豐富學習方式，內化數學素養

沈丹，潘小梅

摘要：綜合與實踐活動是培養學生綜合運用數學學科和跨學科的知識和方法解決實際問題能力的重要載體。在學生學完浙教版初中數學九年級下冊第1章《解直角三角形》后，基于真實的生活情境，布置有一定挑戰性的綜合與實踐活動任務“生活中物體的高度測量”，引導學生經歷探索簡易測量方法、了解現代測量工具、改進簡易測量方法（工具）以及實地測量獲得結果等過程，并對活動過程實施評價。這不僅提高了學生的綜合運用能力和實踐創新能力，而且豐富了學生的學習方式，內化了學生的數學素養。

關鍵詞：初中數學；綜合與實踐；高度測量

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“新課標”）依然將“綜合與實踐”作為與“數與代數”“圖形與幾何”“統計與概率”并列的課程內容的四個學習領域之一。新課標指出：“綜合與實踐以培養學生綜合運用所學知識和方法解決實際問題的能力為目標，根據不同學段學生特點，以跨學科主題學習為主，適當采用主題式學習和項目式學習的方式，設計情境真實、較為復雜的問題，引導學生綜合運用數學學科和跨學科的知識與方法解決問題。”②“進一步加強綜合與實踐”活動，“著力培養學生的應用意識、創新意識、實踐能力、社會擔當等品質”，教學時要“明確教學目標”，“設計教學活動”（包括活動任務的設計布置與完成引導等），“關注教學評價”②。

筆者在多年的日常教學中，積極踐行綜合與實踐的課程理念。本文介紹一個活動案例：“生活中物體的高度測量”。

一、教學設計與實施

（一）明確教學目標

浙教版初中數學教材在九年級上冊“4.5 相似三角形的性質及應用”的例6中給出了測量樹高的兩種方法，要求學生依據所給測量數據計算求解樹高，并延伸提問：還有其他測量樹高的方法嗎？在九年級下冊“1.3 解直角三角形”后的“設計題”中介紹了可用來測量觀察目標時的仰角和俯角的測傾儀，要求學生說明測量原理并展開測量實踐。

據此，我們在學生學完九年級下冊第1章《解直角三角形》之后，嘗試組織學生開展綜合與實踐活動“生活中物體的高度測量”，旨在讓學生經歷觀察測量對象、探索測量方法、選擇或制作測量工具、構建測量模型、擬定測量方案、實際測量以及完成測量報告、交流測量報告的過程。具體的教學目標如下：

1.了解物體高度測量的不同方法與原理，能利用相似三角形、解直角三角形等數學知識，選用不同的方法測量特定物體的高度，提高數學建模和數學抽象等核心素養，培養應用意識；

2.通過動手設計和制作測量工具，了解測量原理，并在使用中改進測量工具；學會實地測量，記錄數據，撰寫報告，評估結果，提升直觀想象、邏輯推理、數學運算、數據分析等核心素養，增強實踐能力，發展問題提出能力，促進反思性思維與批判性思維；

3.通過小組合作學習，將數學知識運用于真實問題的解決中，培養數學交流能力、手腦結合能力；了解古今中外高度測量的方法，滲透數學史，激發學習興趣，提升數學情感。

（二）布置活動任務

我們設計并布置了如下活動任務：

同學們，秋天來了，校園的銀杏葉開始凋落，你是否駐足思考過：這棵銀杏樹有多高？校園中和學校外還有哪些可望不可即的物體的高度？你能想辦法測量它們嗎？

請自行組合3—5位同學為一組，完成以下任務：

1.上網搜索測量物體高度的方法；（建議關注金字塔、樹高等）

2.了解測量物體高度的相關工具；（建議了解測傾儀、測高器等）

3.確定待測物體，規劃測量方法；（建議關注校園中的銀杏樹和旗桿、學校附近的住宅樓等，自制測量工具）

4.實地測量，記錄數據并撰寫報告；（建議多次測量并估算測量誤差）

5.展示測量結果和分享體會。

（三）引導完成任務

1.探索簡易測量方法

學生上網搜索歷史上與生活中利用簡易工具測量樹高或樓高等的一些方法，教師引導學生理清背后的原理，然后基于相應的原理拓展得到更多的方法。

學生搜索得到的方法主要有：

（1）影子法。古希臘數學家泰勒斯利用這一方法測金字塔的高度：如圖1所示，因為斜射的太陽光是平行光，再利用豎直和水平的兩組對應邊，便可得到兩個相似的三角形ABC和A′B′C′。其中，AC是金字塔的高度，AB是金字塔的影長加底面邊長的一半，A′C′是標桿的高度，A′B′是標桿的影長。

