中的法則、概念等，將其作為探究性學習課題，組織學生以小組為單位分析、檢驗并進行論證.

其次，教師也要研究數學教材，從其中找出適合設計創新習題的知識點.

例如，在高中數學教材中，針對函數部分的“反函數”教學時，兩個函數關系的文字介紹較為簡略，其中針對直線y=x對稱這一特點也簡單略過，教師在講授此部分內容的時，需引導學生共同探討反比例函數圖象的性質.

再次，在探究性創新習題的教學設計中，教師也要從學科融合的角度拓寬學生的數學能力.例如，在講解三角函數的時候，教師可引入物理中的單擺實驗;在講解一元二次方程的時候，教師可以引入拋物線等.

另外，還有一些數學探究性問題具有較強的實踐性，學生需要親自做社會調查后，借助所得到的數據才能夠完成探究性問題.

例如，測量公園步行區的道路寬度，四大購物超市最便宜的是哪一家等.學生只有親自經歷了數據的調查、收集、整理、分析的過程，才能夠真切感受到數據分析的魅力.同時，學生對于數據所得結論的看法也會有所深入，對學生數據處理分析能力的提升具有重要意義.

最后，由于探究性創新習題較為開放，教師可以引導學生利用模型思想對問題進行分析求解，讓學生在實踐中對相關數學理論知識內容有更深的感悟，完善學生數學知識體系，也讓學生養成建模習慣.為此，教師可以在設計探究性問題時，明確要求學生在提煉出模型后，依照模型求解.

例如，在一個涉及二元不等式的情境探究中，教師要求學生構建函數模型，學生需要借助函數圖象來分析情境各元素之間的邏輯關系，并結合情境內容，選擇合適的結論，從而通過有效探究，從特殊的數學結論過渡到一般性的數學結論，提高學生應用數學符號進行邏輯推理的能力，強化學生的探究意識，促進學生對函數知識的內化與應用.

7 結論

總而言之，高中數學教師要以發展學生核心素養為落腳點，設計新穎的創新習題，以培養學生運算、邏輯思維、抽象、閱讀理解、建模等能力，促使學生獲得有效發展與成長.

參考文獻：

[1]路江江，王亞妮.高中數學教育中如何培養學生的數學核心素養——王尚志教授訪談錄[J].數學教育學報，2021（2）：67-70.

[2]卓斌.例談改編高中數學教材例習題的常用方法[J].數學通報，2011（2）：16-19.

[3]于曉晶.數學開放題走入常態課堂教學研究[J].湖北成人教育學院學報，2011（6）：142-143.

[4]楊同官，宋周陽.基于數學建模維度的高中數學核心素養培養研究[J].中國現代教育裝備，2021（22）：46-48.