根據相似三角形對應邊成比例的性質，只要測得AB、A′C′、A′B′的長度，便可算出AC的長度。泰勒斯為了計算方便，特地以自己為標桿，并選擇在自己的影長等于身高時測量金字塔的影長。

（2）標桿法。如圖2所示，在地面上立一根標桿EF，沿著直線BF后退到點D，使眼睛C、標桿頂端E、物體頂部A在同一條直線上，量出人到標桿的水平距離CG和人到物體的水平距離CH，結合人的身高CD和標桿的高度EF，利用三角形CHA和CGE相似，就可以求出物體的高度AB。或者，如圖3所示，用手舉一根標桿EF，使之與地面垂直，并恰好擋住物體（即眼睛C、標桿頂端E、物體頂部A在同一條直線上，且眼睛C、標桿底端F、物體底部B也在同一條直線上），量出人到標桿的水平距離CG和人到物體的水平距離CH，結合標桿的高度EF，利用三角形CBA和CFE相似，也可以求出物體的高度AB。

（3）三角板法。如圖4所示，手持含30°角的三角板，使得與30°角相鄰的直角邊保持水平；調整人的位置，使得眼睛從斜邊恰好看到樹頂；再量出人到樹的水平距離AD，然后利用30°角（∠FAG，即∠CAD）的正切值，即可求得人眼以上的樹高CD；加上眼高AB，即可得到樹高CE。

教師引導學生理清方法1、方法2的原理：將要測物體的高度放在一個三角形（可以但不必是直角三角形）中，使得其中至少有一條線段可以量出，再尋找一個與之相似的三角形，使得其中與前一個三角形中需要求出和可以量出的兩條線段對應的線段都可以量出，由此根據相似三角形對應線段成比例的性質，便可求出要測物體的高度。再理清方法3的原理：將要測物體的高度放在一個直角三角形中（通常作為一條直角邊），使得其中有一個銳角和一條邊（通常是另一條直角邊）可以量出，由此利用相應的三角函數值，便可求出要測物體的高度。

由此，學生在充分認識了相似三角形模型和銳角三角函數模型的現實意義和相互關系的基礎上發散思維，拓展得到更多的方法：

（4）鏡子法。如圖5所示，利用激光筆進行鏡面反射，因為入射角等于反射角，得到分別以人高和樹高為一條直角邊長的兩個相似的直角三角形……

（5）刻度尺法。如圖6所示，用可以讀出刻度量出不固定長度的直尺代替方法2中的標桿……

（6）量角器法。如圖7所示，用可以讀出刻度量出不固定角度的量角器代替方法3中含30°角的三角板……

在此基礎上，教師引導學生從理論層面分析這些方法的優劣。學生普遍認為三角板法和量角器法比較簡單。教師引導學生進一步認識到，相似三角形主要是基于角相等（形狀相同）的定性的數學模型，而銳角三角函數則是基于角大小的定量的數學模型，同時前者是后者的基礎，所以后者使用更方便。

2.了解現代測量工具

探索測量方法及其原理后，教師帶領學生了解現代測量高度的工具，為學生進一步認識測量方法及其原理的應用提供支撐，并為自制測量工具（改進簡易測量方法）提供借鑒。

首先是相對簡單的測傾儀（如圖8所示），可以用來測量觀察目標的仰角和俯角。測量前，先將支桿插入地面，并使度盤直徑PH處于水平位置，此時支桿的中心線、鉛垂線和度盤的0刻度線重合。測量時，轉動度盤，使度盤的直徑PH對準測量目標頂端，這時鉛垂線指向的刻度線即為仰角或俯角的度數。可見，這就是一個能更精準（更容易掌控水平和垂直）地測量仰角和俯角的量角器。

其次是更為復雜的測高器（如圖9所示），可以直接測量觀察目標的高度，使用起來比測傾儀方便。觀測筒中的目測孔與準星構成了一條觀測線；表盤上有六圈刻度，最里面一圈是仰角或俯角的度數，外面五圈分別是到測量目標的水平距離為8 m、15 m、20 m、30 m、40 m（五條“基線”）的情況下各仰角或俯角對應的測量高度。測量前，先用卷尺量取一條“基線”。測量時，讓觀測線對準測量目標頂端，這時不僅可以在表盤上讀出仰角或俯角的度數，還可以由“基線”直接讀出仰角或俯角對應的測量高度；加上測量者的眼高，即可得到物體高度。顯然，這一儀器使用的測量方法就是上述量角器法，只不過設計者事先根據測量原理算出了不同水平距離下各個仰角或俯角對應的高度，將其標示在了表盤上。

最后是較為高級的激光（超聲波）測高（測距）儀。它用激光（超聲波）發送和接收信號測量長度和角度。設計者根據解直角三角形知識，將高度計算公式（算法）植入儀器中。使用時，只要分別瞄準測量目標的低點和高點，由內置算法的計算器自動計算，屏幕就能顯示高度。

3.改進簡易測量方法（工具）

在初步的測量嘗試中，教師引導學生進一步從實踐層面分析上述方法的優劣，發現每一種方法都有一些缺陷：影子法對天氣要求較高；使用鏡子法時，用激光筆定位的操作困難；使用標桿法、三角板法時，很難保證三點一線以及豎直或水平；使用刻度尺法、量角器法時，讀取長度、角度的誤差較大。

對此，教師引導學生嘗試改進這些方法，并重點改進基于銳角三角函數知識的三角板法和量角器法。

首先，改進三角板法。為了保證三點一線，學生先想用激光筆，但發現在室外的遠處確定光點比較困難。怎么辦呢？學生聯系測高器觀測筒的構造，想到可以在三角板的斜邊上制作兩個準星。為了保證與30°角相鄰的直角邊水平，學生想到放置水平儀。由此，學生設計出改進的測量工具（如下頁圖10所示），并且在教師的幫助下，利用木條或金屬線制作出這一工具。此外，受到測高器等工具能直接讀出或快速顯示高度的啟發，學生進一步利用銳角三角函數知識，得到根據測量數據計算所求高度的公式H=h0l0l+h（其中，測量者的眼高h隨時可以測得，改進工具的豎直高度h0和水平寬度l0在工具制作完成后即可測得，在實際測量中，只要測出測量者到待測物體的水平距離l，即可算出待測物體的高度H），并且畫出測量操作示意圖（如圖11所示）。

其次，優化量角器法。為了減少讀數誤差，學生聯系測傾儀的構造，想到利用大量角器（教師用的）和跳高支架制作改良版測量工具——測角儀。他們用一根鐵釘穿過大量角器的圓心，并在鐵釘上系一根細線，細線的另一端系一個小重物，然后把帶有鐵釘的大量角器固定在跳高支架上（如圖12所示）。同樣地，學生進一步利用銳角三角函數知識，得到根據測量數據計算所求高度的公式H=ltan（α-90°）+h（其中，測角儀的高度h在工具制作完成后即可測得，在實際測量中，只要測出測角儀到待測物體的水平距離l和大量角器零刻度線指向待測物體頂端時鉛垂線指向的角度α，即可算出待測物體的高度H），并且畫出測量操作示意圖（如圖13所示）。

4.獲得實地測量結果

改進測量方法（工具）后，教師帶領學生利用自制工具，實地測量校園中的銀杏樹和旗桿、學校附近的住宅樓的高度。通過多次測量取平均值，學生得到了測量結果，生成了數據報告。一組學生的測量結果與實際高度的誤差如表1所示。

可見，自制測量工具不僅使用較為方便，而且誤差較小。但隨著物體高度的增加，誤差也在增加。當然，這和物體頂端不明確有一定的關系。比如，旗桿的最高處是一個小球體，最高點較難確定；住宅樓的最上方也沒有固定的瞄準點。

（四）實施教學評價

本次綜合與實踐活動的評價包括學生自評和教師評價兩部分。

學生自評采取定量和定性相結合的評價方式，分細目進行。定量評價的內容如下頁表2所示。

定性評價的內容如下：

1.你在項目活動中運用到哪些數學知識和能力？請詳細列舉。

2.請你用文字進一步描述在這項目活動過程中，你的收獲：_____________________________；

你的困惑：_____________________________；

你的建議：_____________________________。

教師評價采用等級制，從數學交流、問題提出、數學抽象、數學建模、直觀想象、邏輯推理、數學運算、數據分析等幾方面綜合評價，各等級的主要指標如下：

優：參與積極性高；善于思考和提出問題，能輸出有價值的觀點；能通過多種途徑搜集資料，并研判適切性；能利用電腦制作用于展示的課件，畫出的圖形準確精美；動手制作能力強，計算精準，是小組活動中出色的組織者或得力干將。

良：參與積極性較高；樂于思考，能在討論中說出自己的觀點；搜集資料能力較強；能利用電腦查找資料或畫圖；動手制作能力較強，是小組活動中重要的一分子。

合格：參與積極性一般，表現普通；在他人要求下能說出自己的觀點；能利用電腦查找資料或畫圖；動手制作能力一般。

不合格：參與積極性不高，表現較為被動；在討論中很少有自己的觀點；需要同學的催促、提醒，才能勉強完成自己承擔的任務。

二、教學啟示

“生活中物體的高度測量”綜合與實踐活動，是由真實問題驅動的學習探究活動：學生在一個真實的問題情境中產生學習的需要，通過小組合作提出問題，綜合運用相似三角形和解直角三角形等知識，靈活選擇或制作測量工具，經歷方案的設計、實施、總結，提升“做”數學、“用”數學的能力，體會問題解決的快樂。

本次綜合與實踐活動，取材自生活和教材，給學生創造了一個完整、真實的問題情境，使學生產生問題解決的需要，并綜合運用多個初中數學核心知識，融合科學中的光學知識（平行投影和鏡面反射），在生活體驗、資料查閱和實物制作中深化對數學知識的理解（比如，各種方法的一些缺陷都是測量實踐中才發現的），體會數學知識源于生活又服務于生活，化“外驅”為“內需”，化“封閉”為“開放”，化“孤立”為“融合”。這樣的綜合與實踐活動顯然能有效地激發學生的探究熱情，提升他們的應用意識，提高他們的綜合運用能力和實踐創新能力。

此外，本次綜合與實踐活動豐富了學生的學習方式：在真實的情境下，學生以小組為單位，以學習共同體的形式經歷觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證，親身體驗問題提出、數學抽象、數學建模、直觀想象、邏輯推理、數學運算、數據分析、數學交流。這是一個主動的、生動活潑和富有個性的過程，學生通過自主探索、動手實踐、合作交流等方式進行數學學習，具體學習方式如圖14所示。其中特別值得一提的是，學生通過網絡查閱資料，下載富有參考價值的照片和實例，搜集解決問題需要的信息資料，幫助自己形成解決問題的基本策略和方法；使用有效的數學軟件繪制圖形，呈現抽象對象的直觀背景，發現其中存在的數學規律，建立數學模型，并設計與制作用于展示的課件。因此，電腦和互聯網是學生從事數學探究的輔助性工具，它進一步豐富了學生的數學學習方式。

本次綜合與實踐活動還內化了學生的數學素養：學生進行了交流、表征、作圖、觀察、測量、分析、論證、簡化、建模、計算、反思等活動；為了分析各種方法的數學原理，查閱資料、開動腦筋；優化設計了測量工具，應用到實際情境中，建立模型；最終完成了實物制作和報告撰寫，進行了成果展示，從而各數學素養成分均得到了提升，具體如圖15所示。

當然，本次綜合與實踐活動的設計和實施仍有遺憾和不足。比如，成果展示環節安排的時間不夠，導致小組之間的分享、交流不充分。另外，因為活動是以小組為單位展開的，存在個別學生懈怠的情況。如何有效組織成果展示、實施評價，鼓勵所有學生積極參與，需要繼續研究。